A L’ACADÉMIE DES SCIENCES
Pah M. CAUCHY.
Itapport sur un Mémoire de .M. Bravais relatij à certains systèmes ou assemblages de points matériels (i).
(Commissaires; MM. Biot, Beudant, üiifrénoy, Régnault, Lamé, Caiicliy
rapporleiir.)
Parmi les applications que l'on a faites de la géométrie, rune des plus remarquables est la science nouvelle créée, vers la fin du dernier siècle, par l'auteur de VEssai sur la msUtllo<jraphie. Après avoir observe que les cristaux sont des assemblages de molécules similaires, notre illustre Ilaüy a recherché les lois suivant lesquelles les diverses molécules d'un corps se trouvent réunies et juxtaposées dans un même cristal. Aux observations que l'auteur avait faites, sont venues se Joindre des observations nouvelles; et, enrichie par les fécondes méditations des minéralogistes^ la science qu'il avait fondée a pu se perfectionner et s'étendre eu participant aux progrès <le la physique moléculaire. Toutefois, M. Bravais a pensé que la cristallographie pouvait subir encore des perfectionnements; et il est effeetivement parvenu à découvrir, dans certains systèmes de points matériels, des propriétés qui sont digues de remarque, et des caractères qui peuvent être utilement employés à la classification des cristaux. L'étude de ces propriétés, de ces caractères, est l'objet spécial du Mémoire dont nous avons en ce moment à rendre compte. Essayons d’en donner une idée en peu de mots.
Considérons trois séries de plans tellement disposés, que les divers plans d'une même série soient parallèles entre eui et équidistants, sans être jamais parallèles à aucun plan d'une autre série. L’assemblage des points suivant lesquels se couperont tous CCS plans formera ce qu’on peut appeler t\nsj-siéme réticulaire, et ce système, suivant la remarque déjà faite par divers auteurs, spécialement par .ft. Delafosse,
(,) Kxirail tirs Compirs rendm de t'Jradèmif des Setences, séance Hii 6 août iSjg, I. XXIX, p. |33.
RAPPORTS
sera éminemineni propre à représenter le système des points avec lesquels coïncident, dans un cristal quelconque, les centres des diverses molécules. D'ailleurs ces trois séries de plans, dont chacun est appelé, par M. Bravais, plan réticulaire, partageront l’espace en parnllétipipédes élémentaires, tons égaux entre eux; et les divers points du système, compris dans un même plan réticulaire, formeront un réseau dont les mailles, les fils et les neeuds seront, d'une part, les parallélogrammes élémentaires qui serviront de base aux parallélipipcdcs ; d’autre part, les droites sur lesquelles sc mesureront les côtés de ces parallélogrammes, et les points d’intersection de ces droites ou les sommets des parallélogrammes dont il s'agit. M. Bravais appelle paramètres les longueurs des trois arêtes d’un parallélipipéde élémentaire adjacentes à un iiiénie sommet ; il nomme tétraèdre élémentaire un tétraèdre construit sur ces trois arêtes, et trianijle élémentaire un triangle qui a pour côtés deux côtés adjacents d’un parallélogramme élémentaire.
Cela posé, M. Bravais commence par établir, tantôt à l’aide de la géométrie, tantôt à l’aide d’une analyse tout à la fois élégante et simple, les propriétés générales des réseaux. Il prouve, en particulier, que les nœuds d’un réseau donné sont en même temps les noeuds d’un nombre infini d’autres réseaux, dont les fils.se coupent sous des angles divers, mais dont les mailles sont loiijounî équivalentes en surface aux mailles du premier.il prouve encore que, parmi les triangles élémentaires correspondants aces divers réseaux, il en existe un, mais un seul, qui offre trois angles aigus, et que ce triangle, auquel il donne le nom de triangle principal, a pour côtés les trois plus petits paramétres que l’on puisse obtenir en joignant l’un à l’autre les nœuds du réseau donné.
