ET DES SOURCES
Il nous pardi indispensable de présenter dans un expose méthodique un résumé des résultats auxquels nous sommes parvenu dans Thydraulique des nappes aquifbrcs et des sources. Ce résumé évitera à certains ingénieurs la lecture de travaux mathématiques qu'ils n^ont pas le temps ou le goât de suivre. Nous répéterons quelquefois dans ce résumé les choses déjà dites, cek est inévitibie. Nous sooifMerons en mèime temps par quelques développements d'un caraelèrs pratique, iss obenratioM mimaÊÊinmemi brèves d\ine étude théorique^).
PRIIVGIPSS M U TBÏQBIK.
1 . Rotions aotuoUos. — ExpylTlMOSo do Borsf . «--• Wiéorio do Dsqpint. — Darcy trait reconnu par re)q>érionee que dass un fikre 4 stèle, h MU ssf ptvpminmtuiàk charge camommée. C'est tmiBij qiio Dupait préttBt|it à f Aotdémio des acieaces le méaiotre rtmtjnqutMe où, s appuyant «or Us eiféneoœs do Darsy, il posait les
bases de la théorie du mouvement de Teau à travers les terrains pennéablos* Le principe fondamental qui servait de fondemeat à sa théorie était le suivant : Dam un tmram perméable^ la perU de charge iwk JH^ Upàde ^t fropaniomidU à la
vUeeee.
(Équation i) sin t — (m.
Dupuit est amené i considérer deux coefficients spéeijfiques du terrain perméable :
m, le coefficient des vides;
pi y le coefficient de résistance au mouveittent.
Le rapport - exprime la vitesse que prend un filet liquide qui traverse verticalement
une couche de terrain perméable d'une épaisseur égale à i mkre, en ne consommant qu'une charge de i mbtre.
Pour écrire les équations du problème, Dupuit introduit une simplification dans In formule fondamentale; 11 substitue tang t 4 sm »\ ot est aini^i conduit à fexpression du débit d'une tranche de i mètre de largeur :
Dupuit applique sa théorie à deux cas s
1* Cas d'un courant à débit uniforme, coulant par tranches parallèles, sur un fend imperméable en pente uniforme;
UJ
Voir pour ieê noliilloiis dfts en erdiiiaifv»» la Istfeaii W, è la in dn tolnmeé
a"" Cas d un courant a débit uniforme et à filets convergeant vers un centre. Cest le cas d'un puits.
Le premier cas pouvait seul présenter quelque analogie avec celui des nappes naturelles, mais il en différait beaucoup, en ce sens que le débit de ces nappes n'est pas uniforme et qu'il varie au contraire d'un point à on autre. .
2. NouTeanx principes. — Équations générales dn mouTement dans les nappes souterraines. — Nouveaux principeg, — Nous avons reconnu que les formules posées par Dupuit ne suffisent pas pour résoudre tous les cas qui se présentent dans la théorie des nappes aquifères, notamment dans la théorie des puits.
Nous avons démontré le théorème suivant :
Thsorbmb. Si Ton eongMre les fku liquidée qui coulent par tram^hes paraUèlei à tramrs un ierram perméakki et le$ trejeckeireê orthogmudee de ces JUeU liquideêy k long de ces trajectoires orthogonales, la pression se tranemet suivant la Un hydraelatiqme; aUe se trtussmet d'une manière différente dan» toute autre directian.
Ce théorème nous a conduit à divers corollaires qui sont les suivants :
I. Dans une nappe aquijère, la hauteur piézùméirique en un peint doumé est ^gale à la hauteur du point (^affleurement de Vonhogonale passant en ce point (Sg. l6, pi. V).
II. La paroi JCun mase^ perméable, par laquelle pénètrent les eaux d'un réservoir pour y fonner une nappe aqujfire, est néceosairement une ewrfaxe orthogonale, Lee filets Uquidee sont
normaux à la paroi (fig. 1 7).
III. La paroi tun massif perméaUe par laqueUe les eaux de la nappe sortent sous le plan d!eau iun réservoir est également une surface orthogonale de la nappe aqu^re. Les filets liquides sont normaux à la paroi, à Fexception du filet supérieur (fig. 18, 95).
IV. Lorsqu^un mass^ perméable à coefficients m, fi, repose sur un autte massif à coeffidefits m, fi\ les filets liquides éprouvent dans le plan de séparation une réfraction, de telle sorte qu^on ait, en appelant a, a les angles des fdets avec f horizontale (fig. 19) :
m leng a m' tang a
V. Dans une nappe aquifère, à une assez grande distance de la source, la vitesse desfilets est sensiblement la même pour tous les points d^une orAogotiale et égale à la vitesse à la surface.
VI. Dans les conditions du paragraphe précédent, le débit de teau qui traverse une orthogonale est égal au produit de la longueur développée de cette ligne par la vitesse à la surface et par le coefficient m (fig. 16).
VII. Dans les conditions des paragraphes V et Vly le débit de Veau qui traverse une orAogonale est sensiblement égal à :
VIII. Si Von coîisidère la paroi d^un massif perméable par laquMe les filets liquides «'Aon* Unt à Vair libre, la vitesse des filets eti chaque point de cette paroi ne dépend que des angles que font avec V horizon la direction des filets liquides et la direction de la paroi (fig. ao).
De ces corollaires on déduit qne, à une assez grande distance de la source ^ Torthogonaie des filets liquides difl^i'e peu de Tare de cercle NP (fig. ai) qui est normal à la fois à la courbe du profil et à la ligne du fond imperméable, de sorle que Téquation du profil de la nappe serait :
yarctangg)-^
Nous avons tracé celte courbe dans le cas où le débit q est uniforme et montré qu à une faible distance de la source, elle diflîbre très peu de la parabole à laquelle conduit la théorie de Dupuit.
