DÉFINITIONS PRÉLIMINAIRE^^ A

I . A-FIN d’ëviter la confusion des idées et de les exposer plus

clairement, nous avons trouvé bon et indispensable de bien définir, avant de conunencer à entrer en madère, non-seulement la valeur des mois dont nous nous servons, mais encore quelques

principes fondamenuux. On sait que les mathématiques étant des sciences de rapport, on ne peut comparer entre elles que des quandtés homogènes ou semblables, ou ayant des propriétés communes. Un principe tout aussi imporunt , mais qui n’est qu’une conséquence du premier, c’est qu’on ne peut comparer zéro qui n’est rien avçc une quandté quelconque, quelque peüte quelle soit , ou bien une quantité infinie avec une quantité finie , quelque grande qu’elle soit. Ainsi, d’après ce dernier principe, il est ab-

surde de vouloir comparer un corps en repos avec un corps en

mouvement , im corps ne Jouissant d’aucune vitesse avec un corps doué de vitesse, en un mol une pression avec un choc; cœt pécher contre tous les principes de l’homogénéité et de la similitude, que de dire, comme quelques-uns de nos graiids géomètres :

Digitizcd'by Go i^Ic

( la )

qu’un choc est une somme dépréssions^ et c’est excuser par là ceux qui , tels que Rondelet , ont voulu comparer l’effet de la force de pression à l’effet de la force de choc. Quoiqu’un poids jouissant d’une certaine vitesse, puisse faire sur un corps, par exemple , l’effet d’une pression de trois kilogrammes, et que ce même poids, doué de la même vitesse , puisse produire sur un autre corps une pression double, il serait très -intéressant pour les arts de connaître ces rapports sur les différentes matières employées journellement aux différens usages de la vie , mais il ne faudrait pas en vouloir conclure la moindre chose contre la proposition que nous avons émise auparavant.

2. La pesanteur est une pression qu’un corps exerce sur un autre corps placé au-dessous de lui. Cette pression dont l’intensité déterminée s’appelle le poids du corps, peut être mesurée très-exactement au moyen des balances ; elle est invariable dans le vide, quelques changemens qui puissent s’opérer dans la forme, la position, l’extension et les propriétés chimiques du corps, pourvu cependant qu’aucune matière pondérable ne lui soit ni enlevée , ni ajoutée. Le poids d’un corps ne dépend que de la quantité de matière qu’il contient, il est donc proportionnel à la masse qui n’est que cette dernière quantité de matière. Pendant long-temps c’était la véritable signification du mot masse ^ et on affectait la dénomination de poids , pour désigner particulièrement les résultats des pesées , dans l’air plus ou moins dense. Et la question si une livre de fer pèse plus cpi’une livre de coton , n’est pas dépourvue de bon sens , si l’on veut comparer les pesées faites dans le vide avec celles faites dans l’air.

3- Les géomètres modernes qui se sont occupés de mécanique ont fait signifier au mot masse, une chose qui, sous certains rapports, est assez différente. Ayant remarqué que la masse et le poids , pris ' dans l’acception précédente , variaient avec l’intensité de la pesan—

leur , c'est-À-dire avec la distance de ce corps au centre de la terre , et que pourtant le nombre des molécules ou d'atomes pondérables ne variait pas et restait toujours le même, ils sont convenus de nommer poids absolu le poids d'un corps pesé dans le vide, et de désigner par le mot masse le poids d'un corps divisé par l’intensité de la pesanteur au lieu où a été effectuée la pesée de ce même corps \ et comme le poids absolu d'un corps est en raison directe de l'intensité de la pesanteur, on est arrivé par là à exprimer par le mot masse une quantité constante et indépendante des dilférens lieux où l’on a pu faire la pesée (a).