Après avoir établi les propriétés des réseaux, M. Bravais a recherché celles des assemblages ou systèmes réticulaires. Il a reconnu il’abord que les nœuds dont se compose un système réticulaire peuvent être fournis, d’une infinité de manières différentes, par les intersections de trois séries de plans parallèles, auxquels correspondent des parallélipipèdes élémentaires de formes diverses, mais égaux en volumes. Il prouve que, parmi les tétraèdres élémentaires correspondants h un système réticulaire, c’est-à-dire à un système donné de nœuds, il existe un tétraèdre principal, dans lequel chaque angle dièdre est ou un angle aigu, ou un angle droit, l’une des bases de ce tétraèdre ayant |)our côtés les deux plus petits paramètres que l’on puisse obtenir en joignant l’un à l'autre les nœuds donnés. Enfin, M. Bravais nomme axe de sj’ine'trie d’un système réticulaire, une droite tellement choisie, qu'il suffise d’imprimer au système autour de cet axe une rotation mesurée par itn certain angle pour substituer les divers nœtids les uns aux autres; puis il démontre^tie l’angle qui sert de mesure à la rotation doit être nécessairement égal soit à un ou à deux droits, soit au tiers oti aux detix tiers d'un angle droit.
A I.’ACADéMIB DES SCIENCES.
Donc le rapport de la circonférence entière k l’arc qui mesure la rotation ne peut être que run des nombres a, 3, 4i 6 ; et la symétrie est nécessairement, suivant le langage adopté par M. Bravais, binaire, on ternaire, ou quaternaire, ou sénaire. D’autre part, il est clair que, si un système de noeuds tourne autour d’un axe passant par un point quelconque, le mouvement de rotation effectif de tout le système autour de cet axe ne différera pas du mouvement apparent de rotation autour d’un axe parallèle passant par un noeud quelconque, aux yeux d’un observateur dont la position coïnciilerait avec ce même na-ud. Il en résulte immédiatement qu’à tout axe de symétrie qui ne passe par aucun nœud d’un système donné, correspondent toujours d’autres axes de symétrie parallèles au premier, et passant par les divers noeuds du système. Il est d'ailleurs facile de voir que tout axe de symétrie passant par un noeud donné, coïncide nécessairement, ou avec l’une des arêtes d’un parallélipipède élémentaire qui a ce nœud [xuir sommet, ou avec l’une des diagonales d’un tel parallélipipède, ou avec la diagonale de l'une de ses faces. Ces priuci( 5 es étant admis, on peut, comme l’a fait M. Bravais, classer les divers systèmes réticulaires, ou plutôt les divers systèmes de nœuds qu’ils peuvent offrir, d’après le nombre et la nature des axes de symétrie qui passent par un nœud donné. L’auteur compte effectivement sept classes d’assemblages ou systèmes de nœuds, distinguées les unes des autres par les caractères que nous allons rappeler.
Les systèmes de la première classe, correspondants au premier système cristallin . des minéralogistes, ofirent quatre axes ternaires, trois axes quaternaires et six axes biliaires. Les formes distinctes comprises dans cette classe sont : i” le cube; a° le cube centn» ou rhomboèdre de lao degrés, ou] octaèdre à base carrée; 3® le tétraèdre régulier, ou octaèdre régulier, ou rhomboèdre de 70 ® 3i'44”-
Les systèmes de la seconde classe, correspondants au second système cristallin des minéralogistes, offrent un seul axe quaternaire et quatre axes binaires. Les formes comprises dans cette classe sont : i® le prisme droit à base carrée; 2 ® le prisme droit centré à base carrée, ou octaèdre à hase carrée.
Les systèmes de la troisième classe offrent un seul axe sénaire et six axes binaires. Celle classe présente d'ailleurs une seule forme, savoir: le prisme droit, quia pour base un triangle équilatéral.
Les systèmes de la quatrième classe offrent un seul axe ternaire et trois axes binaires. Cette classe présente une seule forme, savoir : un rhomboèdre, dans lequel deux sommets opjxisés sont les extrémités d’un axe de .symétrie ternaire, les six .autres sommets étant ceux de deux triangles équilatéraux, dont les plans parallèles entre eux divisent en trois parties égales la diagonale dont il s’agit.
