Infini et quantité, p

flèche est en mouvement dans l'instant, tout en occupant un espace égal à elle-même. Il y a donc là une échappatoire par où l'adversaire peut sortir. C'est pour la fermer que Zenon a commencé par poser en principe qu'un corps est ou en repos ou en mouvement quand il occupe un espace égal à lui-même. Ces mots r, xà>é?*«Y, que M. Renouvier attribue à un copiste inintelligent, ont l'air d'une naïveté : ils cachent un piège1.

Il est inutile aussi d'ajouter xaxà rÔ l'sov, comme le fait Zeller, après rb cpepdfxevov èv xw vuv. L'argument tiré de l'instant suffit, sans ajouter aucune considération d'espace (quoiqu'on puisse faire le même raisonnement sur le point que sur l'instant).

4° Le Stade. — « Le quatrième argument est relatif à deux séries de points égales, qui se meuvent dans le stade en sens contraire, passant devant une troisième série de points égale, et partant, l'une du milieu du stade, l'autre de l'extrémité, avec une égale vitesse : d'où Zenon conclut que le temps employé sera égal au double de lui-même. » Cet argument est rendu plus clair par une figure que Zeller trace d'après les indications d'Aristote. Soit une ligne de points A1 A2 A3 Av supposés immobiles; soient en outre deux autres séries B4 B3 B2 B1 et C1 C2 C3 C* disposées comme dans la figure I. (Il faudrait ajouter, selon nous, que tous ces points sont conçus comme se touchant sans se confondre.) Admettons maintenant que les deux séries des B et des C se meuvent en sens contraire avec une vitesse égale. Fig. 2.

B1 et C1 arriveront en même temps aux extrémités opposées de la série A (fig. 2). Dans le

B* B3 Be B1

Fig. 1.

1. Cette interprétation a l'avantage d'être d'aceord avec le texte de Simplicius (Phys., 236, b) qui porte aussi : Ttàv o-rav r\ /.axà xô "tov éa\JTw r, •/.tveî-rat î] T]ps[iEr, et avec toute l'interprétation de ce commentateur, bien supérieure, selon nous, à celle de Thémistius. Il est vrai, comme le remar-

même temps, dit Zenon, B1 aura passé devant tous les C, C devant tous les B, et d'autre part B1 et C1 n'auront passé que devant la moitié des A. Or la série A est égale à chacune des deux autres : les temps sont porportionnels aux espaces : le temps employé par les B et les G à parcourir, et toute la longueur des A, et la moitié de cette longueur, est donc le double de lui-même '.

Rien de plus sophistique que ce raisonnement si, comme le dit Zeller, il consiste à supposer que l'espace parcouru par un corps se mesure à la longueur du corps devant lequel il passe, que celui-ci soit, ou non, en repos. Mais cette interprétation ne nous semble pas exacte.

Si, comme nous l'avons admis, Zenon raisonne dans l'hypothèse des indivisibles, nous devons admettre que les points A, B et C sont des éléments absolus de l'espace en soi, et se meuvent dans l'instant, élément absolu du temps en soi. Après le premier instant, B1 qui était, je suppose, au-dessous de A2, en ligne droite avec lui, se trouve au-dessous de A3, supposé immédiatement contigu à A2; C1, qui était d'abord au-dessous de A3, se trouve au-dessous de A2. Mais pour que B1 et G1 occupent leur position actuelle, il faut de toute nécessité qu'à un moment ils se soient trouvés en ligne droite l'un avec l'autre. Cependant leur mouvement s'est accompli dans un instant indivisible. Il faut donc, ou qu'ils ne se soient pas croisés (et alors il n'y a pas de mouvement), ou que, dans l'instant indivisible, deux positions aient été occupées par les deux mobiles : mais alors l'instant n'est plus indivisible. En d'autres termes, il est impossible de concevoir un instant

que Zeller, que Simplicius développe la pensée de Zenon, mais rien n'autorise à supposer qu'il ne l'ait pas comprise. Et, malgré la remarque de Schleiermacher (Zeller, t. II, p. 79, trad. Boutroux), le fait que Simplicius a eu entre les mains l'ouvrage de Zenon n'est pas pour diminuer son autorité. M. Dunan a très bien élucidé la question de texte en ce qui concerne cet argument dans son étude sur les arguments de Zenon d'Elée contre le mouvement, p. 10, Paris, Alcan, 1884.

