Chapitre troisième
Des courants d'air permanents et verticaux.
§ 15. Mouvement rectiligne.
Nous regardons une particule d'air qui se meut suivant l'axe vertical de z que nous supposons positif en haut. Nous allons négliger faction de la rotation de la terre et la résistance entre les molécules de l'air. Alors nous aurons trois forces, savoir: la force produite par la
variation de la pression — ^ ' '* ^^^^® ^® ^^ pesanteur g et la force tangentielle m; -^- > en désignant par w la vitesse verticale.
L'équilibre entre ces trois forces est donné par
1 dp dw ,,.
L'équation de continuité s'écrit, en désignant par po et w^ les valeurs de p et de u; dans un point quelconque
pw=:?oM^o (2)
Cette équation exige que la section du courant soit constante. Les équations ont lieu
pour un mouvement ascendant, et en écrivant — 1(; au lieu de tv elles s'appliquent au mouvement
descendant. Pour intégrer l'équation (1) il faut connaître la densité comme une fonction de la
pression. Nous allons supposer la relation donnée par l'équation (18) du § 5, et alors on aura
d'après l'équation (20)
^9 9 *- ^Po
fè) " w
Ici on a supposé p=Po et te? « w^ pour jer = 0. En di£férentiant Téquation (18) du § 5 on a
dp ^ — 1 <?p p w ^
Différentions Téquation (2) et éliminons f2p et dp àTaide de Féquation (1), nous trouverons
dw gw
dz ^ 1> 9 ur
On conclut de la dernière équation que la vitesse w ne peut jamais dépasser une certaine limite iv„, déterminée par Féquation
En introduisant la valeur de ~- exprimée par w et w^ et en remarquant que — est égale à aTo on trouve <
Wq — -* -0
Si. l'on introduit cette valeur dans les équations (4) et (3), on déterminera la valeur maximum de la hauteur z qu'un courant vertical ne peut dépasser, pour une valeur donnée de la vitesse initiale Wq, On voit par l'équation (4) que la vitesse augmente pendant que la pression décroit, et l'équation (3) montre que la pression p diminue pour les valeurs croissantes de w. Dans un courant vertical ascendant la pression est donc moindre à la même hauteur que dans l'atmosphère environnante.
Si l'on veut appliquer l'équation (3) à un courant vertical dont la section JP varie, il faut employer l'équation de continuité suivante
tVo
Cependant cette formule n'a lieu que dans les cas où la section du courant varie trèslentement. Elle montre que la vitesse diminue, quand la section augmente, ce qui a lieu au commencement et à la fin des courants.
Applications.
1^ Calcul de la hauteur.
Soit m = 5, To *= 293^ on trouvera
Po
xc = 50"
2° Hauteur mopnmum pour une vitesse initiale donnée.
Wo
P Po
Les valeurs de T^ représentent la température virtuelle à la hauteur z.. Dans la dernière colonne nous avons inscrit des nombres qui^ représentent la force tangentielle à la surface de la terre exprimée en millimètres par un degré du méridien: on peut comparer cette force aux gradients des mouvements horizontaux pour avoir une idée nette de la force qui agit dans les mouvements verticaux ascendants.
§ 16. Conditions de l'existence des courants d'air ascendants et descendants
Si les
courants verticaux conservent un mouvement permanent, les pressions dans les
courants et dans l'atmosphère environnante doivent satisfaire à certaines conditions que nous allons considérer. Dans les courants ascendants Tair entre suivant la surface de la terre et par conséquent la pression p'q de l'atmosphère doit être plus grande que la pression Pq de la partie la plus basse du courant; cela exige un minimum barométrique à la surface de la terre. Dans les couches plus
élevées où l'air sort du courant, la pression p dans le
courant doit rester plus grande que la pression p' de l'atmosphère et par conséquent on trouvera à une certaine hauteur un maximum barométrique. Les phénomènes sont inverses dans les courants descendants: Tair entre dans le courant dans les couches élevées eip'>p^ et un minimum barométrique a lieu à une certaine hauteur. A la surface de la terre Tair sort du courant et on a un maximum barométrique et Pq>Pq.
Nous allons faire la remarque que les grandes vitesses modifient j)eut-être les phénomènes et que Tair peut sortir d'un courant même à un minimum barométrique^), mais il est vraisemblable qu'on trouvera toujours dans la nature des maxima barométriques dans de pareils cas, parce que les vitesses sont faibles aux limites des courants.
