P—IT /* A

I«1 valeur de <p, en remarquant que la quantité y est constante, peut se mettre sous la forme: • ’ ' *

(“ + — sr*).'- ^ x -t )

►fru - V Ï ' w

en faisant les mêmes transformations que dans le cas de l’étranglement latéral (N” 8i), on trouvera :

HANS «H CANAL IBRKC I MSN .

On aurait do -même pour valeur approchée de V : -

*W l\. . . I. . ' f, !f/f Kl, ,r . TU,,.,', ,i **,1,,

Dans le cas oh le soulèveqicul ou l'abaissement du fond est peu considérable, dilïïre peu de i . Alors les

au

valeurs do y’ et de Y deviennent entièrement semblables h celles qui sont relatives à l’élargissement et à l'étrangle^ ment latéral, et on peut en conclure que les elïels du soulèvement ou de l’abaissement du fond sont les mêmes que ceux d’un étranglement ou d’un abaissement latéral. Ainsi quand sur une petite étendue le lbud slabaisse, la surface de l’eau se relève vis-à-vis le maximum de hauteur, quand le fond se relève, la surface s’abaisse. En général pour de , courtes indexions du plafond du canal les inflexions de la surface de l’qau sont en cens inverse.

Nous insistons sur ces conséquences immédiates et directes du mouvement varié, parce qu’elles sont précisément contraires à ce qu’ôn trouve sur ce sujet dans les tràilé$ d’hydraulique.

Citons celui de M. Daubuisson, paye 167.

» Par exemple, qu’un banc étroit et épais Soit déposé » transversalement du en écharpe sur le lit d’un fleuve, le » fluide le francliira en vertu de sa vitesse acquise; à la i> rencontre du banc sa surface se relèvera considérable- » ment, et de suite après, elle Redescendra; de sorte que » dans' cette partie elle présentera un e-xhatuscmenl pareil » à une forté ondulation. Mais son élévation au-dessus du <> plan général du lit du fleuve, sera plus petite que celle » du banc vau-dessus du plan générél du. fond; Imhi-

ilM? CH AP,' IV. — DU INHVHMENT VARIÉ

» tuellement l’inégalité à la surface sera d’aotant plus pe- » tite comparativement à celle du fond, que l’on aura plus » de vitesse et plus de profondeur. »

Dans cette citation toutes les influences du fond sont prises à contre sens, au lieu de dire : à la rencontre du banc, la surfhce de l’eau se relèvera considérablement et puis après descendra, il aurait fallu dire : la surface de l’eau s’abaissera considérablement et puis après elle se relèvera, ainsi de suite. L’influence de la vitesse n’est pas mieux appréciée.

'l 'application numérique des formules précédentes ne

présente d’ailleurs aucune difficulté. Si on suppose— r =2

• “ -t 'ff<* b *>

elles deviendront :

poit X=?=ioo", H=6“, i=o,ooo3, nous aurons, y’—— 0,57. Ainsi dans le cas de la figure 39, un àttérissement de la forrfie K'b'c' ayant en b’ une àaillie sur le fond de im,g3 ferait baisser la surface de l’eaü de am,5y, s’il avait 100" de longueur. Mais en C il y aurait un remous de o", 12 pour X'=X. Si la longueur A ’b' était de t o5o“, y’, serait nul, pourB'&'=.aœ,5o, et le remous Y serait égal à i",af>. Si

la saillie B'6' était donnée,, on résoudrait les équations

’ fî

précédentes par tâtonnement en substituant au rapport —

le rapport

84. Dans les cours d’eau naturels, les. étranglements peuvent être à la fois latéraux et de fond, il peut y avoir élargissement latéral et étranglement de fond; quelles que soient les circonstances particulières qui se présenteront,

DAK# IN CANAL IllHKGILIF.Il.

la question se résoudra toujours facilement par les équations générales : .

BH'= — — + f (T-»>

n-ir* . A+K . O

Il suffira de mettre dans les valeurs de y ' et de Y celles

de li ' et de U", et si ,1’étendue sur laquelle le cours de la

rivière est modifié n’est pas très-grande , on pourra prendre

pour | la résistance calculée dans une section moyenne.