3. Hauteur minima de la nappe à sa source. — Cette assimilation des deux courbes devient de plus en plus inexacte, à mesure qu'on s'approche de la source. H faut distinguer deux cas :
t^ La source émerge sam un plan (Teau, — Dans ce cas, lorthogouale terminale n'est autre que la verticale (fig. ù^) et la hauteur tmnima de la nappe à sa source, eu égard aux conditions physiques de Técoulement, peut être prise égale h :
û** La wwte émerge dam ratmoephère. — Dans ce cas, l'orthogonale terminale est sensiblement un quart d'ellipse, dont le grand axe est vertical (fig. 97) et le long de laquelle les vitesses des filets liquides vont en augmentant de haut en bas. Pratiquement et en raison de la désagrégation qui se produit toujours dans le voisinage de la paroi, on peut admettre que le quart d'ellipse se confond avec le quart de cercle (fi[j. 99), de sorte que Ut hauteur minma de la nappe à sa source est égale à :
Ces propriétés joueut un rôle important dans la théorie des galeries et des puits de captage.
En dehors de cette zone voisine de Tailleurement, nos recherches démontrent que la formule de Dupuit peut être appliquée sans erreur sensible.
DBS NAPPES D*AFFLBUREIfBNT.
à. Hypothèse sur la répartition des apports pluviaux. — Nappe permanente. — Nappe cylindrique. — C'est au moyen des eaux pluviales infiltrées dans le sol que s'alimentent les nappes aquileres. Gomment s'en fait la répartition?
Si l'on suppose un terrain parfaitement homogène et horizontal ^ la répartition sera uniforme, chcque mètre carré recevra le même appwi pfmiai»
Si le terrain est homogène tout en étant déclive, il semble que les parties les plus élevées seront les plus favorisées, parce que le terrain a généralement une forme
^'^ qy '\&Ai de la nappe par mètre de 1ar);eiir.
irCDBS sus LBft S0UBCB8. 3o
bombée, qI quaji^si ce» p«rtie9 19« piu§ â<iv«e» du m»! «ont aubm g«1U« où ie ruisMlieipeat A le moias de cluincei d^ »o prodiiiret D'un «utro oAlé, lai parties \m moins élevées du sol reçoivent oon stulemeAt les MUi pluvislea qni tombeat directement sur
leur surface, mais encore celles qui ruissellent des parties supériettffQf.
Nous admettons qu'il y a compensation et que ïdj^j^ort pluvial est uniforme dans toute rétendue de la nappe considérée.
Cette hypothèse est la base de notre étude. Les applications que nous avons faites semblent en confirmer Texactitude.
Les chutes de pluies sont intermittentes, tandis que les sources alimentées par les nappes aquiferes ont des débits sinon uniformes, du moins continus. Il arrive donc nécessairement que le volume des nappes varie d'une manière irrégulière.
Cependant, le jeu régulier des saisons amène te retour périodique des mêmes phénomènes météoriques, et, en définitive, le volume des nappes, tout ea étant variable, oscille autour d'une moyenne. La constance du débit d'un grand nombre de sources éémoBtre que les variations dans le volume des nappes sont souvent Ir^ restreintes.
Si rapport pluvial de la neppe se répartissail d\iae manière uniforme dane toute Tannée, on aurait une nappe de volume constant et de régime permanent.
Ce sont les nappes de ce genre que nous appelons nappes permanentes.
La nappe permanente est donc celle qui se réaliserait si les apports plumaux se répartis'
mipnÈ %iiWni ji^miaia touHe Tmimy #( wfifwmnmâ sur h sti^e de (a ne^ys*
Qç mémç qu (>n dit )^ eaux ardinairest par opposition avi ea«« de cr^es» on aia oau^ d'éliag^^ on peut appeler la nappe f^mtom^ la nappe mttnaîrsi Uea que» eontrairemept à Vopinim eonàmvmei ce débit m se r^aa qne très rarement dana une
On peut comparer uue papp<^ pevwanoAte au volant d une maehine qui devrait
produire un travail continu et qui ne recevrait que des impulsions intermittentes.
Le débit des sources représente le travail continu, les apports pluviaux inégalement répartis dans le temps représentent les impulsions intermittentes. Grâce à la provision d'eau considérable contenue danç la nappç permanente, les irrégularités des apports sont très atténuées et deviennent quelquefois presque insensibles. Ce sont donc les plus grosses uappçs (jui devront donner les débits de sources les plus régulier^. Nous verrons que la théorie confirme parfaitement ces aperçus.
Dans la théorie, nous considérons seulement les nappes cylindriques, c^est-à-dire les nappes ayant une longueur indéfinie et coulant par tranches parallèles, normales à Taxe des thalwegs, supposés parallèles 4aes la régm eonaidérée; nous considérons les sources comme réparties uniformément sur une ligne droite; c'est pourquoi nous n'avons à eeaaidéier qu'une traBcbe de i mèlre 4a lai^» et te éOM de le ii^foe des aourees, sur on mètre de largeur^ que mois» appelena h sfsmm.
Dans le langage eonrant, ie mot de aa^pe aéra employé powr désigner, soil la masee d'eau qu'^elte eontie»!, soîfe te profil de ea aiiiA^ee. Ce deobte empk», indispensable pour simplifier Texposé, ae seiireil prétei» à aucune enkbiguté.
5. NmH[>« penMUMBttB d'aftewremeiit eonloBt a«r un toad horiioiital. — BUipee
(fig. 39). — Le calcul démontre qu une pareille nappe est une ellipse. La nappe a donc deux versants et deux sources identiques.
< 467 On a, pour le débit des sources par seconde :
( Équation 3 1 ^^\ ) ç = - —
Ce débit est le même que celui d'un filtre oblique d'épaisseur a, de largeur b^ qui fonctioonerait sous une inclinaison - (fig. 3o).
Trajectoires des filets liquides. — La figure 3i, planche VIII, représente les trajectoires des filets liquides d'une nappe en ellipse. On peut constater que tous ces filets convergent vers le point de source et s'enveloppent successivement, de sorte que ce sont ceux qui sont issus dn <e de la nappe qui font le plus grand parcours.
