Chapitre troisième
Des courants d'air permanents et verticaux.
§ 15. Mouvement rectiligne.
Nous regardons une particule d'air qui se meut suivant l'axe vertical de z que nous supposons positif en haut. Nous allons négliger l'action de la rotation de la terre et la résistance entre les molécules de Tair. Alors nous aurons trois forces, savoir: la force produite par la
variation de la pression — ^» la force de la pesanteur g et la force tangentielle m;-^> en désignant par w la vitesse verticale.
L'équilibre entre ces trois forces est donné par
l dp I dw ,-.
L'équation de continuité s'écrit, en désignant par po et Wq les valeurs de p et ie w dans un point quelconque
9w^PqW^ (2)
Cette équation exige que la section du courant soit constante. Les équations ont lieu pour un mouvement ascendant, et en écrivant — u; au lieu de w elles s'appliquent au mouvement descendant. Pour intégrer l'équation (1) il faut connaître la densité comme une fonction de la pression. Nous allons supposer la relation donnée par l'équation (18) du § 5, et alors on aura d'après l'équation (20)
-ir^--'+=^['-(i)-] ■ «
'-^(Po.) - (4)
^9 9 ^ ^Pq
Wo \p
Ici on a supposé p=^Po et îv^Wq pour jgr = 0.
En différentiant Téquation (18) du § 5 on a
dg __ fn — 1 Jj?
Différentions réquation (2) et éliminons dp et dp à Taide de Téquation (1), nous trouverons
dw gw
dz ^ P 9
On conclut de la dernière équation que la vitesse w ne peut jamais dépasser une certaine limite w^ déterminée par Téquation
^lA w P
En introduisant la valeur de — exprimée par tv et w^ et en remarquant que — est
égale à a To un trouve
m;. r m aTt, l2m— i
[ w aîb 121»— 1 f^.
Wq m^trv X «V0
Si Ton introduit cette valeur dans les équations (4) et (3), on déterminera la valeur maximum de la hauteur z qu'un courant vertical ne peut dépasser, pour une valeur donnée de la vitesse initiale w^. On voit par l'équation (4) que la vitesse augmente pendant que la pression décroit, et l'équation (3) montre que la pression p diminue pour les valeurs croissantes de w. Dans un courant vertical ascendant la pression est donc moindre à la même hauteur que dans l'atmosphère environnante.
Si l'on veut appliquer l'équation (3) à un courant vertical dont la section F varie, il faut employer l'équation de continuité suivante
tCfl
Cependant cette formule n'a lieu que dans les cas où la section du courant varie trèslentement. Elle montre que la vitesse diminue, quand la section augmente, ce qui a lieu au commencement et à la fin des courants.
Applications.
1° Calcul de ïa hauteur.
Soit f» =• 5, Tfl *= 293", on trouvera
JPo 0.80
te =» 1- M) =a 10"" ÎV = 20" w =^ 30"
2^ Hauteur maximum pour une vitesse initiale donnée.
Wo
JC„
em
Po 0.001623
Po
Les valeurs de T^ représentent la température virtuelle à la hauteur z„. Dans la dernière colonne nous avons inscrit des nombres qui représentent la force tangentielle à la surface de la terre exprimée en millimètres par un degré du méridien: on peut comparer cette force aux gradients des mouvements horizontaux pour avoir une idée nette de la force qui agit dans les mouvements verticaux ascendants.
§ 16. Conditions de l'existence des courants d'air ascendants et descendants.
Si les courants verticaux conservent un mouvement permanent, les pressions dans les
. courants et dans l'atmosphère environnante doivent satisfaire à certaines conditions que nous allons considérer. Dans les courants ascendants Tair entre suivant la surface de la teiTe et par conséquent la pression p*^ de l'atmosphère doit être plus grande que la pression jPo de la partie la plus basse du courant; cela exige un minimum barométrique à la surface de la terre. Dans les couches plus
Po élevées où l'air sort du courant, la pression p dans le
courant doit rester plus grande que la pression p' de Tatmosphère et par conséquent on trouvera à une certaine hauteur un maximum barométrique. Les phénomènes sont inverses dans les courants descendants: Pair entre dans le courant dans les couches élevées et|7'>p, et un minimum barométrique a lieu à une certaine hauteur. Â la surface de la terre Tair sort du courant et on a un maximum barométrique et jPo>i^o'-
Nous allons faire la remarque que les grandes vitesses modifient peut-être les phénomènes et que Tair peut sortir d'un courant même à un minimum barométrique ^), mais il est vraisemblable qu'on trouvera toujours dans la nature des maxima barométriques dans de pareils cas, parce que les vitesses sont faibles aux limites des courants.