I.«s systèmes de la troisième et de la quatrième classe correspondent au troisième système cristallin des minéralogistes.
rapports
I^s systèmes de la ciiiquiéine classe, correspondants au quatrième système cris* tallin des minéralogistes, oITrent trois axes binaires. Cette classe présente quatre formes distinctes, savoir : le parallélipipcde rectangulaire centré ou non centré, et le même parallélipipède ayant deux ou six faces centrées.
Les systèmes de la sixième classe, correspondants au cinquième système cristallin des minéralogistes, offrent un seul axe binaire. Cette claSse présente deux formes, savoir : le prisme droit centré ou non centré, qui a (>our base un parallélogramme.
I.A's systèmes de la septième classe, correspondants au sixième système cristallin des minéralogistes, sont ceux qui n’ulfrcnt aucun axe de symétrie. Cette classe comprend une seule forme, savoir : le prisme oblique, qui a pour base un parallélogramme.
Eu résumé, si, les divers systèmes cristallins étant caractérisés par le nombre et la nature de leurs axes de symétrie, on range ces systèmes dans l'ordre indiqué par le nombre de ces axes, on obtiendra le tableau suivant :
KOHBIIE DES AXES DE SIMÉTOIE
NOMBRE TOTAL de* axM de synoétrie.
bin«ire.
(«maire.
qoaleritaire.
aénatre.
SyMème terqiuilcroairc.....
Système sènaire
Système qualeroaire
Système ternaire...
Système turbinaire.
SyMème hinain*....
Sy.'ilènvf a^y^ 1 ètnquR
Eu terminant, M. Bravais établit divers théorèmes relatifs aux faces semblables ou plutôt similaires qui se trouvent échangées entre elles quand on fait tourner un système réticulaire autour de run quelconque des axes de symétrie.
A l’académie des sciences.
Les Commissaires pensent que dans ce nouveau travail M. Bravais a donné de nouvelles preuves de la sagacité qu’il avait déjà montrée dans d'autres recherches. En conséquence, ils sont d'avis que le Mémoire soumis à leur examen est trés^iigne d’étre approuvé par l’Académie et inséré dans le Recueil des Savaitis étrangers.
IjSs conclusions de ce Rapport sont adoptées.
Rapport sur un Mémoire présenté par M. Bravais, et intitulé;
Études sur la cristallographie (i).
(Commissaires : MM. Dufrénoy, Régnault, Lamé, Cauchy rapporteur.)
Dans un précédent Mémoire que l'Académic, adoptant les conclusions du Rapport présenté par six de ses Membres, a jugé très-digne de son approbation, M. Bravais avait considéré le système des points matériels avec lesquels coïncident, dans un cristal quelconque, les centres de gravité des diverses moléctdes. Partant de la remarque faite par divers auteurs, spécialement par M. Delafossc, que ces centres forment un système réticulaire, c’est-à-dire qu’ils se réduisent aux points suivant lesquels des plans équidistants et parallèles sc trouvent coupés par deux autres séries de plans équidistants et parallèles, il avait compris la nécessité d’étudier avec beaucoup de soin la nature et les propriétés d'un système réticulaire quelconque, et des réseaux dont chacun a pour nœuds les points du système renfermés dans l'un des plans réticulaires. Il avait facilement reconnu que les trois séries de plans réticulaires partagent l’espace en parallélipipèdes élémentaires tous égaux entre eux, et que les nœuds d'un réseau donné sont en même temps les nœuds d'un nombre infini d’autres réseaux dont les fils se coupent suivant des angles divers, mais dont les mailles sont toujours équivalentes en surface aux mailles du premier; puis, en nommant axe de symétrie d’un système réticulaire une droite tellement choisie, qu’il suffise d’imprimer au système autour de cet axe une rotation mesurée par un certain angle pour substituer les divers nœuds les uns aux autres, il avait démontré que l'angle qui sert de mesure à la rotation doit être nécessairement égal, soit à un ou à deux droits, soit au tiers ou aux deux tiers d’un angle droit. Par suite, le rapport de la circonférence entière à l’arc qui
(l) Extrait des Comptes rendus de V Académie des Sciences, séance du 3 $ févripr i 85 iÿ t. XXXII, p. 384.