6. Des divers éléments à considérer dans une nappe. Durée de formation. — B faut distinguer dans une nappe :
i*" Sa longueur;
9^ Sa profondeur Bufi^U ou point de partage des emix;
3*" Sa profondeur maxima, qui est différente de fa précédente quand la nappe n est pas symétrique;
&"" Son volume d'eau total, et le temps qui serait nécessaire pour sa formation si le service des sources était interrompu ; c'est ce que nous appelons la durée déformation;
5« Son débit.
Dansja nappe en ellipse» la durée de formatum, évaluée en secondes, est égale à :
(Équation 39.) '^'^Ï^T
Un exemple numérique nous a donné le résultat suivant :
Sable fin, pL=^ lo.ooo. Durée de formation <«90 ans.
La durée de formation est en raison inverse de la perméabilité du sol. Elle est, par conséquent, très grande pour les terrains peu perméables. Cette déduction fait pressentir que les sources les plus stables sont celles des terrains peu perméables.
7. Du coefficient d'absorption S^. — Si on divise le débit q de la source d'une nappe en ellipse par la longueur a du versant qui falimente, on obtient le rapport :
Ce rapport représente f apport pluvial que reçoit la nappe par mètre carré.
(0 6, petit aie vertical de l^cltipse; a , grand axe horizontal.
Si la pluie, comme nous Tavons supposé, tombe d'une manière continue, Teau pluviale descend sur la nappe par filets verticaux, avec une vitesse égale à —
Si la pluie était assez intense pour que ces filets liquides constituassent une masse
continue, le débit du courant vertical serait égal à — par mètre carré.
Cette quantité représente donc l'apport pluvial maximum que puisse recevoir une nappe aquifère.
Si nous divisons ( - ) par l-)) nous aurons un rapport qui exprimera ce qu^on
pourrait appeler le coeflScient d^ntilisation de la puissance absorbante du temun, ou eoeffieierU iobtùrfém.
Nous appelons ce rapport ^^ et nous posons (page &5) :
Ce rapport est nécessairement inférieur à Tunilé, car l'apport pluvial effectif ne peut être qu'une fraction dfî l'apport pluvial maximum.
Si l'intensité de la pluie dépasse la faculté d'absorption du terrain, il y a saturation, et Texcëdent des pluies ruisselle i la surface du sol. Cette circonstance se présente quelquefois en hiver, à la suite de pluies continues.
Dans ce cas, le coefficient d'absorption ^^ = i.
Le ABntpar mitre carré Jtun hanin venant est égal à l'apport plnvial A qu'il reçoit dans le régime permanent, (U) -J2,
Le rapporl P joue un rôle important dans la théorie des nappes aquif%res. Dans le cas d'une nappe en ellipse, on a :
or a
S est alors égal à la pente moyenne de la nappe, ce qui donne un moyen très simple de le connaître par l'observatioo.
8. Nappes permanentes d'affleurement coulant sur un fond incliné; trois cas. — Une nappe qui s'établit sur un fond incliné indéfini dans le sens horizontal peut prendre deux formes principales, dont le choix dépend entièrement de la valeur de la pente hydraulique.
Nous appelons pente hydraulique z le rapport de la pente géométrique du fond e au double du coefficient d'absorption du terrain S. Nous posons :
•St la pente hydraulique est plus petite que i , la nappe e$t à deux vertatUs et deux sources.
Si la pente hydraulique est plus grande que i, la nappe n*a plus qu*un seul versant et une seule source.
Si la pente hydrauUque est égale à ij on a un cas intermédiaire unique , où il n'y a qu^une seule source.
Les profils I h VII de la planche IX représentent les transformations successives d*une nappe d'affleurement à mesure que la pente aagmente. Tout d'abord, si le fond est horizontal, e^^o, la nappe prend la forme d'une ellipse avec deux versants et deux sources symétriques. Profil I.
Sur les profils II à VI, qui s'appliquent à des nappes de longueur constante, et dont la pente s va en augmentant progressivement, on voit le grand versant ou venant pro* promeut dit AB s'allonger et ie petit versant, ou canirever$aU A'B, diminuer.
Par exemple, pour -t«» 0,96, le rapport de la longueur du versant à la longueur
totale, qui est égal au rapport du débit de la source du versant au débit cumulé des deux sources, est égal à 0,698.
Pour--|=o,5o, il est égal à o,858; 0,75, — 0,971; 1,00, — 1,000.
En même temps que le point de faite B s'élève pour se rapprocher de la source du contreversant, le point de plus grande profondeur G s'éloigne du milieu de la nappe pour se rapprocher de la source du versant.
Le débit de la source du contreversant diminue donc très rapidement.
Pour le profil VU, la pente hydraulique -^ est plus grande que 1, il n'y a plus de
source de contreversant et plus de faite proprement dit. Toutes les eaux qui tombent sur le terrain alimentent la source du versant.
Le cas où -^«M 1 correspond à un profil semblable au profil VII, c'est-à^lire à une
nappe à un seul versant et une seule source.
On se rappelle que nous avons appelé durée déformation, le temps qui serait nécessaire pour former la nappe, si le service des sources était interrompu. C'est au fond le coefficient de stabilité de la nappe, car si cette durée est grande, les variations temporaires du débit l'influenceront fort peu.
Pour les nappes d'affleurement sur fond incliné, cette durée est exprimée par la formule :
Elle est en raison inverse de la perméabilité du terrain et de sa pente géométrique. Ijfs ierrainê Us moim perméables et les moins inelinis sont donc ceux qui doivent dmner les sources les plus stables.
9. Nappes du deuxième et du troisième genre, ou nappes de remous. — Le cas où la pente hydraulique est plus grande que 1 est encore compatible avec deux formes particulières de nappes, qui sont représentées sur la figure 3& bis, pi. X.
