CoxsTntcTiOKS DiviiKsiss

1. Conslruire une conique^ connaissant le centre el deux tangentes avec leurs points de contact.

D'après l'énoncé on donne

1° Un élément principal (centre) : deux conditions;

a" Deux tangentes et leurs points de contact : soil quatre conditions.

En tout sis conditions; en apparence, le problème est impossible. Mais (VI, p. 276) la droile qui joint le point de rencontre des deux tangentes au milieu de la corde des contacts passe au centre.

Le choix des éléments donnés n'est donc pas arbitraire; i] existe une relation entre eux; par conséquent ils ne constituent que cinq conditions.

Soient [fig- 64) T,, Ta les tangentes données;

A, B leurs points de contact; O le centre donné.

Le diamètre conjugué de OA s'obtient en position en menant par O une parallèle à T,. Quant à sa longueur, on sait {VII, p. 276) que, en appelant A' son extrémité,

BExBD==ÔÂ'';

une moyenne proportionnelle donne donc sa longueur.

Fi g. 6',.

Nous sommes ramenés au problùme oonrm :

Construire uneconigue, connaissant un système de diamètres conjugués.

La conique est une ellipse si le point B est intérieur au segment DE; c'est une hyperbole dans le cas contraire.

2. Construire une conique, connaissant le centre et trois points.

Soient {fig. 65) O !e centre; A, B, G les trois points; noi!S> allons déterminer un système de diamètres conjugués en grandeur ei en direction.

Joignons le point O au milieu I de la corde BC ; en prenanl ,

aga i'<^ pautie. — géometiiik a i>i

sur une parallèle à la droÎLe BC menée par le pomL A, une longueiir ['A' = Al.', on obtient en A' un quatrième point de la conique.

D'après le théorème de Désargaes, le segment dclcrminé sur

la droite 01 par les coniques passant aux cjiiatrc points AA'BC se déplace en involution.

Deux coniques de ce faisceau sont :

1° Les droites AC, A'B qui rencontrent la sécante en D ;

2° Les droites AB, A'C qui donnent le point D'.

Si l'on prend un point M, tel que

Om' — OD.OD',

on obtient nn point de rencontre de la transversale 01 avec la conique ayant son centre au point O.

Soit OM:=a' : c'est un diamètre de la conique étudiée; son conjugué est en position Oœ, parallèle à BC; pour obtenir sa longueur, nous mènerons par le point O le système

CHAP. XIV. — GONSTBUCTIOJI DES CONIQUES. IQ^

de diamètres conjugués défini par la corde ÂB; ce système se coinpose de la droite ON joignant le centre O, au milieu N de A.B et de ta parallèle à AB menée par le point O.

Ces droites O^', Oy déterminent sur la tangente en M à la conique étudiée deux segments MR., MS, tels que

En portant sur Oj: OM'— i', on a «n système de diamètres conjugués en grandeur et position OM, OM'.

La courbe est une ellipse ou une hyperbole, suivant que le point de contact M de la tangente est intérieur ou es.térieiu' au segment RS.

3. Construire une conique, connaissant le centre et trois tangentes.

(iherelions les points de contact de ces tangentes : soient

(fig. 66) A', B', C i

. Si l'on joint le point A au

SI.94 r" PARTIE. GEOMETRIE A DEUS DIUENBIOKS.

milieu de la corde B'C, cette droite passe au centre de la coniqTie ; le triangle Â'B'G es t donc tel que les milieux de ses côlés sont situés sur les droites AO, BO, CO, et les sommets sur les droites AB, ÂC, BC,

Déterminons d'abord les directions de ses côtés; pour cela prenons un point M quelconque sur AB et menons une parallèle au côté AC jusqu'à sa rencontre N avec la droite AO ; menons par le point N une parallèle à la droite AB; la diagonale MP du parallélogramme ainsi défini est parallèle au côté B'C.

On obtiendrait de même les directions des deux autres côtés.

Construisons {flg- 67) sur MP comme côté, un trian-

gle MPQ semblable au triangle A'B'C; la ligne AQ prolongée vient couper le côté BC en un point A' qui est un sommet du triangle cWerché : c'est un point de contact.

On en déduit les deux autres et Ton est ramené au prohlème précédent.

4. Consiruire une conique, connaissant trois tangentes et les points de contact de deux d'entre elles.

Soient {fig- 68) T, , Tj, Ï3 les tangentes données ; M, N les points de contact.

Le théorème IV permet d'obtenir immédiatement le point P de contact de la tangente Tj.

Les droites obtenues en joig^nant le point b au milieu de MP

et c au milieu de MN se coupent an centre de la conique (V).

Si donc ce point est à distance finie, la conique est une ■ellipse ou une hyperbole; dans le cas contraire, c'est une parabole.

Nous sommes ramenés au problème précédent.

S. Consiruire une conique, connaissant trois points et sachant qu'une droite donnée a pour pôle un point donné.

Soient {ftg. 69) A, B, C les trois points donnés; A la droite donnée ; P son pôle.

agÔ I™ PAKTIE. CEOMKTillË A Dt;UX DIMENSIONS.