RAPPORTS
mesure la rotation ne pouvait être que l'un des nombres a, 3 , 4 i 6; et la symétrie d'un système réticulaire devait être, suivant le langage adopté par M. Bravais, binaire, ou ternaire, ou quaternaire, ou sinaire. Enfin, après avoir établi ces principes, l'auteur avait observé qu'ils pouvaient être utilement appliqués à la classification des cristaux ; et en classant les divers systèmes réticulaires, ou plutôt les systèmes de nœuds qu'ils peuvent offrir, d'après le nombre et la nature de leurs axes de symétrie, M. Bravais avait compté sept systèmes distincts, caractérisés par les axes de symétrie que nous avons mentionnés dans notre premier Rapport, savoir: les systèmes terquaternaire, sénaire, quaternaire, ternaire, terbinaire et binaire, et le système os/mètrique, c’est-à-dirc celui qui n'offre aucun axe de symétrie.
Dans le nouveau Mémoire dont nous avons à rendre compte, M. Bravais ne se borne plus à la recherche des propriétés du système réticulaire formé par les centres de gravité des molécules d'un cristal. Pénétrant plus avant dans les profondeurs de la science, il s'occupe aussi des diverses formes que peuvent offrir les molécules cristallines, et de l’influence que ces formes doivent exercer sur la cristallisation. Déjà, dans un Mémoire présenté à l'Académie le 3 i août 1840, M. Delafosse avait signalé celle influence, et observé qu'elle suffit pour expliquer de f/rétendues exceptions à la loi de symétrie, regardées comme des anomalies constantes dans certaines espèces minérales, telles qtse bi pyrite, la ioracite, la tourmaline, le quartz, etc. Déjà, il avait insisté sur celte considération, que deux parties d’un cristal géométriquement semblables peuvent avoir des structures ou constitutions moléculaires différentes, et que, dans ce cas, on «e peut plus dire quelles sont en tout point identiques. Déjà le savant professeur, attribuant la formation des cristaux dits hémiédriques aux particularités qui caractérisent leur constitution moléculaire, avait cherché, par exemple, l’explication de l'hémiédrie de la boracile dans la forme tétraédrique de la molécule, et de l’hémiédrie du quartz dans une sorte de distorsion d'une molécule rhomboédrique. Mais en confirmant ce principe, que la forme de la molécule exerce une injluence notable sur la cristallisation, M. Bravais arrive, en outre, à celle conclusion remarquable que, pour expliquer fous les’ phénomènes de l'hémiédrie, il suffit d'avoir égard à celte influence et aux effets qu’elle petit produire. Pour établir celle proposition, M. Brivais commence par examiner les divers genres de symétrie que peut offrir une molécule cristalline, considérée comme un système d’atomes, et représentée par un polyètire dont ces atomes occupent les soniinels; puis il recherche les lois suivant lesquelles la symétrie de la molécule se transmet en partie au système réticulaire, formé par les centres de gravité des diverses molécules dont un cristal sc compose. Entrons, sur ces deux points, dans quelques détails.
M. Bravais observe d'abord qu’un polyèdre peut offrir trois éléments de symé-
I A i.’académik des sciences. u8*i
trie, savoir : l’cipiiieiit point ou centre de sy métrie, réicincnt ligne on axe de synié- Irie, et l'élément plan on fdan de sj'métrie.
