LES MATHÉMATICIENS FRANÇAIS

Trois hommes cependant méritent une mention â part dans cette rapide histoire des mathématiques au début du XIX® siècle : Monge, Legendre et Galois.

Gaspard Monge (né à Beaune en 1746, mort à Paris en 1818) appartient à cette forte génération de savants qui firent ou complétèrent leurs études mathématiques dans les écoles d'artillerie antérieures à la Révolution, et qui concoururent pendant: la CoXivention, d'une manière si remarquable, sur l'appel du Comité de salut public, à la défense du territoire.

Le nom de Monge est lié par là à celui de Lazare Carnot, son élève à l'école de Mézières, comme il l'est à celui de Berthollet, son ami et son compagnon en Italie en 1796 et durant la campagne d'Ëgypte. Chargé, lors de la création de l'Ëcole normale, d'y enseigner la géométrie descriptive, il fondait bientôt après l'École polytechnique, où il donna ses belles leçons sur la théorie des surfaces. L'histoire de l'analyse mathématique doit retenir sa remarquable contribution à l'étude des équations aux différentielles partielles, question restée obscure même après les travaux de d'Alembert et d'Euler, et qu'il résout d'une manière lumineuse. Mais la gloire de Monge est ailleurs, dans la création de la géométrie descriptive, cette introduction nécessaire aux méthodes qui allaient restaurer, sous le nom de géométrie de position, la géométrie pure,

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abandonnée depuis plus de deux siècles au profit de l'analyse. La solution strictement géométrique des problèmes de géométrie offre, on le sait, de grandes difficultés : elle exige, pour ainsi dire, à chaque question nouvelle, un «ffort nouveau d'invention, quelquefois de génie ; mais elle a en retour sa beauté propre, qu'elle doit au caractère nettement intuitif de ses procédés et de ses constructions. Si l'analyse, depuis des siècles, avait tourné les difficultés des méthodes synthétiques, par l'emploi presque mécanique et la régularité de ses méthodes, elle en avait aussi supprimé ce qui en fait la valeur, la construction directe des problèmes, le caractère intuitif et concret des solutions et des démonstrations. Encore fallait-il inventer des méthodes qui eussent assez de généralité pour ne point faire regretter l'analyse, qui eussent la même souplesse, la même fécondité. Le mérite de la géométrie descriptive de Monge fut de les rendre possibles ; en donnant le pas aux relations de position sur les relations métriques, les méthodes projectives ouvrirent au géomètre un champ illimité où s'engagèrent, à la suite de Monge, Lazare Carnot, le général Poncelet, et de nos jours Chasles et ses successeurs. La découverte de Monge est donc équivalente, en géométrie pure, à celle d'une analyse nouvelle, et s'élève par là au rang des conceptions qui ouvrent à la science des voies inexplorées.

L'histoire des mathématiques pures doit à Legendre une place d'honneur ; il les a illustrées doublement, par la modestie et la dignité de sa vie, par l'importance et l'originalité féconde de ses travaux. Né à Paris, en 1752, il y avait enseigné les mathématiques à l'École militaire, de 1775 à 1780, et avait rendu comme calculateur de signalés services en prenant part (1787) aux travaux géodésiques destinés à relier l'observatoire de Paris à celui de Greenwich ; chemin faisant, il s'était fait remarquer de Laplace par un mémoire de 1783 sur Vaitraction des ellipsoïdes, en 1784 par un autre sur la Figure des planètes, en 1787 par une importante étude sur les opérations irigonomé-