0 uant aux valeurs de U' et de U", vitesses en II et en C,

on les calculera d’abord sans avoir égard ù Ja dénivellation

de la surface, ce qui donnera une première valeur de ÿ '

et de Y, à l’aide de laquelle on pourra les calculer de

nouveau. . ’ . ... 1

Ce que nous venons de dire, sur les étranglements et

.élargissements graduels, peut se résumer ainsi : si ces

étranglements et élargissements ne sont pas d’une grande

étendue, ils produisent dans l’endroit où l’étranglemeqt est

au maximum un abaissement de la surface naturelle et au

contraire un exhaussement dans le cas d’un élargissement.

Mais en tète de l’étranglement il y a toujours uù exhausse- . '

(*) Dans le cas où le remous Y est petit par rapport à la hauteur II du cours d’eau, eetle râleur de Y peut se mettre sous la

forme Y ~ — — ; le signe -f correspondant à la dépression

yu

rt le signe — au gonflement.

188 CHAF. IV. DU VmVEMEK V AH1K

ment de la surface naturelle ou remous, et en tête de rélargissement une dépression. Ce remous dans l’étranglement est l’excès de hauteur nécessaire pour vaincre 1 excès des forces, retardatrices qui a lieu dans la longueur de l’étranglement, et dans l’élargissement, l’abaissement de la ., surface correspond à la diminution des forces retardatrices dans la longueur de l'élargissement.

Les formules que nous venons de donner nous paraissent résoudre d’une manière complète, et aussi exacte que lé comporte la n.fture de la question, le problème de la détermination de la surface de l’eau coulant dans un canal . irrégulier, -lorsqu'on fait abstraction des forces retardatrices qui se développent dans les changements de section. Cependant nous croyons devoir nous arrêter encore sur un ras particulier vpn théoriquement se trouve résolu par les formules précédentes, mais <jui se présente souvent sur les cours d’eati naturels et produit dans la surface de l’eau des changements de hauteur auxquels on ne s’attend pas généralement, nous voulons parler des étrn'nglements et élargissements par digues parallèles de longueur limitée.

8B. Supposons que. la hauteur d’un cours d’eau en eaux basses soit de i’joo (fig. 3o), que pour eh relever le niveau on établisse sur ujie certaine étendue deux digues parallèles qui en Réduisent la largeur à moitié et cherchons à déterminer la hauteur de l’eau dans la partie étranglée.

Si l’étranglement était d’une longueur indéfinie, l’eau s’y élèverait à i",f>o, ainsi que nous l’avons calculé plus haut. Tançons dans le nivellement cotte ligne mn qui sera la limite supérieure de l’exhaussement de la surface de l’eau. Le fluide ayant dans la partie large en aval une vitesse U, et dans la partie étranglée en amont une vitesse U',

DANS UN CANAL initF.Cl I.IKB.

la différence de niveau Dd=$ des deux surfaces sera exprimée par la valeut de y' donnée par les équations (i) (3) du N° 81, dans lesquelles on fera i=o. Ainsi on aura : # .

„ ■ L*— U’* .1?/ a’A UV ,♦ L*HJ A (0 ' a? -aA' l*(H+5)V- *

U' étant plus grand que U, il est clair que la valeur de £

est négative. Si on pose lî=o",87, — r=a, on trouvera

par tâtonnement que £= — o*,»» satisfait à la question. Ainsi de D, lin de l’étranglement, à A, commencement de l’élargissement, aura lieu un ressaut de 6“,ao. L’eau sera plus Lasse dans la partie étranglée que dans la partie large. •

a L’équation en \ étant du troisième degré a deux autres racines qui satisfont à l’équation (i), £= — o",43, £= — 1",33-. Ainsi l’eau peut prendre dans le canal étranglé une seconde position d’équilibre d'c', telle que Dd'=o,43. M. Vaiithier, dont le corps des Ponts et Chaussées déplore la perte récente , ■ a fait connaître peu de temps avant sa mort, une série d’expériences fort curieuses (*), dans lesquelles il a réatisé ces deux positions d'équilibre qui peuvent se produire dans tous les changements de largeur, et il a fait observer avec raison que de ces deux positions, là position supérieure était seule stable; c’est la seule qu? puisse se rencontrer dans les canaux naturels. Nous’ ne nous occuperons donc pas de la

(*) Indication sommaire des résultats d’espérierices faites'à Roanne pour l'étude de quelque» conséquences, du mouvement permanent (Notice lithographiée).