Le centre île symétrie d'un polyèdre est lin point autour duquel les sommets, pris deux à deux, sont rangés sur des diagonales dont ce point est le milieu, line droite est un axe de symétrie d’un polyèdre, lorsqu'il suffit d’imprimer à I celui-ci, autour de cetle droite, une rotation mesurée parmi certain angle pour
substituer les ilivers sommets les uns aux autres. Le rapport de la circonférence I au plus petit des arcs projires à mesurer la rotation est toujours un nombre entier
qui détermine l'ordre de symétrie de l'axe. Mais ce rapport peut être l’un quelconque des nombres entiers sujiérieurs à rnnité; par suite, un polyèdre peut admettre,
I non-seuleineni comme les systèmes réticulaires, des axes de symétrie binaire, ter-
naire, quaternaire et sénaire, mais encore des axes de symétrie quinaire, se/iténtiire, etc. Un même polyèdre peut d'ailleurs offrir des axes de symétrie de divers ordres. Deux axes de même ordre sont de même espèce, lorsqu’eii les subslituaiil l’un à l’autre on ne fait qu’éclianger les sommets entre eux; ils sont d’espém dif- Jerrnles dans le cas contraire. Dans un polyèdre ilonné, le nombre des diverses esjièces d’axes de symétrie ne peut surpasser trois, mais il |ieut être égal à trois, .\insi,
■ : par exemple, dans le cube, un axe de symétrie peut être ou l’axe binaire qui joint les
I ' milieux de deux arêtes opposées, ou l’axe ternaire qui représente une diagonale
■ et qui joint deux sommets opposés, ou enfin l’axe quaternaire qui joint les centres
I de deux faces opposées et parallèles.
! Enfin, un plan de svmétrie, dans un polyèdre donné, sera un plan qui divisera
" le polyèdre en deux parties symétriques, les sommets étant situés deux à deux à
i égales distances du plan sur des droites qui lui seront perpendiculaires. D'ailleui-s
I les plans de symétrie, comme les axes de symétrie, pourront être de même espèce
ou d’e.s/>éres dijférentesi et, dans uti polyèdre donné, le nombre des diverses espèces de plans de sytiiétrie ne pourra surpasser trois, tuais il pourra être égal à trois. Ainsi, par exemple, dans le polyèdre qui aurait pour sommets les sommets d'un hexagone régulier, et deux points situés ü égales distances dit plan de cet liexa- ' gone sur une perpendiculaire élevée par le centre, un plan de symétrie pourrait
^ être ou un plan passant par cetle perpendiculaire et par un sommet ou par le
I milieu d’un des côtés de l’hexagone, ou le plan même de l’hexagone dont il s’agit,
j Cela posé, M. Bravais démontre les deux propositions suivantes :
I S'il existe dans un fsoljrèdre deux plans de ^métrie, leur intersection sera nérea-
j sairement un axe de symétrie.
1 Un centre de symétrie, un plan de symétrie, et un axe de symétrie d'ordre pair, sont
trois éléments tellement liés entre eux, que la présence de deux de ces éléments entraîne toujours la présence du troisième.
«APPORTS
D’ailleurs, M. Rravais ap|>elle nj:e principal celui qui, «laus un polyèdre donné, est parallèle ou |>erpcndicnlaire à tous les axes ou plans de symétrie, et désigne, sous le nom de iphéroédrupta, les polyèdres qui offrent plusieurs axes de symétrie, dont aucun n'est un axe principal.
Cela posé, M. Bravais fait voir que les polyèdres, considérés au point de vue de la symétrie, peuvent être divisés eu vingt-trois classes, réparties entre six i/roiipes distincts :
Le premier groupe comprend tous les polyéilres ns^mc'tn^ues, c’est-à-<lire ceux qui ne possèdent ni axes, ni plans, ni centre de symétrie;
Le deuxième groupe comprend tous les polyèdres symétriques, mais dépourvus d'axes de symétrie;
Le troisième groupe, les polyèdres symétriques pourvus d’un axe principal il’ordre pair;
Ia? (piatrième groupe, les polyèdres symétriques pourvus d’un axe principal d’ordre impair;
Le cinquième groupe, des polyétlres sphéroédriques à quatre axes ternaires;
Et le sixième groupe, les polyèdres spliéruédriques à dix axes ternaires.