Pour étudier les conditions qui auront lieu en dedans et en dehors du courant entre les pressions p^ et p^' à la surface de la terre et entre les pressions p et p* en dedans et en dehors du courant à une certaine hauteur, où la vitesse verticale du courant est égale à zéro, nous supposons que les températures virtuelles T dans le courant et F dans l'atmosphère environnante décroissent proportionnellement à la hauteur. Soit m le coefficient qui appartient au courant et m* celui de l'atmosphère, on a d'après le § 4
Po' Posons ( 1 — — ^^- )
(i il— y
nous aurons
Si le mouvement est ascendant, U faut avoir simultanément
Po ^ ' P' Si le mouvement est descendant, il faut avoir simultanément
En différentiant f{e) on trouvera
g m' — m ^/\ fl'^/s '" '" a m'm ~ ...
r («) = t/^(^)- — —, — g, w — jr~\ ■ (^>
') En substituant 180® + a ^ a <3an8 les équations du § 12, on aura les formules qui appartiennent aux courants sor* tant du centre. Cette hypothèse exige que i; > "^«^
Nous allons distinguer deux cas:
1^ Tq> Tq\ La température virtuelle du courant à la surface de la terre est plus grande que celle de l'atmosphère environnante.
Si m > m' ou m = m', f{js) croît constamment avec z et par conséquent on arrivera
toujours à une hauteur oii -^>1, et un courant ascendant peut avoir lieu. La hauteur du
courant est limitée selon Téquation (6) du § 15.
Si m < fn\ f{z) croît d'abord et atteint un maximum à une hauteur h donnée par
h^^mm'~^r~ • (6)
Pourvu que f(A)>-^-> le rapport ~-> 1 et un courant ascendant peut avoir lieu.
Quand la hauteur dépasse la valeur A, f{z) décroît et en même temps le rapport ^ diminue,
ce qui limite la hauteur du courant.
2<* jPo'>^o- La température virtuelle du courant est plus basse que la température de
l'atmosphère environnante.
Si w'>m ou m' — w, f{z) décroît constamment avec z^ et on arrivera toujours a une
hauteur z où —- < 1 ; par conséquent un courant descendant peut avoir lieu. La hauteur est
limitée selon l'équation (6) du § 15.
Si m'<w, f{z) décroît d'abord et atteint un minimum à une hauteur h donnée par
l'équation (6). Pourvu que /*(*)< —î le rapport ^<l et un courant descendant peut avoir
lieu. Quand z dépasse la valeur A, f{z) croît et en même temps le rapport - ,- augmente, ce
qui limite la hauteur du courant.
Nous concluons donc que les courants ascendants possèdent une température virtuelle plus haute que l'atmosphère calme et que les courants descendants possèdent une température virtuelle plus basse que l'atmosphère calme.
Nous avons supposé que la température décroît proportionnellement à la hauteur. On voit qu'on peut étudier les conditions des mouvements ascendants et descendants d'une manière analogue quand la température suit une autre loi. Dans la nature la loi est généralement compliquée, mais on peut diviser l'atmosphère en couches et introduire un coefficient m qui varie avec la hauteur de la couche.
Enfin nous regardons le cas spécial où
Ce cas comprend l'équilibre stable et instable de l'atmosphère. On voit facilement que m>m*
permet un courant ascendant et m < m' permet un courant descendant. Ces conditions sont
les mêmes que celles que nous avons trouvées dans le § 6.
§17. Vitesse horizontale produite par un courant vertical.
Dans la nature les courants ascendants produisent des vitesses horizontales suivant la surface de la terre, qui peuvent atteindre des valeurs très considérables et dangereuses pour les objets se trouvant sur leur passage. Quant aux courants descendants on trouve presque toujours dans la nature que les vitesses horizontales suivant la surface de la terre sont faibles, mais il est probable que les vitesses horizontales à une certaine hauteur, oii Pair entre dans le courant descendant, ont des valeurs considérables.
Considérons un courant ascendant et soit Vq la vitesse horizontale maximum, p^ la pression minimum dans le courant à la surface de la terre, soit po' la pression dans l'atmosphère calme à un point assez éloigné pour qu'on puisse négliger la vitesse, on a approximativement Féquation de la force vive, la densité de Tair posée constante:
où F désigne le travail du frottement suivant la surface de la terre. On trouvera
Le travail du frottement dépend du chemin parcouru des particules d'air et de la variation de la vitesse. Il y a des tourbillons où le travail F est très-petit et d'autres où il est très-grand. C'est surtout la dimension du tourbillon qui détermine le travail du frottement. En tout cas on voit que la vitesse horizontale dépend principalement de la dépression barométrique Pq — Pq, qu'on peut regarder comme la mesure de la force du courant D'après l'équation (4) du § 16 on a
Po' P' fi^) et par conséquent
Po
La dépression ne peut pas dépasser la valeur donnée par cette équation en substituant p =i>'.