triques dont les résultats dépendent de la ligure de la terre. Sa réputation scientifique était donc solidement établie, quand fut dressée la liste des premiers professeurs de l'École polytechnique ou des écoles normales ; et néanmoins son nom en fut absent, et fut omis de même lorsque fut créé l'Institut. Il entra, il est vrai, à l'Académie des sciences dès qu'elle fut constituée, occupa les fonctions d'examinateur de sortie pour les élèves de l'École polytechnique jusqu'en 1815, fut nommé conseiller titulaire de l'Université en 1808, et remplaça Lagrange en 1812 au Bureau des longitudes ; mais la modestie est la marque de sa vie ; à partir de 1815, jusqu'à sa mort en 1833, il consacre la force et la maturité de son intelligence, que l'âge n'affaiblit point, aux travaux théoriques qui le font le cont/inuateur d'Euler, et en même temps le précurseur et l'émule des deux plus grands génies mathématiques de l'époque, l'Allemand Gauss, et le Norvégien Abel. Pendant que renaissait ailleurs le goût de la géométrie pure (avec Monge et Lazare Carnot), Lagrange était revenu, dès 1785 par ses Recherches d'analyse indéterminée, et en 1798 par un Essai sur la théorie des nombres, aux spéculations antiques et pythagoriciennes sur ce qu'on pourrait appeler la science pure des nombres, laquelle ne se confond ni avec l'algèbre, ni même avec l'arithmétique proprement dite. L'algèbre est avant tout une science des proportions, ainsi que l'appelait Descartes, et des transformations, l'arithmétique proprement dite une science des opérations effectuées sur les nombres; la théorie des nombres est autre chose : elle est, pourrait-on dire, la science de leurs propriétés fondamentales et de leurs rapports, quels que soient les systèmes de numération qui leur servent de base : telles les propriétés des nombres premiers, indépendantes de ces systèmes, et soumises à des lois qui dépassent le domaine de l'arithmétique ordinaire. La Théorie des nombres de Legendre, publiée en 1830, fait époque dans la science ; elle renoue une tradition antique, déjà reprise par Euler et Fermât, et constitue, avec les Disquisiliones

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ariihmeticae de Gauss, la plus importante contribution du siècle à l'une des formes les plus délicates et les plus difficiles de la spéculation mathématique. Dans un domaine voisin, en Analyse, Legendre donnait vers le même temps une œuvre également remarquable ; deux mémoires, de 1787, sur Vintégration de quelques équations aux di{léreniielles partielles, et de 1793, sur les transcendantes elliptiques, marquent l'époque des premières réflexions qui devaient l'y conduire : on peut donc dire que la Théorie des lonctions elliptiques, dont il publie les deux premiers volumes en 1826 et 1827, représente un travail de près de quarante ans ; il y précède Jacobi et Abel, génies puissants qui le surpassent peut-être, mais dont il eut le mérite d'être le précurseur, et d'apprécier avec une rare justice et un admirable désintéressement les travaux immortels : « On a rarement rendu une justice aussi éclatante à de jeunes émules, ditËlie de Beaumont ; mais Legendre ajouta encore à cette justice par la grâce partant du cœur avec laquelle il reporta sur ses deux disciples, qui firent la joie de ses derniers jours, sa tendresse paternelle pour la théorie qu'il avait créée et développée seul pendant plus de quarante ans. »

Puisque le nom d'Abel vient d'être prononcé, disons tout de suite un mot d'un Français qui le rappelle de tant de manières, par la profondeur et l'étendue des vues mathématiques, par la précocité du génie, et par la mort prématurée. Abel, né en 1802, mourait à vingt-six ans, en 1829 ; Galois, né en 1811, meurt en duel à vingt ans, en 1832. « En présence d'une vie courte et si tourmentée, écrit en tête de la nouvelle édition de ses œuvres M. Émile Picard, l'admiration redouble pour le génie prodigieux qui a laissé dans la science une trace aussi profonde ; les exemples de productions précoces ne sont pas rares chez les grands géomètres, mais celui de Galois est remarquable entre tous. » L'œuvre de Galois tient naturellement en peu de pages : elle consiste principalement en une courte analyse, dans le Bulletin de Férussac, d'un Mémoire sur la