Je joins PB (jui rencontre la droite A en M et je prends le conjugué harmonique du point, B par rapport au segment PM, j'obtiens en B' un autre point de la conique ; en répétant celle construction pour le point A, on obtien-

drait un nouveau point : on a cinq points, la conique est dote l'minée.

6, Construire une conique, connaissant deux points, un foyer et V excentricité.

Cherchons la directrice correspondant au foyer donné; elle est tangente aux circonférences décrites des points donnés avec des rayons déterminés par cette condition qu'ils soient à la distance du point pris comme centre au foyer dans le rapport donné, valeur de l'excentricité : le problème compte donc quatre, deux ou pas de solutions, suivant les positions relatives des points donnés et du foyer et suivant la valeur de l'excentricité.

Soient F le foyer donné, D le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la directrice ; les poiats qui partagent la distance FD dans le rapport donné comme valeur de l'excenlricité sont les sommets : on en déduit le centre et les autres éléments.

7. Construire une conique, connaissanl le foyer et trois points.

(a) Soient {^g. 70) F le foyer; A, B, C les trois points donnés que nous supposerons d'abord sur une même branche de courbe; la bissectrice extérieure de l'angle AFB ren-

contre la droite AB en un point D appartenant à la directrice correspondant au foyer F.

On obtient de même le point D' rencontre de la droite CA avec la bissectrice extérieure de l'angle CFA.

On connaît alors le foyer F, sa directrice et un point; la nature de la conique dépend de la valeur de l'exeentricité.

(6) Supposons acluellemenl (') que le point A appartienne à une branche de courbe et les points B et C à l'autre branche : la bissectrice intérieure de l'angle ÂFB rencontre en D !a droite AB; D est un point de la directrice; on obtient de même D' rencontre de la bissectrice intérieure de Vangle ACF avec AC. DD' est la directrice.

C) Prière de faire la figure.

8. Construire une conique, connaissant un foyer et trois tangentes.

Soient {fig- 71) Ti, T,. Tj les trois Laogentes données; F le foyer.

Menons AF; le second foyer se trouve sur la droite Kx Taisant avec la tangente T^ un angle 0. = FAT,.

La même construction répétée en B donne, par l'intersection des droites Kx, Bj-, le second foyer F' ; on en déduit le centre et l'on est ramené au problème :

Construire une conique, connaissant le centre et trois tangentes.

9. Construire une conique, connaissant un foyer, deux tangentes et le point de contact de l'une d'elles.

Soient (y?^, 72) T,, Tj les tangentes données; B le point de contact de T^, on obtiendra le second foyer F' par l'intersection de la droite Aj;, menée comme dans la construction précédente, et de la droite B/ faisant avec T^ et en sens contraire un angle égal à l'angle FEA. On connaît alors les

ClIAP X[V. — CONSTRUCTION DES CONIQUES. ^-99

deux foyers et un point : la conique est une ellipse si les deux loyers sont dn même côté de la tangente; c'est une byperbole dans le cas contraire.

10. Construire une conique à centre, connaissant une ■directrice, une tangente avec son point de contact et la direction du diamètre qui passe par ce point.

Soient {fig. 73) D la direclrice donnée; MT la tangente; M son point de contact; MA le dianaètre de ce point.

Proposons-nous de chercber le foyer correspondant à la directrice donnée; connaissant ce point, nous aurons le centre de la courbe et tous les éléments qu'on voudra.

i" Soit A le point de rencontre de MT avec ia directrice D ; on sait qne la portion MA de la tangente est vue du foyer sous un angle droit : un premier lieu géométrique du foyer cherché est donc la cii-conférence décrite sur MA comme diamètre,

2" On sait que la polaire de tout point de la directrice

- GEOMETIIie A

4 DIHENSIOMS.

passe au foyer et est perpendiculaire à la droite joignant le point de la directrice au foyer; de plus, la polaire d'un point est parallèle au diamètre conjugué de celui qui passe parle point. Si donc D est le point commun à la directrice donnée et au diamètre M A, la polaire du point D est parallèle à MT el la droite FD est perpendiculaire à cette droite.

Un second lieu géométrique du foyer est la perpendicidaire

à Mï menée par le point D ; le foyer est dès lor; par l'intersection d'une droite el d'un cercle : deux coniques répondent à la ([ueslion; elles sont réelles et distinctes, ou imaginaires, ou confondues.

H. Construire une conique, connaissant quatre points et une tangenle.

Soient {Jig. 74) A., B, G, D les quatre points donnés ; T la tangente donnée.

Cherchons le point de contact. Toutes les coniques passant par les quatre points A, B, G, D déterminent sur T un segment qui se déplace en involution [Th. de Désargues). On obtient facilement deux positions de ce segment au moyen

des coniques AB-CD, AG-BD; par les points P, Q on fait passer un cercle quelconque; par les points P', Q' on en fait passer un autre : l'intersection de leur axe radical avec la droite T détermine le centre de l'involution; en menant de ce

point des tangentes aux circonférences, on obtient la puissance de l'involution; les points doubles de l'involution sont les points de contact. Il y a donc deux solutions au problème, si les points doubles sont réels, et aucune solution réelle si ces points doubles sont imaginaires.