Posons la pression dans l'atmosphère calme égale à 760"", et désignons par D la valeur maximum de la dépression exprimée en millimètres, on a
Pour les courants descendants on trouve de la même manière
Ici D désigne l'excès de la pression dans le centre du tourbillon sur la pression de l'atmosphère calme.
A l'aide de ces formules et les équations (3) et (6) du § 16 nous avons calculé les tableaux suivants.
Tab. I.
Couran
ts ascendants
> ou =
To
fOi)
To'
Tab. II.
Courants descendants.
OU
Dans des tourbillons à petites dimensions on peut négliger Faction de la rotation de la terre. En supposant la hauteur l du courant horizontal très-petite il faut attribuer au coefficient du frottement une grande valeur et par conséquent Fair entre dans le courant presque radialement. Dans ce cas Téquation de continuité donne, en désignant par r le rayon du tourbillon,
et on aura r =» 2 Z, en supposant v^ = Wq.
Dans ce cas le rayon du tourbillon sera également petit, ce qui est constaté par les observations sur les tourbillons de fumée, les tourbillons de poussière dans les chemins et les tourbillons de sable dans les déserts. Pour calculer la vitesse horizontale nous négligeons le travail du frottement, parce que le chemin parcouru est très-court| alors on trouvera
v^^ypi
— Po
iTa
Si Ton suppose la hauteur a moindre que 1000", on peut
développer f{z) déterminé par Tequation (3) du § 16 en série, et en introduisant cette valeur de f{z) dans l'équation (4) et en posant p^=^p' on aura
Zgz.
On voit donc que pour les petites hauteurs les coefficients m et m' ne paraissent pas dans la formule, c'est-à-dire la chaleur latente des vapeurs d'eau ne jouent aucun rôle dans ce cas. La formule est identique à celle de la vitesse de Pair dans une cheminée quand on néglige le frottement.
Supposons Tair sec, la température virtuelle est égale à la température absolue, savoir jPo = 273 + To et To' = 273 + tq'. Pour ce cas nous avons calculé le tableau suivant en posant To' = 20®.
Tableau m.
Vitesse horizontale dans les petits tourbillons.
;er » la hauteur du courant vertical.
Quand les tourbillons ont de grandes dimensions, on ne peut pas négliger le travail du frottement. En supposant que les trajectoires des particules d'air soient des spirales logarithmiques, on peut calculer la dépression barométrique comme nous l'avons fait dans les paragraphes 12 et 14 (voir Planches II et lU). Le tourbillon à grande vitesse montre une dépression barométrique égale à 32.9"" pour un rayon égal à 2 degrés, et avec une vitesse maximum égale à 50". Le tourbillon à vitesse moyenne montre une dépression barométrique égale à 34.9"" pour un rayon égal à 20 degrés et avec une vitesse maximum égale à 16". Dans le dernier cas le travail du frottement est beaucoup plus grand que dans le premier, parce que le chemin parcouru est dix fois plus long.
En regardant le tableau I on verra que les dépressions barométriques peuvent être produites par les différents états de Tatmosphère. Les deux tourbillons, où les dépressions barométriques ne diffèrent pas sensiblement, se distinguent par leurs vitesses maxima, et il faut chercher l'explication de cette différence dans les grandeurs des rayons des courants verticaux qui produisent les vitesses horizontales. Le tourbillon à grande vitesse appartient à un courant vertical dont le rayon est probablement de quelques dixièmes de degré, mais dont la vitesse verticale initiale est très-grande. L'autre tourbillon à vitesse moyenne appartient à un courant vertical dont le rayon comprend plusieurs degrés et dont la vitesse verticale initiale n'est pas considérable.
La grandeur du rayon du courant vertical, qu'on peut poser proportionnel à la distance du centre au point où la vitesse atteint sa valeur maximum, joue un rôle important dans la théorie des tourbillons. En comparant deux tourbillons avec la même dépression barométriquei celui qui ^. le rayon le plus petit a la plus grande vitesse et est par conséquent le plus violent. En comparant deux tourbillons avec la même vitesse maximum, celui qui a le plus petit rayon a le plus grand gradient et la plus petite dépression.
La cause physique qui détermine la grandeur du rayon dépend de l'état différent de l'air ascendant et de l'atmosphère environnante. Mais pour étudier les mouvements des tourbillons en général il faut avoir égard aux vitesses suivant les trois dimensions, ce que nous allons traiter dans la deuxième partie de nos études.
Fin de la première partie.
MH
mn