résolution algébrique des équations, en un Mémoire fondamental sur l'algèbre, retrouvé dans ses papiers et imprimé seulement en 1846, enfin en une lettre qu'il écrit, la veille de sa mort, à son ami Auguste Chevalier, sorte de testament où il sauve de l'oubli d'admirables résultats sur les propriétés essentielles des intégrales abéliennes. Des juges compétents attribuent à Galois la gloire d'avoir conduit la théorie des équations algébriques, dès l'âge de 17 ans, plus loin que Lagrange, Gauss et Abel, et d'avoir mis en évidence ce qu'aucun d'eux ne réussit à faire, l'élément fondamental dont dépendent toutes les propriétés de l'équation ; c'est son premier et plus beau titre d'honneur. La lettre à Auguste Chevalier en laisse pressentir d'autres ; si les inductions qu'on en tire sont justes, le Mémoire qu'il préparait pour résumer ses recherches sur les intégrales prouve qu'il avait approfondi l'analyse transcendante à un point dont les travaux du demi-siècle suivant donnent à peine une idée. « L'influence de Galois, s'il eût vécu, ajoute M. Picard, aurait grandement modifié l'orientation des recherches mathématiques dans notre pays. Je ne me risquerai pas à des comparaisons périlleuses : Galois a sans doute des égaux parmi les grands mathématiciens de ce siècle, aucun ne le surpasse par l'originalité et la profondeur de ses conceptions. » Ajoutons à notre tour que l'esprit reste saisi devant ces prodiges du génie mathématique : à 15 ans, Galois abordait en écolier l'étude des éléments de l'algèbre ; à 20 ans, quand il meurt, il y égale les plus grands, et laisse derrière lui une œuvre incomparable.

Ne quittons point le champ des mathématiques pures sans évoquer celui qui eut le temps de s'y montrer un génie accompli, et qu'un de ses disciples surnomma le Gauss français : comparaison lourde à soutenir, et qu'aucun autre en effet, au commencement de ce siècle, n'est, autant que Cauchy, en état de supporter. L'activité scientifique de Cauchy a été prodigieuse : plus de 700 mémoires sont sortis de sa plume : tous témoignent d'une dextérité mer-

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veilleuse à manier l'analyse, plus peut-être que d'une aptitude vraiment philosophique à en approfondir le sens et à poursuivre l'unité supérieure sous les analogies de fonctions fort voisines. La science lui doit cependant de remarquables méthodes : la technique de l'intégration est sortie de ses mains considérablement accrue et assouplie ; mais il ne s'en est point tenu là : « Mathématicien dans le sens le plus large, dit un de ses admirateurs i, ...partout il fondait, partout il créait, partout il était au premier rang. A l'instar des éminents génies en toute carrière, les chefsd'œuvre de Cauchy, ses plus belles découvertes datent de sa jeunesse. Son théorème sur les polyèdres, que tant de siècles ont laissé sans démonstration, complète la Géométrie d'Euclide. Il établit la vérité d'un théorème de Fermat, qui a rebuté un Descartes, résisté aux efforts d'un Euler, d'un Gauss. Avant Sturm, il indique un moyen compliqué, il est vrai, mais certain, de trouver le nombre des racines comprises- entre deux limites désignées. Il remanie, enrichit considérablement la théorie des déterminants, des fonctions alternées : théorie entamée par Vandermonde et Laplace. Ses considérations morphologiques sont un point de départ pour les travaux d'Abel sur les formes, permettent à l'illustre Norwégien d'établir l'impossibilité de la résolution générale des équations... Ses instruments les plus habituels, qu'il manie avec une dextérité sans égale, sont\le symbole imaginaire et l'infini, effroi des géomètres vulgaires... Abel nous apprend qu'il a puisé toutes ses connaissances dans les écrits de Cauchy : un tel aveu est le meilleur des panégyriques. »

Mais nulle part autant qu'en mécanique, et surtout en mécanique moléculaire, l'habileté de l'analyste n'a montré toutes ses ressources. A la physique mathématique tout le monde comprend que ce qu'il faut, ce n'est pas tant une hypothèse sur la constitution de la matière, qu'un ensemble de vues spéculatives et de méthodes pratiques permettant