CH AP. IV. Dl! MOUVEMENT VARIÉ

seconde. Quant à la troisième valeur;- Ç= — r*,3.{ , qui indique que l’eau descendrait au-dessous du plafond du canal, il est évident qù’ellé ne peut se produire. C'est une solution purement analytique. Cependant c’est la seule que donne la formule pour certaines valeurs de la vitesse et * du rapport des largeurs. En effet, si le canal supérieur est tellement étroit et la vitesse de l’eau tellement considérable, que i“ de ressaut ne puisse suffire pour la faire descendre à la vitesse U, il y aura nécessairement de. D en A une forte dépression avec chocs, tourbillons, etc., etc., qui feront perdre à l’eau toute la force vive qui ne lui sera pas enlevée par le ressaut. 11 sera alors impossible d’en calculer la hauteur, [Kir les procédés d’analyse que nous venons d’indiquer, et qui- supposent que dans le passage de l’étranglement à L’élargissement il ne se développe auôune force retardatrice. Il ne faut donc appliquer les résultats dé ces formule^ qu’aux cas où les' variations de section sont renfermées dans certaines limites que le calcul indique luimême et. qui sont au reste celles que présentent ordinairement les cours d’eau naturels.

Passons mainlenant.à la détermination de la surface de l’eau dans le canal étranglé en amont de d. Ce poiut de la • surface étant à o",ao au-dessous! de k‘ se trouve à o",8o au-dessous de m. 11 s’agit donc de déterminer la courbe de dépression en amont d’une ordonnée connue, problème que nous avons résolu dans le chapitre précédent (N'° 74). Si .le .canal est assez large pour qu’on puisse négliger la résistance des bords, on peut se servir de la table qui se trouve à la ûn de cet ouvrage. Pour trouver, par exemple, la distance Dp du point où la nouvelle surface coupe la surface primitive, on cherchera dans la table du remous de dépression :

Dig

dans un, Canal jhhkci ur».

La distance à l’origine de l’ordonnée , md 0,80

o,5o. ......... ■ I ,OOÎ7

t,oo i,6o '

et on en retranchera la distance à l’origine de

l’ordonnée -ÎP-

Fia différence. .

exprimera la -quantité — ~m, et on en déduira, en mettant

1 ,bf>

pour j=o,ooo 3, valeur qui correspond aux données du problème, *=Dp=i48".

Si donc les levées d’étranglement n’avaient que cette longueur, elles ne produiraient dans toute leur étendue qu’un abaissement, résultat probablement contraire à celui qu’on aurait espéré en les construisant. Si elles sont plus longues, elles donneront une augmentation de hauteur de plus en plus considérable, mais qui ne pourra pas dépasser o“6o. Si ou leur suppose une longueur de i3oo” par exemple, on trouvera qu’en amont du canal d’étranglement, l’eau est encore à o”,ao (*) de la ligne mn du régime uniforme de ce- canal; de sorte que la hauteur sur le plafond Gy n'est que de i“,4o.

Si en amont de C le canal reprend sa largeur, l’eau se

(*) Il suffit de retrancher de la distance tabulaire de l’ordonnée md 1,0037

la distance tabulaire entre les ordonnées, — °’000^ * *^°° 0,3437

Toun avoir la distance à l’origine de l'ordonnée cherchée. 0,7600

■.•-.■'■ùjr . ;

qui correspond à l’ordonnée tabulaire 0,1 3 5 , et donne enfin yzro, 135)0, 60 ir’oB, 30. *