4- Cette dernière signification qui est de pure convention est celle que nous adopterons ^ et nous prions le lecteur de bien faire attention que, quoique nous ayons, en désignant par M la masse, par g la gravité et par P le poids absolu, Mg' égale P, nous ne voulons pas dire que P soit une somme d'espaces parcourus ou une somme de vitesses ^ ni comparer le moins du monde une pression

(a) Il ett bon da faire voir an quoi notre d/^£nition du mot maisa dînera da celle daa . autrea mécaniciens. Suivant M. Naviari a Tout corps qui cède librement à l’action de la pesanteur I prend un même mooTement uniformément accéléré ; et si divers corps sont re* tenus par des obstacles, ils exercent contre eux, par l’action de 1a pesanteur, des efforts ou pressions qui sont proportionnels à leurs masses, c’est-à-dire à la quantité de matière qu’iU contiennent. Ces pressions ne sont autre chose que ce qu’on nomme ordinairement le poids du corps. »

a Soit ^ l’accroUsement constant que reçoit dans chaque mité de temps, la vitesse de tout corps qui cède librement à la pesanteur: g sera une quantité propre à caractériser cette force et à en donner la mesure. Soit P le poids d’un corps dont la masse est m , le rapport P

du poids à 1a masse ou — sera évidemment aussi une quantité propre A donner la mesure de

la pesanteur. Mais deux quantités qui donnent la mesure d’une même cause, sont nécessat*

rement égales, ou du moins proportionnelles entre elles. On peut donc écrire ou

pourvu qu’ayant exprimé P et g* d’après les unités ordinaires de poids et de longueur, on 6xe l’unité de masse, laquelle est absolument arbitraire, de manière à satisfaire A cette équation. » Nous laisso n s au lecteur h fisire le rapptochenent entre cesse définition

et la nfitve.

avec un choc, et que nous* persistons toujours à croire qu’il est impossible et absurde qu’une telle comparaison puisse être faite généralement.

5. Il faut distinguer encore le poids absolu d'un corps du poids de ce même corps, parce que pour obtenir ce dernier, la pesée peut être faite dans l’air ou dans dilférens fluides. Le poids absolu est encore différent du poids spécifique^ ou de la densité qui est le rapport du poids absolu d’un corps , sous un certain volume , au poids absolu d’un autre corps sous le même volume. On observera encore que la densité est indépendante de la gravité ou de la pesanteur, et qu’elle exprime aussi le rapport de la masse d’un corps, sous un certain volume, à la masse d’un autre corps sous le même volume.

6. Lorsqu’un corps tombe dans le vide d’une certaine hauteur, sa vitesse d’abord nulle, s’accélère et s’accroît de plus en plas. h désignant la hauteur, g l’espace parcouru par un corps dans la première seconde de sa chute, etv étant la vitesse à la fin de cette chute , on a la relation

“ v=^y'igh.

L’espace, parcoimi dans.ee cas-ci, est bien différent de edui parcouru d’un mouvement uniforme , parce que celui-ci n’est que proportionnel à la vitesse, tandis que l’autre est proportionnel au carré de la vitesse acquise à la fin de la course. Ainsi , dans les machines , il faut bien faire attention à la manière dont les espaces, que l’on considère , ont été parcourus par la résistance ou les moteurs , et ne pas les confondre ensemble , pour éviter de pécher contre le principe fondamental des mathématiques , celui de l’homogénéité ou de la similitude. C’est aussi par^ cette dernière raison que nous emploierons l’expression de quantité de mouvement , pour exprimer le produit du poids absolu par la vitesse , et d’après

Coulomb et M. Nav^r , celle de (fiumtité faction , pour désigner le produit du poids par la hauteur parcourue en tombant.

Nous ajouterons encore que les géomètres sont convenus d^appeler force vive le produit ,de la masse par le carré de la vftessë; et de cette manière la force vive se trouve être le double de la quantité d''action.

7. Nous conserverons le mot générique force , pour désigner un produit quelconque du poids ou de la masse par la vit^se^ en observant pourtant de ne considérer ensemble et de ne mettre en rapport que des forces de même espèce. * '

8- Ainsi, pour qu^e quantité de mouvement devienne une quantité d'action, il faut la multiplier par la vitesse, et la diviser par ng qui représente le double de l'espace parcouru dans la première seconde de sa chute , par un corps tombant dans le vide.

De la manière de considérer le poids qvà sert à mettre une machine en mouvement.