1. On traduit d'ordinaire ô'yxot par masses, et c'est assurément légitime. 11 nous semble pourtant que l'idée exprimée par ce mot est moins celle de masse que celle d'indivisible : si l'on veut, des masses indivisibles et contiguës. C'est pourquoi nous préférons traduire par points, quoique ce mot ne soit pas non plus tout à fait satisfaisant. Le mot 07x0c est employé comme synonyme d'atome par Epicure (ap. Diog. Laert., X, 54), et plus tard par Asclépiade de Bithynie (Sext. Emp., Adv. Math., VIII, 220).

indivisible tel qu'on ne puisse, non seulement concevoir, mais réaliser par une expérience des plus simples, un mouvement qui divise cet instant. (Et on pourrait en dire autant de l'unité d'espace supposée indivisible : le même élément devrait s'élargir au point de contenir au même instant deux éléments de même dimension.) Dire que l'instant est divisé en deux parties égales, c'est, dans l'hypothèse, dire qu'il est le double de lui-même.

Quelle est la valeur des quatre arguments ainsi interprétés? Si hardie que puisse paraître une telle assertion, nous n'hésitons pas à dire qu'ils sont tous irréprochables.

Nous ne saurions, sans dépasser démesurément les limites de ce travail, passer en revue toutes les réfutations, toutes les solutions de la difficulté que philosophes et mathématiciens se sont plu à imaginer. Il suffira de rappeler, après bien d'autres, que la plupart des critiques sortent de la question, ou du moins ne la posent pas dans les termes ou Zenon l'a posée. Par exemple, lorsque Aristote, qui a plus tard retiré cette objection, remarque contre la Dichotomie et VAchille que le temps est, comme l'espace, divisible à l'infini, et qu'il n'y a rien d'impossible à franchir des infinis dans un temps infini; lorsque Leibniz déclare qu'un espace divisible sans fin se passe dans un temps divisible sans fin, ils sont évidemment l'un et l'autre à côté de la question. Zenon sait très bien, sa démonstration même l'exige, que l'espace et le temps se comportent de la même façon, qu'ils sont ensemble, toujours et parallèlement, divisibles à l'infini. La question est de savoir comment, dans l'un et dans l'autre, cette série de divisions, par définition inépuisable, peut être épuisée, et il faut qu'elle le soit pour que le mouvement se produise. Ce n'est pas répondre que de dire qu'elles s'épuisent simultanément1.

Le mode de réfutation adopté par les mathématiciens

1. Voir sur ce point le lumineux chapitre, déjà cité, de M. Renouvier. Cf. Esquisse d'une classification systématique des doctrines philosophiques, t. 1, p. 38.

depuis Descartes jusqu'à M. Tannery, excellent en un sens, a un défaut analogue : il résout un autre problème que celui qui est posé. Montrer, s'il s'agit de la Dichotomie, que la somme 1 + 1/2 + 1/4... est égale à 2; calculer, s'il s'agit de Y Achille, le moment précis où Achille aura rejoint la tortue, c'est, comme l'a fort bien montré M. Évellin, répondre à la question quand? alors qu'on pose la question comment? Si on reste dans l'hypothèse, qui est celle de la divisibilité à l'infini, dans la Dichotomie on ne rencontrera jamais la limite, cela de l'aveu de tout le inonde, et dans l'autre argument, la distance qui sépare Achille de la tortue, toujours décroissante, ne sera jamais nulle. Et si on introduit la limite, et avec le calcul, le discontinu, Zenon sait bien que ses arguments ne sont plus valables. On est alors en présence d'une autre thèse sur la composition du continu : et celle-ci est justiciable du troisième et du quatrième argument.

Le critique qui a le plus récemment étudié les arguments de Zenon, M. Dunan, croit devoir, contrairement à l'opinion généralement admise, séparer la Dichotomie et Y Achille. La première lui semble à l'abri de tout reproche : le second est un sophisme. La raison qu'il donne est que, si à la vérité le mouvement est impossible dans le réel, comme l'a montré la Dichotomie, du moment qu'on accorde le mouvement d'Achille et celui de la tortue, « rien n'empêche de supposer qu'Achille possède une vitesse assez grande pour pouvoir dans le même temps, franchir d'abord la distance qui le séparait de la tortue, puis la distance qu'elle a parcourue, et même une distance beaucoup plus grande, de sorte qu'en passant, il aura mis la main sur elle » (p. 22).