<') L, longueur totale de la nappe; -, coefficient de perméabilité; c, pente du fond.
Voici comment on pent ccHnpvendro U prodaction de ces nappes :
Supposons que le massif pennëable avec fond en pente soit limité à Taval par une paroi Terticale et un lac dont le niveau de Teau coïncide avec le pied de la paroi verticale.
Pour un certain apport pluvial , il se formera une nappe i nn seul versant dont la source sera située au pied de ladite paroi verticale* C'est le profil i de la figure 3& Us.
Si le niveau de Teau s'élève dans le lac d'une hauteur A, le profil de la nappe èé\hvera également, et les eaux de ce]le«-ci se déverseront dans le lac, mais sur toute la hauteur h. Quand h augmente, il vient un moment où le profil de la nappe est rectiligno; c'est la ligne OC, pour laquelle le coefficient diflTérentiet y'^=:ip^(p étant un certain ang^e dont la valeur est donnée par Téquation &6.
Les eaux du lac continuant à s'élever, la nappe prend un profil concave (profil û). Elle n'a toujours qu*un versant, et les eaux de cette nappe pénètrent dans le lac sur toute la nouvelle hauteur h.
Cette forme de nappe du deuxième genre se maintient jusqu'à ce que les eaux dans le lac se soient élevées à la hauteur AD pour laquelle y^^e — ^.La nappe a repris un profil rectiligne 0D«
La nappe du deuxième genre est donc une nappe concoM $ani source^
Les eaux du lac continuant encore h s'élever, le profil de la nappe devient convexe, et il s'établit une source sur le contreversant (profil 3). C'est la nappe du troisième genre.
Ce qui caractérise les nappes du deuxième et du troisième genre, c'est que, du cAté du versant, leur niveau est soutenu par un réservoir d^eau tel qne le serait une rivière profonde, ou un lac ou la mer. Ce sont des napp^Bdênrnmu. Au lieu d'un lac, la nappe pourrait être soutenue aussi bien par une autre nappe qui lui ferait suite. G^est la hauteur de la retenue qui détermine la forme de la nappe et la catégorie à laquelle elle appartient.
Les nappes du deuxième genre doivent se rencontrer assez fréquemment dans la nature. On en trouvera un exemple dans l'étude que nous avons faite des captages de la ville de Liège.
Les nappes du troisième genre doivent être plus rares, bien qu'elles soient susceptibles de se produire dans les terrains qui versent directement leurs eaux dans la mer.
10. Pente hydranlique. — C'est la pente hydraulique ou le rapport ^ = -» qui règle la nature et la forme des nappes aquilères ; d^où résuite la proposition déjà énoncée :
Proposition. 5t la pente hydraulique est plus petite que i , la nappe est à deux versants et deux sources; eUe est à un seul versant et une seule source si cette pente hydraulique est plus grande que i .
Au numérateur du rapport A le terme s représente l'influence de la gravité sur
Técoulement des eaux. C'est la pente du fond.
Au dénominateur le terme S représente une double influence. On se rappelle qu'on a posé :
- est rapport phivial , la quantité d'eau qui parvient à la nappe par seconde et par mètre carré.
~ est un coeiTicient proportîoDnel à la résistance du sol.
Le terme S représente k la fois l'influtoce météorologique et Tinfluence géologique. Il est remarquable qu*un seul tanne sufliae à représenter ces influences multiples
f -^ I est vraiment la pente êffédim de ia nappe; c'est pourquoi nous proposons de
lui donner le nom de pente hydraulique , par opposition à la pente du fond, qui est la pente géométrique du sol,
La transformation des nappes à deux versants en nappe à un seul versant ou réciproquement peut se faire par le changement de ]a pente e ou par celui du coefficient J seulement.
Comme exemple, considérons un massif perméable de &»ooo mètres de longueur versante, composé dun sable fin, qui comporte les données suivantes : (i^^ lo.ooo, m = 0,10. Si Ton suppose le terrain horizontal, il se formera une nappe en ellipse pour laquelle Tordonnée maxima aura 5o mètres de hauteur, et la dorée de formation de la nappe sera de vingt ans.
Dans cet exemple, on a, pour le coefficient d'apport pluvial : ^= 0,02 5.
Si le sol a une pente e = o,o5, on a z:»-^*-!. La nappe est une nappe limitée à
un seul versant, ia durée de formation devient douze ans et demi.
Si la pente s = 0,10, on a ^^â, la durée de formation s'abaisse à six ans un quart.
Si, tout en ayant ia pente de 0,0 5, le massif de sable fin est remplacé par un massif de gros graviers pour lequel f£=»âoo, m = 0,30, on a : pente hydraulique z= 0,10; la nappe est toujours h un seul versant, et la durée de formation n^esi plus que de trois mois.
Une pareille nappe ne peut avoir qu'une existence intermittente. On en observe de semblables dans beaucoup de terrains.
Dans les nappes à deux versants, la source du versant a un débit variable dans d'assez étroites limites. La source du côntreversant a un débit plus sensible aux variations des apports pluviaux.
Les sources des nappes à un seul versant ont un débit beaucoup plus insteble et ce débit peut même n'être qu'intermittent lorsque la pente du fond imperméable est forte, ou que le terrain est très perméable.
11. Des crues et des décrues des nappes et des sources d'affleurement. — Par suite de riotermittence des apports pluviaux qui parviennent aux nappes, ces dernières et les sources qu'elles alimentent éprouvent des crues et des décrues dont les variations présentent le plus grand intérêt pratique.
Pendant la période de sécheresse, qui, dans nos dimats, s'étend ordinairement du mois de juin à la fin de septembre et peut ainsi durer quatre mois, les massifs perméables ne reçoivent qu'un faible apport pluvial, et le débit des sources s'alimente par les eaux contenues dans la nappe, dont le niveau s'abaisse, et dont le volume diminue nécessairement.