9. Quand un treuil est mis en mouvement par un fluide, et employé à soulever un poids, si, au sortir de l'état du repos, on observe les vitesses acquises pendant des intervalles de temps ^ux mais successifs , on remarquera que les diflférences des vitesses entre elles, d'abord tiès-grandcs, deviennent déplus en plus petites , à mesure que le mouvement de la machine se r^ularise et s'approche de plus en plus de devenir uniforme. Quoique ce ne soit qu'au bout d'un . temps infini que l’on peut obtenir rigoureusement l'uniformité , U arrive pourtant, presque toujours, à cause de la grande prépondérance de la puissance sur les résistances, que l'on parvient au bout d'un- petit nombre de révolutions à une vitesse qui s'approche beaucoup de la vitesse limite. Ce phénomène est analt^e à celui qui a lieu pour les parachutes ; l’écoulenent des fluides h travers

des orifices, etc. ; et on peut , comme M. Poncelet, capitaine du génie , le démontrer généralement sans calcul , en se fondant sur la loi de continuité : « 11 suffit , pour cela , de prendre pour abscisses les temps successifs , et pour ordonnées les vitesses d'un point quelconque du système , et de former une courbe continue qui ne peut jamais devenir rigoureusement parallèle à Taxe des abscisses, ou dégénérer en ligne droite , puisqu'elle changerait de nature ; mais qui peut fort bien avoir cette parallèle pour asymptote, et en approcher d’une manière très-rapide , à partir de l’origine qui répond à l’instant du départ du système. »

10. Lorsque le mouvement peut être considéré comme parvenu à l’uniformité , le poids soulevé, multiplié par la vitesse qu’il a acquise ou par l’espace qu’il a parcouru dans une seconde , est dans un certain rapport avec le poids de l’eau motrice dépensée dans le même temps , multiplié par la hauteur qui peut être censée avoir produit la vitesse de cette même eau motrice. L’expérience et la théorie prouvent que ce rapport est constant dans la plupart des roues hydrauliques en usage, toutes les fois que le rapport de la vitesse de la roue à la vitesse de l’eau motrice est aussi constant. Si , comme on le pense généralement , le poids soulevé n’exprimait et ne mesurait qu’une simple pression , comme quand on pèse un corps dans une balance , on se trouverait amené à .comparer une quantité de mouvement à une quantité d’action, ce qui est aussi absurde que de vouloir mesurer un choc ou l’effet d’un choc par une pression. Pour satisfaire au principe de l’homogénéité , principe fondamental de toute science mathématique , il faut donc considérer le poids soulevé comme exprimant la mesure d’une quantité de mouvement divisée par le double de g , coéfficient de la gravité , ou comme mesurant déjà la moitié du produit de la masse du poids par la vitesse de ce même poids.

1 1 . Ainsi en multipliant cette dernière espèce de force par la

vitesse , on a une quantité «l'action qui peut être mise en nqipoct ou en relation avec la quantité d'action développée par l’eau moüice. Cette considération fait disparaître l’absurdité de comparer et de ‘ mesurer un espace parcouru d’im mouvement uniformément accéléré avec un espace parcouru d’un mouvement uniforme.

12. En supposant, que la résistance au mouvement, de la 'part d’une machine quelconque, soit représentée en totalité par un poids P suspendu au ntoycn d’une corde enroulée autour d’un arbre, la quantité d’action acquise par le récepteur, ayant une vitesse uniforme V , sera exprbnée par Pi», et l’une de ces deux quantités ne pourra croître sans que l’autre ne diminue.

\ 3 . SI on laisse l’ouverture de la vanne toujours la même , avec une résistance très-grande, quand le mouvement sera parvenu à l’uniformité, la vitesse de la machine sera très-petite et la quantité d’action acquise par le récepteur sera aussi très -faible. Avec une moindre résistance, la vitesse, lors du mouvement uniforme, sera plus considérable, et la cjuanlité d’action acquise sera aussi augmentée. En diminuant de plus en plus la résistance, la quantité «l’action ac<piise par. le récepteur s’accroîtra de plus en plus , jusqu’à un certain terme, avec la vitesse uniforme. Mais, passé ce terme, quoique la vitesse uniforme augmente continuellement, la quantité daction acquise par le récepteur «bminuera de plus en plus et elle finira par être presque nulle, quand la vitesse, lois du mouvement uniforme, sera très-grande. Le point, où se trouve ce maximiun de force acquise, a été trouvé pour les récepteui's dans beaucoup de cas^ et c’est lui qui fixe ordinairement , dans les usines , la vitesse avec laipielle on fait mouvoii- les machines.

