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§ 10. Courants d'air horizontaux aux isobares rectilignes. La latitude est
supposée constante.
Quand un courant d'air permanent parcourt des isobares rectilignes, la masse d'air qui passe perpendiculairement aux isobares, doit être constante dans l'unité de temps. En désignant par \|i l'angle entre le gradient et la tangente de la trajectoire, l'équation de continuité s'écrit:
V, cos ^ =» constante. (1)
Décomposons les cinq forces (voir § 8) suivant la tangente et la normale, nous aurons:
p ^ as
•^ G sin t]> = 2 w sin Or -f -p
En différentiant l'équation (1) on trouve
et en introduisant la valeur du rayon de courbure
R ds
on trouvera
- ff cos ^ «» r Ui + v tang ^-j^j i^ »sin^ =t; (sosine — t; j^)
Ces deux équations se transforment dans les suivantes:
|JL ,, , , /, ,2osin0
J^6r = ircos^'l 1 -1 —
le
tang ^ j
= * sin vD — 2 G) sin 9 cos ç H r -^
cos ^ ds
En introduisant où X est la distance suivant le gradient, Téquation (7) peut s'écrire
v cos + rf(tang\Ji) . ^ , , aosinO — r~ - ^^ =^ — tang^H z —
h dx
LMntégrale générale de cette équation est
SosinO
tang^
+ Ce
kx
OÙ C est la coûstante arbitraire. Dans la nature il faut poser C^O, parce que Tangle ^ ne
varie pas jusqu'à Tinâni avec les valeurs croissantes de x. Alors on a
. , 2osin0 .
tangip = — ï — "^ **°8 a
En substituant cette valeur de ^ dans Féquation (1) on verra que la vitesse devient constante et, par conséquent, d'après l'équation (2) le gradient devient également constant, pourvu qu'on suppose la densité p constante, et dans ce cas les isobares sont équidistantes. Si Ton veut considérer la variation de la densité p, on introduit
{2j}ss — ^Gdx
et à l'aide de la formule (20) du § 5 on peut calculer la pression p. En général on peut introduire une valeur moyenne de la densité et la regarder comme constante.
Action de la variation de la latitude sur les courants d'air horizontaux
aux isobares rectilignes.
Désignons par y Tangle entre le gradient et le méridien, la latitude % s'exprime par l'équation suivante
cos Y
Le coefficient X est positif tant que le gradient est dirigé vers l'hémisphère boréal, et négatif lorsqu'il est dirigé vers l'hémisphère austral; a est zéro quand le gradient est dirigé vers l'est ou vers l'ouest.
Les équations développées au § 10 ont lieu en regardant 8 comme variable. L'équation (8) du § 10 s'écrit
d (tang ^) 2(0 sin — A; tang \|i
dx
V cos 4^
Pour abréger posons
tang e = X -
vcos^
On trouve que Tintégrale de réquation (3), en posant la constante arbitraire égale à
zéro, comme nous Tavons fait dans le § 10, sera
2(») tang ^ = -^ cos s sin (0 — s) (5)
En substituant tang v{i dans Téquation (6) du § 10 on aura
-t (? = it; cos ^ (l + (-j^-) cos 6 sin e sin (e - e)) (6)
Pour avoir l'équation de la trajectoire nous introduisons
dy = tang ^ dx.
En substituant la valeur de tang ^ et en intégrant on trouvera, en posant i/=o pour :r= o,
4G)cose . /ei — e. \ . /e + e. \ ,^.
y = -^--^sm{— ^)sin(-:f__Q.ej (7)
dt)
En introduisant ]^G = — ^- dans l'équation (6) on trouvera par intégration la pression p. Du reste en construisant la courbe du gradient on déterminera facilement la courbe de la pression.