Le vide qui est causé par l'abaissement de la nappe se comble pendant la saison
froide, époque pendant laquelle le débit des sources , bien qu'il augmente progressivement, reste inférieur aux apports pluviaux.
La théorie générale des crues et des décrues des nappes et des sources est fort compliquée et probablement insoluble. Mais en s'en tenant au cas simple tune nappe iaj-fteurement coulant mur fond horixonlal, on peut résoadbre convenablement le problème. Les résultats ainsi obtenus peuvent être étendus avec assez d'exactitude au cas d'une nappe coulant sur un fond incliné, pourvu que la pente hydraulique z soit assez éloignée de l'unité.
Cas d*une nappe coulant sur un fond horizontaL — Soit H la hauteur de rapport pluvial qui s'incorpore à la nappe pendant une seconde, soit en crue, soit en décrue;
k^ la hauteur de l'apport pluvial par seconde qui serait nécessaire pour maintenir la nappe à l'état permanent.
Ces hauteurs H, A, ne sont autre chose que l'apport pluvial par seconde et par mètre carré. Nous les appelons donc seulement apports pluviaux.
Soit m le coefficient du vide du terrain.
Nous avons démontré les propriétés suivantes :
L Au faîte tune nappe y V apport pluvial H se partage en deux parts. La première, A, s^ écoule vers les sources.
La deuxième, (H-A) , s^incorpore à la nappe, dont elle exhausse le nioeau dune hauteur
par »ecande, pontive en crue, négative en décrue.
IL En temps de sécheresse, t abaissetnent de V ordonnée du faite dans V unité de tempe est
égale à ^.
m. Les règles I et II peuvent être appliquées pratiquement , non seulement au faîte, mais mcore à une zone assez étendue départ et JT autre du faite,
IV. Dans une nappe de sécheresse, les ordonnées du faite décroissent en raison inverse du temps, en vertu de lafonnule (page 72)^^^ :
a étant un coefficient spécifique qui est égal à :
fitr
OU encore
D'après la deuxième expression du coefficient a, on voit que .
V. Le temps nécessaire pour produire un abaissement du faite de la nappe d^ une fraction donnée est proportionnel à la durée déformation de cette nappe.
VI. En crue, les ordonnées de la nappe au faite croissent suivant la loi de Téquatùm 8 1 .
(*} 6', ordonnée au faite à Tinstant t, h, ordonnée au faite à Tinstant zéro.
«, coefficient spécifique.
N , dorée de formation de la nappe A I ori(pnn du temps.
La hauteur uiaxima vers laquelle tend le fatte de la nappe h mesure que ia ef ue se prolonge est égaie à :
Ainsi que nous Tavons vu au chapitre ix, les lois de rexhaussement et de Tabaissoment du fatte d^une nappe fournissent des bases pour la détermination par Tobservation des ooefficients spécifiques des nappes.
Cas d'une nappe coulant sur on fond incliné. — Lorsqu'une nappe coulant sur un fond incliné est en crue ou en décrue, le changement de niveau du fatte est accompagné d^un déplacement horizontal de ce faite.
Si la nappe est en crue, le faite se transporte vers Taval.
Si la nappe est en décrue , le faite se transporte vers Tamonl.
La figure 89 , pi. XTV, représente les formes que prend une nappe en temps de sécheresse. Le faite B descend progressivement le long d*une courbe BA', qui aboutit à la source du contreversant, et la nappe prend successivement les formes 1, a, 3 &, 5. Dons la position 6, la nappe est limite. Elle na plus qu'un versant et une source. La source du contreversant est tarie.
Si la sécheresse continue, la pointe qui termine la nappe à Tamont progresse sur le fond imperméable en se rapprochant de la source du versant. La longueur de la napfie se réduit de plus en plus, et celle-ci finit par disparaître. La source du vei^sant est tarie.
Les déplacements horizontaux du faite ne présentent pas d'intérêt pratique. Us seraient généralement impossibles à constater. Les mouvements verticaux du faite sont, au contraire, faciles à mesurer au moyen des puits d'alimentation qu'on trouve à peu près partout.
Quand une nappe permanente entre en crue ou en décrue, les déplacements horizontaux de son fatte sont tout d'abord nuls, et si la crue ou la décrue ne dure pas trop longtemps, on peut négliger ces déplacements. Cette remarque nous a conduit à démontrer que le rdèvement ou l'abaissement du fatte d'une nappe sur fond incliné est le même que celui d'une nappe sur fond horizontal, c'est-à-dire d'une ellipse équivalente, qui aurait une ordonnée au faite plus grande, et une longueur de versant plus petite que la nappe considérée (corollaire V, p. 76). Gela nous a permis de ramener le problème des crues et décrues des nappes sur fond incliné à celui des crues et décrues des nappes sur fond horizontal, pour lequel la théorie nous a fourni des solutions satisfaisantes.
12. Formes des nappes de crues et de décrues. — Considérant comme ci-dessus une nappe coulant sur un fond horizontal, nous avons cherché quelles sont les formes qu'une pareille nappe, qui a la forme d'une ellipse, tant que le régime est peiinanent, prend successivement lorsqu'elle entre en crue ou en décrue.
En temps de sécheresse, la source emprunte son débit à la nappe cle-même, et co débit est moindre que celui du régime permanent. Cette diminution du délnt correspond nécessairement à une diminutian de la petite superJîcieUe de la nappe , dans le voisinage de la source. Le point de fatte reste toujours sur la même verticale et ia tangente au profil de la nappe y est toujours horizontale. Si l'on compare la courbe affectée p.'ir
la nappe de sécheresse à cdle d'une ellipse de même montée , on voit que la première de ces courbes peut être considérée comme une sorte d'ellipse défriméê sur les reins. C'est la courbe inférieure de la figure 38, pi. XIV. dans laquelle la courbe en pointUlé représente Tellipse de même montée que la courbe inférieure on courbe de sécheresse. En temps de crue, il se pas<:e un phénomène inverse. Le débit de la source augmente, ce qui exige que, dans le voisinage de cette source, la pente superficielle de la nappe augmente. Au faite, la tangente reste toujours horixontak. La courbe d'une nappe de crue comparée à celle d'une ellipse de même montée est donc à peu près celle d'une
ellipse renflée sur les reins. C'est la courbe supérieure de la figure 38. Le renflement est
d'autant plus prononcé que le rapport t- est plus grand.