Four étudier les conditions qui auront lieu en dedans et en dehors du courant entre les pressions p^ et p^' à la surface de la terre et entre les pressions p et p* en dedans et en dehors du courant à une certaine hauteur, où la vitesse verticale du courant est égale à zéro, nous supposons que les températures virtuelles T dans le courant et T dans l'atmosphère environnante décroissent proportionnellement à la hauteur. Soit m le coefficient qui appartient au courant et m* celui de l'atmosphère, on a d'après le § 4
Posons { 1 ^ "rv-}
\ am'T'J
nous aurons ^ = ^ f{z), (4)
P Po
Si le mouvement est ascendant, il fiiut avoir simultanément
Po p
Si le mouTement est descendant, il faut avoir simultanément
Po p
En différentiant f{z) on trouvera
') En substituant 180® + a it a (^ans les équations du § 12, on aura les formules qui appartiennent aux courants sor-
kr tant du centre. Cette hypothèse exige que v > ~~~
Nous allons distinguer deux cas:
1^ Tq> Tq'. La température virtuelle du courant à la surface de la terre est plus grande que celle de l'atmosphère environnante.
Si m>w' ou m = m\ f{z) croît constamment avec z et par conséquent on arrivera
toujours à une hauteur où -^ > 1, et un courant ascendant peut avoir lieu. La hauteur du
courant est limitée selon Féquation (6) du § 15.
Si m<,m\ f{z) croît d'abord et atteint un maximum à une hauteur h donnée par
h = ^-mm'~^^^^' (6)
Pourvu que /*(*)>--> le rapport ^> 1 et un courant ascendant peut avoir lieu.
Quand la hauteur dépasse la valeur A, ((z) décroît et en même temps le rapport -^ diminue,
ce qui limite la hauteur du courant.
2^ T^' > Tq, La température virtuelle du courant est plus basse que la température de
Tatmosphère environnante.
Si m'>m ou i»' = w, f(z) décroît constamment avec js, et on arrivera toujours a une
hauteur e où -^ < 1 ; par conséquent un courant descendant peut avoir lieu. La hauteur est
limitée selon Féquation (6) du § 15.
Si w'<f», f(js) décroît d'abord et atteint un minimum à une hauteur h donnée par
réquation (6). Pourvu que /*(*)<—> le rapport — /<1 et un courant descendant peut avoir
Po P
lieu. Quand z dépasse la valeur A, f{z) croît et en même temps le rapport - ,- augmente, ce
qui limite la hauteur du courant.
Nous concluons donc que les courants ascendants possèdent une température virtuelle plus haute que l'atmosphère calme et que les courants descendants possèdent une température virtuelle plus basse que l'atmosphère calme.
Nous avons supposé que la température décroît proportionnellement à la hauteur. On voit qu'on peut étudier les conditions des mouvements ascendants et descendants d'une manière analogue quand la température suit une autre loi. Dans la nature la loi est généralement compliquée, mais on peut diviser l'atmosphère en couches et introduire un coefficient m qui varie avec la hauteur de la couche.
Enfin nous regardons le cas spécial où
Ce cas comprend l'équilibre stable et instable de l'atmosphère. On voit facilement que m>m' permet un courant ascendant et m < m' permet un courant descendant. Ces conditions sont les mêmes que celles que nous avons trouvées dans le § 6.
§ 17. Vitesse horizontale produite par un courant vertical.
Dans la nature les courants ascendants produisent des vitesses horizontales suivant la surface de la terre, qui peuvent atteindre des valeurs très considérables et dangereuses pour les objets se trouvant sur leur passage. Quant aux courants descendants on trouve presque toujours dans la nature que les vitesses horizontales suivant la surface de la terre sont faibles, mais il est probable que les vitesses horizontales à une certaine hauteur, où Pair entre dans le courant descendant, ont des valeurs considérables.
Considérons un courant ascendant et soit Vq la vitesse horizontale maximum, Pq la pression minimum dans le courant à la surface de la terre, soit p^ la pression dans Tatmosphère calme à un point assez éloigné pour qu'on puisse négliger la vitesse, on a approximativement l'équation de la force vive, la densité de l'air posée constante:
V,V = ^e^iî' (1)
où F désigne le travail du frottement suivant la surface de la terre. On trouvera
Le travail du frottement dépend du chemin parcouru des particules d'air et de la variation de la vitesse. Il y a des tourbillons où le travail F est très-petit et d'autres où il est très-grand. C'est surtout la dimension du tourbillon qui détermine le travail du frottement. £n tout cas on voit que la vitesse horizontale dépend principalement de la dépression barométrique p^* — i>ot <lu'on peut regarder comme la mesure de la force du courant. D'après l'équation (4) du § 16 on a
et par conséquent
i>o'-i'o=i'o'(l-f.-yJ^) (3)
La dépression ne peut pas dépasser la valeur donnée par cette équation en substituant i) ==!>'.