D'après l'équation (5) l'angle de déviation ^ dépend de là grandeur e; e étant assez petite pour que cos e ne diffère pas sensiblement de l'unité, on conclut que ^' s'approche de l'angle normal a, quand la latitude 8 obtient une valeur numérique assez grande. Quant aux vents qui passent l'équateur, a des valeurs numériques faibles et l'angle ^ peut être très différent de l'angle de déviation normale. Il faut distinguer deux cas: 1^ Le gradient est boréal.
Quand l'azimuth du gradient y, compté du Nord, ne surpasse pas 90®, la valeur de a est positive et par conséquent e est positive. Dans ce cas l'angle ^ est négatif pour les valeurs australes de et pour les valeurs boréales jusqu'à 9 = s. Quand surpasse s, l'angle ^ devient positif et s'approche de plus en plus de la valeur normale a. On voit donc que les vents qui viennent du Sud ont dévié à gauche même après le passage de l'équateur, que la déviation est nulle à la latitude e, et qu'elle tombe à droite à partir de ce point.
Dans la nature nous reconnaissons cette loi de déviation chez les vents alizés de TÂtlantique et de l'Océan Indien pendant l'été.
2® Le gradient est austral.
Quand l'azimuth du gradient surpasse 90^ la valeur de X et celle de e deviennent négatives. Dans ce cas langle ^ reste positif au nord de l'équateur et au sud de l'équateur jusqu'à la latitude 6 = e; puis ^ devient négatif et s'approche de plus en plus de la valeur normale a. On voit donc que les vents qui viennent du Nord ont dévié à droite même après le passage de l'équateur et jusqu' à 8=»e: à cette latitude la déviation est nulle, puis elle tombe à gauche. Dans la nature le mousson dit d'Ouest dans l'Océan Indien suit cette loi pendant l'hiver.
Nous allons appliquer nos formules aux exemples numériques qu'on peut comparer aux cartes des vents généraux. Parmi celles-ci nous nommerons surtout les excellentes cartes publiées par
le Meteorohgicàl office de Londres sous le titre ^Monthly Charts of meteorological data for Square 3 ;:published byAuthority of the meteorological committee*'. Ce sont en réalité ces cartes qui nous ont conduits à établir la théorie des vents passant Féquateur présentée dans ce paragraphe *).
Applications.
V Le gradient est boréal (voir Planche I, figure première). Soit y = 20°, ©0 = 0®, t; cos vp «= 10», h = 0.00002, t = 20^ on trouvera 6 = 4^ 13'.2
2° Le gradient est austral (voir PLI, deuxième figure).
on trouvera e = — 2° 15'.
Soit Y = 180«, % = 0», t; cos <!< =
On verra que la loi de déviation est très-conforme aux observations; cependant les vitesses et les gradients observés ne suivent pas dans toute leur étendue nos formules, ce qui est bien facile à expliquer quand on remarque que dans la nature les courants d'air ont auprès des calmes de Téquateur un mouvement ascendant qui diminue la vitesse horizontale et la grandeur du gradient. On pourrait facilement introduire cette action dans les formules, mais nous n'étendrons pas davantage nos recherches puisque nous traiterons le problème d'une manière plus générale dans la deuxième partie de nos études.
§ 12. Courants d'air horizontaux aux isobares circulaires autour d'un minimum barométrique.
Nous considérons la latitude comme constante et les isobares comme des cercles concentriques. Le système étant symétrique par rapport au centre des isobares, la quantité d'air qui entre dans l'unité de temps doit rester constante. En désignant par vp
I^^ fonnnles du § 11 ne sont exactes que qoand Y = 0^ ou Y =180^; elles s'appliquent approximativement aux valeurs tr^-voisinesy ce qui a lieu dans la natnre.
l'angle entre la direction du vent et le rayon qui est la direction du gi-adient, la composante de la vitesse suivant le rayon sera V cos ^. Soit r le rayon et h la hauteur du courant, la section du courant sera ^izrh et en remarquant que h reste constante, l'équation de continuité donnera
rr cos vji = constante. (i)
Les forces agissantes sont les mêmes que dans le § 10 et
les équations (2) et (3) ont lieu, en substituant
J sin\ji
+ cos 'i -5?