Si, au lieu de considérer les courbes exactes affectées par la nappe soit en crue,
soit en décrue, on considère des courbes ayant pour abseissea lec rapp<Hrto - de
l'abscisse réelle de chaque point à la demi-longueur de la nappe et pour ordonnées
les rapports | de l'ordonnée réelle à la montée de chaque courbe, on aura pour
chaque crue ou décrue une amrbe transfirmie ayant un axe horizontal et un axe vertical égaux à 1. Ce sont les courbes de la figure Ai, pi. XV.
La théorie ne nous a pas permis de calculer les courbes exactes affectées par une nappe en crue et en décrue, mais nous avoua pu arriver à des résultats approximatifs, en étudiant le cas oà les ordonnées croissent ou décroissent proportionnellement au temps, ce qui correspond aux formules :
' i + at
en temps de sécheresse;
en temps de crue.
L'hypothèse en question ne se réalise pour une nappe de crue qu'à la condition que l'apport pluvial P| soit d'intensité , non pas constante , mais croissante , suivant U loi :
Les courbes auxquelles nous sommes parvenu correspondent & des hypothèses qui ne s'écartent pas beaucoup de la réalité, pour les fortes pluies, car elles durent peu.
La figure k i montre clairement Tinfluence de l'apport pluvial sur la forme d'une nappe.
La courbe 5 correspond au cas du régime permanent.
La courbe exacte est une ellipse; la courbe (ran«/ôrm/e est un cercle.
La courbe 6 est un cercle déprimé; eRe correspond au cas de la sécheresse.
Les courbes 4, 3, s, i, sont des cercles renflés. Elles correspondent aux nappes de crue pour lesquelles le rapport de Tapport pluvial réel à l'apport pluvial du régime permanent est égal respectivement à :
j=a, 4, i6, oo.
A mesure que l'intensité de 1 apport pluvial augmente, le cerde se renfle progressivement et t^id vers la forme du carré marqué i, quil atteindrait pour un apport pluvial injmi.
Ces courbes nous paraissent donner une idëe tris nette des formes prises par les nappes dans les crues et les décrues*
13. Débit d'une source en temps de sécheresse. — Circonatanoes qui influent sur son débit. — La théorie nous a donné une formule sensiblement exacte du débit d'une source en temps de sécheresse dans le cas d'un fond imperméable horizontal. C est la suivante (^) :
Dans cette formule — est le débit ^erman^nf de la source, ou son débit ordinaire.
La fraction qui multiplie ce terme représente donc la réduction que «ubit ce débit par le fait de la sécheresse.
Si at n'est pas une trop grande fraction, la formule peut s'écrire :
de sorte que dans ce cas la fraction qui megttre la dimintUion du délnt pendant la période de sécheresse est égale à S fois la fraction qui mesure Rabaissement du faite.
Ces formules sont encore applicables au débit des sources d^une nappe sur fond incliné, à la condition de remplacer les termes h, a, a par les valeurs qui sont applicables à Teilipse équivalente (formules 9 5 (t« et 97).
Circonstances qui influent sur les variations de débit des sources, StahiUté des grandes sources, — Le coefficient a auquel est proportionnelle la diminution du débit d'une source en temps de sécheresse peut s'exprimer par la formule (128):
tnfi
laquelle indique nettement quelles sont les circonstances qui influent sur cette diminution.
a est en raison inverse de la racine carrée du coefficient de porosité « et aussi du coefficient de résistance du sol. Il semble qu'il y ait là deux conditions rontradictoires, puisque ordinairement ces deux coefficients varient en sens contraire l'un de l'autre* La formule indique qu'au point de vue de la stabilité des sources, ces deux pro^ priétés : porosité et résistance du sol, se compensent dans une certaine mesure.
Cependant il est évident que Tinfluence du terme fi est prépondérante, car ce terme varie dans des limites très étendues, de sorte qu'on peut dire que :
La pêrmiabiUti du soi contribue à finsUMité des sources,
(*) 6, a, hauteur, longueur du versant de la nappe permanente, m, fi, coefDdents du vide et de la résistance au mouvement, c, temps en secondes compté depuis le commencement de la sécheresse, a, coefiicietit défini plus haut.
Le eoefficient a est en raison directe de la racine carrée de l'apport pluvial du régime permanent ky ce qui \cut dire que : TwOet chateê égaks d'aiUeurs, ks sourceB qui fournissent le plus grand débit par mètre carré de bassin sont aussi les plus instables.
Enfin la valeur du coefficient a est en raison inverse de retendue du versant qui alimente la source, ce qui conduit à cette proposition :
Toutes choses égales d'ailleurs, une source est d^ autant plus stable en temps de sécheresse que son bassin est plus étendu.
Cela démontre la staUUté des grandes sources.
D'où cette conséquence pratique que :
Si une ville a à opter entre Talimentation au moyen de la dérivation de plusieurs sources de moyenne importance et Tatimentation au moyen dune grande source, toutes choses égales d'ailleurs, c'est cette dernière solution qu'elle devra adopter.
Quand il s'agit, au lieu d'une nappe coulant sur un fond horizontal, d'une nap|)e coulant sur un fond incliné, les propriétés que nous venons d'énoncer sont encore applicables et Ton peut dire que :
Toutes choses égales d!" ailleurs, ce sont les sources de versants qui présentent la plus grande stabilité.