- ^ 4- Quoique l’cfïbrt reçu par le récepteur varie avec la vitesse dé la, machine, ça, peut toujours, par expérieni» ou par théorie, détenojner la manière dont se (ait cette variation, et fixer, pour ime vitesse quelconque , de conabiéo l’effort reçu «Uffére de l’effort

maximum. Ainsi, de Teffort maximum, on peut déduire l’effort reçu par la machine, dans chaque cas particulier ^ et c’est cet effort reçu que nous appellerons effort réduit , force réduite ou quantité (Faction réduite.

La force consommée par le frottement croit généralement comme le carré de la vitesse.

1 5- Nous avons xni la manière dont il fallait considérer un poids soulevé, au moyen d’un treuil, par une roue hydraulique mue dans im coursier^ pour nous faire mieux comprendre et ne laisser aucun doute dans l’esprit, substituons à la résistance du poids celle d’un système d’engrenages à poids constant : par le principe de l’homogénéité, la force développée par le moteur étant une force vive ou une quantité d’action , il faut que la force reçue par le récepteur ou la roue hydraulique , soit aussi une force vive ou une quantité d’action. Quand, l’ouverture de la vanne restant la même , la hauteur de l’eau varie , l’effort fait par le moteur varie aassi comme cette hauteur, ou comme le carré de la vitesse acquise par l’eau en tombant de cette même hauteur. Pour que la force réduite transmise au récepteur et la force dépensée par le moteur restent en relation, il faut qu’elles soient d’abord de la même espèce; et, puisque la force motrice est une quantité d’action , la force transmise doit être aussi une quantité d’action ; et, la première variant, la seconde doit varier aussi d’une manière analogue ; cette variation ne pouvant d’ailleurs influer que sur la vitesse du récepteur, et la force motrice suivant la loi des carrés de la vitesse du courant, la force réduite et communiquée au récepteur doit suivre aussi la loi du carré de la vitesse reçue; en un mot la force consommée par le frottement et qui sért à entretenit, en mouvement, un système d’engrenages à poids constant, doit croître comme le carré de la vitesse communiquée (lo, 1 1 ).

16* Cett« vérité est encore plus sensible, lorsque Ton suppose un treuil mu toujours par une roue hydraulique , et portant sur son arbre, au lieu d'une poulie pour soulever un poids , deux bras qui soutiennent des surfaces assez considérables pour présenter, à l'air, une résistance capable de ralentir et de diminuer la vitesse. Si le treuil est sans pesanteur, il est évident, que, lorsque le mouvement est devenu uniforme, la résistance de l'aii- contre les surfaces planes est en rapport avec la force motrice; et coiiune.ici la résistance de l'air est proportionnelle au carré de la vitesse de la surface, la loi ci-dessus se trouve entièrement confirmée.

\ 7 • Si, dans ce dernier treuil, après avoir supprimé la roue hydraulique , on remplace son action par un poids suspendu à uue corde enroulée sur l’arbre , et , qu’oii laisse tout le reste dans le même état; quand le mouvement sera parvenu à l'uniformité, on aura toujoiu^ d'un côté la résistance de l'air, qui sera comme le carré de la vitesse , et de l'autre côté , un poids descendant d'un mouvement uniforme, et servant à remplacer une force accélératrice; donc, pour être conséquent et observer la loi de l'homogénéité, il faudra , comme nous l’avons fait, considérer ce poids comme exprimant ime quantité de mouvement divisée par le double de la gravité.

18. La différence entre la insistance du poids suspendu, à une corde, s'enroulant sur un treuil , et la résistance du poids de ce même treuil ,' consiste en ce que le premici-, pouvant faire naître le mouvement par lui-même , s'aide de l'action continuelle de la gravité ou de la pesanteur, pour résister à la force du moteur; tandis que le second , pour s'opposer au même effort , n'a que son poids qui ne peut lui faire acquérir par lui-même aucun mouvement.