Mais, pour arrivera cette conclusion, M. Dunan a admis que l'espace étant divisible à l'infini, comme le suppose manifestement l'argument, le temps était composé d'instants indivisibles en nombre fini. Or rien dans le texte n'autorise cette supposition. Tout porte à croire qu'ici comme dans la Dichotomie le temps est divisible comme l'espace. Soutenir que cette conception est exigée dès qu'on admet la réalité du mouvement d'Achille, ce serait, semble-t-il, prendre trop au sérieux l'hypothèse de Zenon, abuser d'une concession faite provisoirement, et raisonner, sinon avec trop de rigueur, au

LES ARGUMENTS DE ZENON D'ELÉE li

moins avec trop de rigorisme. Quand Zenon a commencé par supposer Achille et la tortue en mouvement, il est bien clair qu'en un sens il s'interdit à lui-même d'aboutir à une conclusion qui nie la possibilité du mouvement. Mais il use ici d'un procédé ou, si l'on veut, d'un artifice permis. Le mouvement est impossible : la Dichotomie l'a prouvé. Supposons pourtant, pour un moment, par grâce, qu'il soit possible : on arrive à d'autres absurdités. Les mêmes raisons qui empèr chent le mouvement de commencer, l'empêchent de continuer une fois commencé. Le second argument complète le premier : c'est la même idée présentée sous une forme plus concrète, plus saisissante, plus tragique, comme dit Aristote.

Les deux derniers arguments ont été moins souvent discutés que Y Achille : on les réfute surtout par le dédain : on a vite fait de les appeler sophismes. Cependant si la Flèche est prise dans son vrai sens, il n'est pas facile de voir ce qu'on pourrait lui objecter. Apparemment, il n'est pas plus aisé d'expliquer le mouvement, dans l'hypothèse des indivisibles, que de composer une ligne avec des points, une durée avec des instants. Il y a, toutefois, cette différence, tout à l'avantage de Zenon, que le point n'est pas la négation de la ligne, ni l'instant de la durée, aussi clairement que le repos est la négation du mouvement. Est-il possible de répondre à Zenon? Nous ne voudrions pas le nier, puisque M. Évellin l'a tenté. Ce n'est pas ici le lieu de discuter son ingénieuse théorie : mais le subtil philosophe ne nous en voudra pas si nous disons qu'elle n'est pas sans présenter quelque difficulté. En tous cas, si Zenon mérite le nom de sophiste pour avoir invoqué l'argument de la Flèche, il faudra donner le même nom à bien d'autres philosophes, entre autres à Pascal.

Reste le Stade, dont personne, si ce n'est Bayle, et encore avec timidité, n'a osé prendre la défense. Si l'interprétation que nous en avons donnée est exacte, il se justifie de luimême. Il signifie qu'on peut toujours, par le mouvement, diviser un instant supposé indivisible. C'est au fond le même argument par lequel Leibniz démontrait que le concept du mouvement le plus rapide possible est un concept contradictoire. Ainsi compris, le Stade est à la Flèche ce que Y Achille est à la Dichotomie : il présente la même idée sous

une forme plus concrète, plus tragique, ou, si l'on veut, plus plaisante. C'est cette plaisanterie innocente, mise au service d'une idée profonde, qui n'a pas été comprise, et qui a valu à l'argument et à son auteur leur mauvais renom. Peut-être ne faudrait-il jamais plaisanter en métaphysique.

Zenon d'Élée avait peut-être prévu que son ironie lui serait funeste : on peut le conjecturer d'après ce passage de Platon bien propre à nous montrer dans quelle mesure Zenon mérite le nom de sophiste : « Tu n'as pas vu, dit Zenon à Socrate, que mon ouvrage n'a pas de prétention, qu'il n'a pas été composé dans l'intention que tu supposes, et que je ne fais point mystère de ce qu'il renferme, comme si c'était quelque chose d'extraordinaire. Mais tu as bien vu que c'est une défense de Parménide contre ceux qui l'attaquent par des plaisanteries, prétendant que si l'Être est un, il en résulte beaucoup de conséquences ridicules et contradictoires. Mon livre répond aux partisans du multiple : il leur rend la pareille, avec usure, et fait voir qu'il résulte des conséquences encore plus ridicules de l'hypothèse du multiple que de c*elle de l'unité, si on l'examine attentivement. C'est pour soutenir cette dispute que je l'ai écrit dans ma jeunesse : on me l'a dérobé, et je n'ai pu délibérer s'il fallait le publier ou non. Tu te trompes donc, Socrate, en croyant que je n'ai pas écrit cet ouvrage dans ma jeunesse par amour de la dispute, mais par ambition dans un âge avancé1. »

Il reste une dernière question à résoudre. A quoi Zenon voulait-il en venir, à travers toutes ces subtilités? Comment ses arguments venaient-ils à l'appui de la thèse de Parménide?

Les historiens et critiques, qui ne regardent pas Zenon comme un sophiste, ne s'entendent pas sur ce point. Comme on doit s'y attendre, ils sont disposés à retrouver chez Zenon leurs propres idées.