Si l'on considère deux bassins ayant même longueur a, c'est le coefficit^nt Sa (p. 86) qui règle la stabilité permanente des sources. Ce coefficient varie en sens inverse de la pente hydraulique z (voir tableau E, p. 69). Par conséquent, une source de versant est (Fautant plus ^able que la pente hydraulique de la nappe qui V alimente est plus petite. Cela est vrai à fortiori pour une source de contreversant.
Ce sont donc les nappes à fond horizontal ou nappes on ellipse qui présentent le plus de stabilité.
La propriété que nous venons d'énoncer ne s'applique pas seulement aux nappes à deux versants, mais aussi aux nappes à un seul versant et une seule source. Nous étions déjà arrivés à cette conclusion par la considération de In durée de formation.
Les sources précaires sont celles qui fonctionnent à peu près toute l'année et qui tarissent durant la période de sécheresse. Pour les sources de cette espèce, la durée do formation n'est que de quelques mois. Les sources précaires de versants ne se rencontrent guère que dans les nappes à un seul vei*sant, mais les sources précaires de contreversant sont assez fréquentes.
Les sources dont la durée de formation dépasse une année sont nécessairement pérennes, ou ne tarissent que dans les années de sécheresse exceptionnelles.
Les sources de contreversant présentent beaucoup moins de stabilité que les sources de versant, parce qu'à la réduction du débit qui résulte de l'abaissement du faite s'ajoute, pour elles, la réduction qui est la conséquence de la rétrogradation de ce faite vers Ta mont et la diminution de longueur du contreversant qui en résulte.
A l'égard de la source du versant, cette rétrogradation du faite vers l'amont atténue, nu contraire , dans une certaine mesure, la diminution du débit causée par la sécheresse.
Les sources de versant sont donc bien préférables à celles de contreversant, non seulement parce que leur débit est plus élevé, mais encore parce qu'il est plus stable en temps de sécheresse.
Quand on veut calculer le terme at qui entre dans la formule du débit d'une source en temps de sécheresse, on doit se donner le temps t pendant lequel dure celte
période. Sous le climat de Paris, la sécheresse peut durer quatre mois, c'est-à-dire pendant les mois de juillet, août, septembre, octobre.
On fera donc f »= io.5oo.ooo secondes.
Nous ayons donne, au paragraphe so, plusieurs exemples de calculs. On en trouvera aussi aux chapitres x à xti.
là. Nappe en crue. — Débits des sources et yolnmes d*eaa emmagasmés par la nappe. — Influence des années pluTieuses. — Dès que, par le fait des pluies, rinlensité de l'apport pluvial dépasse celle du régime permanent, la nappe entre en crue. Les ordonnées de la nappe augmentent, et le débit de la source augmente également.
Nous connaissoos la loi du relèvement du faite de la nappe et la forme générale d'ellipse renflée qu'elle prend. La théorie nous a permis d'établir une formule approchée qui donne le débit d'une source en temps de crue : c est la formule ( i65).
Dans le cas général, cette formule est assez complexe, mais si l'on ne considère que des pluies d'une durée relativement courte, comme celles que l'on observe dans la nature, ladite formule peut se mettre sous la forme simple :
H M et N étant des constantes, composées au moyen de l'apport pluvial relatif -r.
D'après cette formule, le débit d'une source croit rapidement dès le début d'une crue. Pour des apports pluviaux correspondant aux rapports
-jj— 5,96; 12,7a; 98,
on trouve que la source prend cles débits dont les coefficients d'accroissement sont comme les nombres :
11,76; 39,5; ii8.
Ces coefficients croissent plus rapidement que les apports pluviaux.
La question vraiment intéressante dans les crues des nappes est celle des volumes d'eau qu'elles emmagasinent pendant les pluies.
La théorie démontre qu'au début d!uM crue déterminée par un appert plumai égal à H par seconde f une hauteur h priée sur rapport pluvial m à la source, et la hauteur restante (H — h) s*incorpore à la nappe, mais à mesure que la crue se développe, le débit de la source a^igmenu, k/ractUmde kpkie qui e,ienmaga»néedan,kmj^ fmi^ue.
On peut ajouter que, pratiquement, la durée d'une pluie n'est jamais assez longue pour que l'augmentation du débit de la source diminue bien sensiblement la puissance d'enimagasinement de la nappe.
En effet, l'apport pluvial du régime permanent représente pour un jour une très petite hauteur. Par exemple un apport pluvial annuel de 0 m. 3o, qui est relativement fort, ne correspond par jour qu'à une hauteur de :
-— .«o'^oeoSa,
soit moins d'an millimètre. Or lés chutes do pluies de plusieurs centimètres pour an
seul jour ne sont pas rares. Le rapport -r est donc souvent assez grand, mais les pluies
les plus intenses sont aussi les plus courtes. 11 est vrai de dire que les nappes n emmagasinent pas les eaux de pluie instantanément à mesure qu'elles tombent, mais la période d absorption n'est jamais bien longue.
On peut conclure de ces remarques que les nappes emmagasinent la presque totalité des eaux de pluie qui leur parviennent, et qu elles les restituent après la cessation de la pluie dans une période de temps plus ou moins longue.
Si les pluies étaient toujours de faible intensité, le niveau moyen d'une nappe varierait très peu et ce niveau moyen serait celui qui correspond au régime permanent.
fin d'autre» termes, si une nappe s'alimente par des apports pluviaux intermittents et très petits égaux k H par seconde, dont chacun est égal à n fois l'apport pluvial h du' régime permanent, la durée des apports h sera égale à (n-- i) fois la durée des apports H. Dans ce cas, quelle que soit la répartition des pluies, la nappe reviendrait après chaque période à son niveau pernunent, pourvu que chaque pluie d'une
intensité nh et d'une durée - fût suivie d'une sécheresse de durée -^^•
Il n'en est plus de même lorsque la condition ci-dessus n'est pas remplie.