1 9> Ainsi, si la force consommée, par un poids suspendu à une corde s'enroulant sur un treuil , croît comme la simple vitesse, celle consommée par le frottement du treuil, ou par la résistance prove-

nant d’un système d’engrenages, croîtra comme les carrés des vitesses des rentres d’impulsion. Dans beaucoup de machines, conime nous le verrons par la suite , la force consommée par le travail varie de même, comme la simple vitesse , et non comme le carré de la vitesse \ et c’est ce qui nous a engagé à consacrer l’expression : coéffîcient d’homogénéité^ pour désigner la force consommée, divisée par la vitesse ou le carré de la vitesse, selon que cette force consommée croit comme la simple vitesse ou comme le carré de la vitesse.

20- Supposons à présent, que l’eau qui met en mouvement la roue hydraulique, acquierre une vitesse qui soit le double de celle qui existait auparavant; et que l’on règle le mouvement du récepteur de manière que le rapport de sa vitesse, à celle de l’eau motrice, reste constant. La force motrice dépensée sera quadruple de la première , et la force acquise, par le récepteur, représentée par le poids soidevé, devra être aussi quadruple, ce qui s’effectuera au moyen d’un poids double du premier et animé de la vitesse double que la machine vient d’acquérir. Et, en généralisant ce raisonnement, on voit que les vitesses des poids moteurs, croîtront dans les mêmes rapports que ces mêmes poids. Ce que Sméaton a vérifié par expérience, dans son examen expérimental de la quantité et de la proportion de la puissance mécanique nécessaire, pour imprimer différens degrés de vitesse, aux corps graves passant du repos au mouvement; et ce qui découle tout naturellement aussi de la proposition que nous avons énoncée (lo, 17 , 18 ), que le poids soulevé, au moyen d’une corde qui s’enroule sur une poulie, n’exprimait pas une simple pression , mais une quantité de mouvement divisée par le double de la gravité ou par ig.

21. Une partie de la forco traasmise au récepteur, et qui sert à entretenir le mouvement de la machine, est consommée par les frottemens qui croissent comme le carré de la vitesse , et non comme la simple vitesse, suivant l’opinion généralement reçue par la plu-.

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part des mécaniciens et des théoriciens , et qoi se trouve consignée dans les traités de mécanique les plus répandus et les pins estimés. Ce dissentiment nous a engagé, à faire voir d^abord, comment les expériences, que Coulomb a faites directement pour con— naitie la loi des frottemens, prouvent notre proposition ; et à nous étendre en suite sur certains points, qui ne se trouvent pas compris ordinairement dans tous les traités de mécanique, et qui peuvent éclairer nos lecteurs, et leur ôter quelques nuages et quelques doutes, qui pourraient leur rester, sur les propositions que nous venons de leur développer. Des idées, en opposition avec celles généralement reçues, ne sauraient être présentées, sous trop de points de vue différons , pour prévenir toutes les objections que Ton pourrait élever.

Expériences de Coulomb sur les frottemens.

22. Avant de rapporter les expériences de Coulomb, nous remarquerons que tous les corps, lorsqu’on les met en contact, ont ime tendance à s’attacher les uns aux autres , à moins que le contact ne soit très-imparfait , ou que le poids du corps ne rende cet eflFet insensible. Cette propriété se nomme adhésion. Elle se distingue de la cohésion , parce qu’elle s’exerce sur les corps hétérogènes aussi bien que sur les corps homogènes , tandis que la cohésion proprement dite n’a lieu qu’entre des corps homogènes. L’attraction, qui existe entre deux corps hétérogènes, se nomme proprement affinité. L’adhésion n’est donc pas une force particulière , mais, elle est ou, ime cohésion faible, ou, une faible alHnité. Pendant le repos , elle croît avec le temps jusqu’à un certain terme , et suit des lois différentes de celle du frottement. La confusion de l’adhésion et du frottement a retardé, pendant long- temps, la connaissance des phénomènes et la détermination de leur valeur absolue.

23. Coulomb s’était servi, dans ses expériences, d’une poulie de bois de gayac, de la pouces de diamètre, et dont l’axe de fer,

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de 19 lignes de diamètre, était fixé (Fig. i) sur deux madriers de bois BB, portés sur une espèce de chevalet. La poulie était mobile autour de l’axe de fer, n’avait qu’une ligne trois quarts de jeu, et était revêtue intérieurement d’une boite de cuivTe. Tout le système ne pesait que i 4 Uvres, et on avait fait disparaître les irrégularités par le mouvement. Les poids n’avaient qu’une course de 6 pieds.