^ dr
cos vji d5 = — dr.
A l'aide de l'équation (l) on trouvera
— G^. cos vl> = î; ( /
vsin^d^
p. ^ . . /« • i^ / ^sinJi , t;cosvI>d^\ -^- G. sin ^b = v\2(ù sm H ^^ H dr )
Ces deux équations se transforment en
Ji (? = t; f A; cos ^ + 2 6) sin sin + + — j
= Â; sin vl> — 2o sin cos ^ — v
dr
La dernière équation s'écrit
d (tang ^) k
(tang + - ^ sin e)
rdr vr cos ^ V ° ^ k
Par intégration on trouvera, en posant la constante arbitraire égale à zéro par la même raison qu'au § 10,
tang v}* = -j^ sin O = tang a (4)
L'angle de déviation a donc la valeur normale et la trajectoire est une spirale logarithmique. En désignant par 9 l'angle entre le rayon et la direction fixe, l'équation de la trajectoire sera
log. nat. r = — <p cotg a + C (5)
Soient r^ et Vq les valeurs de r et de t; pour un point quelconque, on peut transformer les équations (1) et (2) dans les suivantes:
vr = Vf^rQ (6)
kv
p COS a r
p cos a
Vn'r,
en
En introduisant une valeur moyenne de la densité et en exprimant la distance r en degrés du méridien, on peut écrire
où a et a* désignent des constantes.
Alors l'accroissement dfr de la pression en millimètres est égale à (refr et on trouvera
Les équations que nous venons de développer demandent que la hauteur du courant d'air reste constante. On ne peut donc appliquer les équations qu'aux parties extérieures d'un tourbillon autour d'un minimum barométrique, car dans l'intérieur du tourbillon les courants ont un mouvement ascendant assez rapide pour qu'on ne puisse le négliger.
Applications.
1» Tourbillon à grande vitesse (voir PI. II). Soit la latitude = 20^ ifc = 0.00002, t = 20^
— =« 0.001006 (pour une pression moyenne de 753—), v^ == 50-, r^ = 0^.3.
En exprimant r en degrés du méridien on a
^ 0.8 . 2.014., , noAc^i ^ . itin 1-007 G= — + -—8-1 b—bo = 1.842 log ~ + 11.19 -, -
T r Tq T
9 = 328 log ^ , a = 68» 5'.8.
2® Tourbillon à vitesse moyenne (voir PI. III). Soit la latitude = 60®, i = 0.00012, t;^^
on trouvera a = 46« 23'.3, G = ^^ + i^ ,
6 6„ = 44.73 log f +
<p= 138.5 log. ^
i—bg «= 0"- 2.8—
^ 13. Courants d'air horizontaux aux isobares circulaires autour d'un maxi-
mum barométrique.
En faisant les mêmes hypothèses que dans le § 12, on trouvera les mêmes équations,
mais il faut poser
ff=
COS a
ou
et changer le signe du gradient, en supposant que la pression diminue avec la distance du centre. On aura donc
6o-& = ;|log^+^(-^-^) (4)
kr
L'hypothèse que la pression diminue avec la distance du centre exige que Vq< — ^^-•
Dans la nature le vent autour des maxima barométriques a toujours une vitesse faible et la pression diminue à partir du centre. Cependant on ne peut appliquer les formules qu'aux parties extérieures du tourbillon, parce que dans la partie intérieure les courants ont une vitesse verticale descendant qui influe sur le mouvement horizontal.
Applications (voir PI. IV).
Tourbillon autour d'un maximum barométrique. Soit la latitude =45®, A; = 0.00012,
-^ « 0.0009281 (T = 0^ & = reo-»), v^ = 4", ro = 5^ on trouve
%j*j .«7, \jr —
bo-b = 7.841 log. -J-
= 113 log/®.