Si les pluies sont rares, et n'arrivent que par grandes ondées, la hauteur moyenne du fhfte de la nappe à la fin de chaque période sera ou-^dêÊmMê du sommet de l'ellipse qui correspondrait au régime permanent calculé d'après l'apport pluvial moyen.
Cela tient à ce que les deux courbes de montée du faite en cas de crue et de baisse du faite en cas de sécheresse ne sont pas semblables. La première est convexe et ascendante, la deuxième est concave et descendante. C'est ce qu'on voit sur la figure &3, pi. XV, où les courbes AD, DB\ représentent la montée et la baisse du faite.
Dans les années ordinaires, le niveau moyen du faite et le niveau du régime permanent différent peu. Il n'en est pas de même dans les années de pluies exceptionnelles. Il peut arriver que les pluies d'un hiver dépassent de moitié et quelquefois davantage l'intensité des pluies moyennes. Dans ce cas, la durée de la décrue peut être fort loi^e et se faire sentir pendant plusieurs années. Cette durée est donnée par la formule (page 107) :
où :
N est la durée de formation de la nappe,
(t — y) la moulée due aux pluies exceptionnelles,
y l'ordonnée au faite à la fin de ces pluies.
Par exemple, dans le cas d'une nappe de 5o mètres de hauteur, ayant une durée de formation de 90 ans, et recevant une pluie exceptionnelle de o m. 5o de hauteur qui y occuperait une hauteur de 5 mètres, la durée de la décrue serait de a ans 3 mois.
Il y a des nappes dont la durée de formation dépasse 90 ans, qui ont plus de
5o mètres de hauteur, et dans lesquelles ua apport pluWal exeeplioniiel peitt déterminer une montée de plus de 5 mètres.
On pourrait, dans certains cas, trouver pour la durée d'une décrue une dizaine d^années, et Texpérience confirme ces prévisions.
Ainsi se trouve parfaitement expliquée Tinjltience prohr^ée des années pluvieuse».
Gomme nous Tavons dit, les nappes aqmjères fonctionnent à t égard des s&urees cûtmne les vohmts à tègard des wiadmes mofrÎM». EUm mMu^fosiimi les eaux phmales en exeèê; elles les restituent peu à peu, et régularisent ainsi le jeu irrigMlier des climats et dss saisons.
De même que la baisse du faite d'une nappe et la réduction de son débit sont mesurées en temps de sécheresse par un coefficient a que nous avons défini plus haut, de même, en temps de crue causée par un appert pluvial nh égal à n fois l'apport plu* vial h du régime permanent, la montée du faite et l'accroissement du débit de la source varient en raison directe d'un coefficient proportionnel à a (équation 85, p. 7^1). G'etl donc encore le ooeffietent m qui mesure la sensibilité d'une nappe el de ses sQQroee aun offete d'une crue* Le§ mèroee c<meid<(ratione peuvent être appliquées ici et fournissent les conclusions suivantes :
Pour un apport pluvial B = nk, une source éprouvera une augmentation de débit croissant plus rapidement que le rapport n.
Le volume ê^eau emmagasiné est sensiblement proportionnel à{n — 1).
Le débit de la source en crue augmente ioMi/sntphis que le terrain est pUa perméabh, et que le bassin de la source est plus petit.
Les sources stables en temps de sécheresse sont aussi des sources stables en temps de crue.
Les grandes sources sont donc moins sensibles aux cruss que les petites.
Les propriétés que nous avons établies dans les paragraphes précédents concernent lea miKffpm eonlent eur un ïomà horizontal.
En vertu de Tassimilation que nous avons faite de fonte nappe sur fond incliné à «ne Bippe en dlipse jfwmhsm, il est évident que, dans leur sens général , ces propriétés s'appliquent aussi aux nappes coulant sur un fond incliné et ont d'autant plus de chances de s'y appliquer avec exactitude que la pente hydraulique des nappes sera moindre.
la. Crme et déeraes d'une nftj^pe. — Fmnanles Aonnant la monlée du laite et le débit dea «oarcea. — Graphiquea G ft F. — La formule t6B, page 1 03 » qui donne le àUbit d'une souree en crue» n'a c|<ie le earaci^e d'une premike apprexima*lion. £Ue cease d'^re applicable ai le terme al qui entre dans sa cempoeition n'est pas 1res petit.
Pour résoudre le problème complètement^ il faut revenir à la formée exacte (81), qui donne l'ordonnée 4.'une nappe en crue.
Appelant G le rapport de l'ordonnée du £aite ait temps t, à Tordomiée b du régime
permanent, et Hf mis pour -r ), le rapport de Tapport pluvial réel à Tapport pluvial du régime permanent, on a :
(188) y = iC; C-v'H
X el n ayant les siguilîcalioas suivantes :
f , base des logarithmes népériens.
A rinfini, C tend vers \/H.
Dans la note A, nous avons établi one formule empirique, basée sur la formule (t 68),
qui donne le rapport P=»-^ du débit q d'une source en crue à son débit ^^ ^^ régime
permanent; c*est la suivante :
Lorsque x tend vers Finfini, F tend vers C^ c'e8t4-dire vers H, ce qui doit être, puisque la courbe de crue tend indéfiniment vers la forme de Fdlipse du r%ime per* mancnt correspondant à un apport pluvial égal a H.
On trouvera, à la fin du chapitre ix, deux tables Y et Z qui donnent les valeurs de C et F pour tous les cas de la pratique.
Les graphiques G et F, pi. LXXX et LXKXl, qui sont la traduction des tableaux. Y et Z, permettent de résoudre facilement tous les problèmes.
Ces graphiques renferment trois variables :
i"* Le coefficient âtf;
2" L'apport pluvial relatif (-jr);
3"* Le rapport C pour le graphique C, et le rapport F pour le graphique F.
Les lignes noires du graphique supposent que la nappe part du régime permanent pour entrer en crue ou en décrue et y revient
Les lignes rouges complétées par les lignes noires représentent le cas des cmes ou des décrues ctnitùmet.