Apres avoir étudié les divers genres de symétrie que peuvent offrir, d’une part, les systèmes réticulaires, d’autre part, les polyèdres qui représeulent les molécules des corps, et classé les uns et les autres d'après le nombre et la nature île leurs éléments de symétrie, il restait à examiner comment et jusqu’à quel dégré la symétrie d'une molécule peut être transmise par la cristallisation au système réticulaire formé par les centres de gravite des diverses molécules dont se compose un cristal. Eu d’autres termes, il s'agissait de résoudre le problème suivant :
Les éléments de symétrie d'une molécule étant donnés, déterminer le système cristallin que la réunion de cette molécule à d'autres de meme espèce produira <iu moment de la cristallisation.
M. Bravais observe, à ce sujet, que la cristallisation a pour effet d’amener les diverses molécules à des positions telles, qu’il y ait équilibre, et même un équilibre stable, entre les actions exercées par les unes sur les autres. Cela posé, il fait voir que l’équilibre s'établira plus facilement dans un cristal en voie de formation, si les centres de gravité des molécules se disposent de manière que les axes et plans de symétrie de ces molécules, iudéfiuimeut prolonges, deviennent des axes et plans de symétrie du système réticulaire formé par les centres de gravité. Il se trouve ainsi autorisé à poser la règle suivante :
Parmi les sept systèmes cristallins, les molécules dune substance donnée adopleiont celui dont la symétrie ojfrc le plus grand nombre déléments communs avec la symétrie propre qit polyèdre moléculaire.
A l’académie des sciemces aSy
Si plusieurs syslémes cristallins peuvent, ei^vcrlu de la règle énoncée, correspondre à une même inolécide, ceux qui offriront un plus grand nombre d’élémenls de symétrie seront en général compris parmi les autres comme cas particuliers; ils seront donc en nombre moindre, et indiqués avec une probabilité incomparablement plus faible. M. Bravais se trouve ainsi amené à énoncer encore la règle suivante :
D ms le cns où plusieurs systèmes cristallins auraient les mêmes éléments de symétrie I ommiins avec un même polyèdre moléculaire, la cristallisation s’opérera suivant le O'stéme de moindre symétrie, c’est-à~<lire suivant le système qui laissera le plus i/rand nombre de termes indéterminés parmi les six éléments constitulijs de son parniléiipipède élémentaire.
L’emploi des deux règles générales que nous venons de rappeler permet à M. Bravais, non-seulement d’expliquer les divers phénomènes d’Iiémiédrie observés par les cristallograplies, mais encore de déterminer les lois de ces phénomènes et les circonstances dans lesquelles ils doivent se présenter; et ces lois et ces circonstances sont précisément celles ejue fournit l’observation elle-même. C’est encore avec le même bonheur, qu’après avoir déduit de ses recherches antérieures sur les systèmes réticulaires, la délermiuatiou de ce qu’on appelle la forme cristalline (i), c’est-à-dire du système des faces similaires que présente un cristal, M. Bravais applique son analyse à la réduction du nombre de ces faces, produite par l’hémiédrie. Il fait voir aussi qit’on peut expliquer, par .sa théorie, un assez grand ^lomhre de cas de dimorphisme, sans être obligé d'altérer la structure interne des molécules.
En résumé, les Commissaires sont d’avis que le travail soumis à leur examen olfre de nouvelles preuves de la sagacité que M. Bravais avait montrée dans ses précédentes recherches, et que ce travail contribue notablement aux progrès de la Cristallographie. Ils pensent, en conséquence, que le nouveau Mémoire de M. Bravais est très-digne d’étre approuvé par r,\cailémie, et inséré dans le Recueil des Savants étrangers.
Les conclusions de ce Rapport sont adoptées.
(ij Parmi les ihcori-mrs établis k ce sujet par .M. Bravais, nous nous liornrruns à rappeler le suivant :
• Quand une face de la forme cristalline n'est ni parallèle, ni perpendiculaire à un axe de syiné-
• trie, le nombre des faces qui coni|>osent la fonne est double de la somme
■ Nil Nil N(, ÎV, étant les nombres d'axes binaires, ternaires, quaternaires et sénaires que possède
• le système. •