Posons la pression dans l'atmosphère calme égale à 760""*, et désignons par B la valeur maximum de la dépression exprimée en millimètres, on a
Pour les courants descendants on trouve de la même manière
Ici D désigne l'excès de la pression dans le centre du tourbillon sur la pression de
l'atmosphère calme. ^
A l'aide de ces' formules et les équations (3) et (6) du § 16 nous avons calculé les tableaux suivants.
Tab. L Gourants ascendants.
« I fi.')
> ou =
Tab. IL Gourants descendants.
< ou =
To'
Dans des tourbilloas à petites dimensions on peut négliger l'action de la rotation de la terre. En supposant la hauteur l du courant horizontal très-petite il faut attribuer au coefficient du frottement une grande valeur et par conséquent l'air entre dans le courant presque radialement Dans ce cas l'équation de continuité donne, en désignant par r le rayon du tourbillon,
et on aura r = 2 Z, en supposant Vq = w^.
Dans ce cas le rayon du tourbillon sera également petit, ce qui est constaté par les observations sur les tourbillons de fumée, les tourbillons de poussière dans les chemins et les tourbillons de sable dans les déserts. Pour calculer la vitesse horizontale nous négligeons le travail du frottement, parce que le chemin parcouru est très-court, alors on trouvera
Vk
^ 9 Si Ton suppose la hauteur e moindre que 1000", on peut
développer f{z) déterminé par l'équation (3) du § 16 en
série, et en introduisant cette valeur de f{js) dans Péquation (4) et en posant p=p' on aura
^gn.
To-To'
On voit donc que pour les petites hauteurs les coefficients m et m' ne paraissent pas dans la formule, c'est-à-dire la chaleur latente des vapeurs d'eau ne jouent aucun rôle dans ce cas. La formule est identique à celle de la vitesse de l'air dans une cheminée quand on néglige le frottement.
Supposons l'air sec, la température virtuelle est égale à la température absolue, savoir To = 273 + To et To' — 273 + To*. Pour ce cas nous avons calculé le tableau suivant en posant To' = 200.
Tableau m.
Vitesse horizontale dans les petits tourbillons.
;er = la hauteur du courant vertical.
Quand les tourbillons ont de grandes dimensions, on ne peut pas négliger le travail du frottement. En supposant que les trajectoires des particules d'air soient des spirales logarithmiques, on peut calculer la dépression barométrique comme nous Pavons fait dans les paragraphes 12 et 14 (voir Planches II et III). Le tourbillon à grande vitesse montre une dépression barométrique égale à 32.9°"" pour un rayon égal à 2 degrés, et avec une vitesse maximum égale à 50". Le tourbillon à vitesse moyenne montre une dépression barométrique égale à 34.9"" pour un rayon égal à 20 degrés et avec une vitesse maximum égale à 16". Dans le dernier cas le travail du frottement est beaucoup plus grand que dans le premier, parce que le chemin parcouru est dix fois plus long.
En regardant le tableau I on verra que les dépressions barométriques peuvent être produites par les différents états de l'atmosphère. Les deux tourbillons, où les dépressions barométriques ne diffèrent pas sensiblement, se distinguent par leurs vitesses maxima, et il faut chercher l'explication de cette différence dans les grandeurs des rayons des courants verticaux qui produisent les vitesses horizontales. Le tourbillon à grande vitesse appartient à un courant vertical dont le rayon est probablement de quelques dixièmes de degré, mais dont la vitesse verticale initiale est très-grande. L'autre tourbillon à vitesse moyenne appartient à un courant vertical dont le rayon comprend plusieurs degrés et dont la vitesse verticale initiale n'est pas considérable.
La grandeur du rayon du courant vertical, qu'on peut poser proportionnel à la distance du centre au point oii la vitesse atteint sa valeur maximum, joue un rôle important dans la théorie des tourbillons. En comparant deux tourbillons avec la même dépression barométrique, celui qui a le rayon le plus petit a la plus grande vitesse et est par conséquent le plus violent. En comparant deux tourbillons avec la même vitesse maximum, celui qui a le plus petit rayon a le plus grand gradient et lia plus petite dépression.
La cause physique qui détermine la grandeur du rayon dépend de l'état différent de l'air ascendant et de l'atmosphère environnante. Mais pour étudier les mouvements des tourbillons en général il faut avoir égard aux vitesses suivant les trois dimensions, ce que nous allons traiter dans la deuxième partie de nos études.
Fin de la première partie.
TRAJECTOIRE ÏÏÏÎN VEiNT P/\SSAOT ^EQUATEUR
