S 5. ÉQUILIBRE DES MASSIFS

Les théories diverses de l'équilibre et de la stabilité des voûtes, des murs de soutènement, des terres, des colonnes, etc. ont pour principal objet de déterminer la pression supportée par la matière en un quelconque des points du massif. Pour résoudre ce problème, 011 applique à la répartition des pressions dans la surface d’un plan de joint une hypothèse analogue à celle de Jacques Bernoulli sur la flexion des poutres. Elle consiste à admettre que la déformation qui s’opère aux environs du plan de joint altère les longueurs des fibres qui aboutissent à celte surface, de manière que les molécules primitivement situées dans un plan parallèle au plan de

1 M. C. Couche, De la résistance du fer et de h fonte. ( Annales de* mines , |85|.)

RÉPARTITION DES PRESSIONS, joint se trouvent encore dans un plan après la déformation. Lorsqu'on applique celte loi à la déformation des poutres, les fibres pouvant être les unes étendues, les autres comprimées, la formule de la répartition des efforts est générale. Dans les massifs de maçonnerie, au contraire, les fibres matérielles sont coupées en tous les plans de joints, et liées les unes aux autres par le mortier seulement; elles ne peuvent développer de résistance à l’extension, de sorte que toutes les pressions négatives données par la formule doivent être exclues et regardées comme nulles. De là deux cas à distinguer : si la résultante des pressions mutuelles développées dans le joint considéré passe dans le tiers central de la dimension du joint suppose rectangulaire, la formule donne pour tous les points une pression positive, et toute la surface du joint est comprimée. Si elle tombe en dehors de cette région, la formule est en défaut, parce qu elle donnerait une pression négative sur l'une des arêtes, et on doit la modifier, en réduisant la portion de surface à laquelle elle s'applique au triple de la portion comprise entre la résultante et l’arête la plus voisine. Dans ce cas, la pression maximum est double de la pression moyenne, et une portion de la surface du joint n’est pas utilisée pour la résistance. Dans celte portion , le joint tend à s’ouvrir. .

Cette hypothèse, la plus simple qu'on puisse faire, entraîne une conséquence remarquable et qui semble paradoxale. Supposons deux massifs dans des conditions toutes pareilles de charge : pour l’un la résultante des pressions mutuelles passe parle milieu d'une surface de joint rectangulaire; on donne à l'autre joint un excès de largeur égal à la moitié du côté du premier, de sorte que la résultante passe au tiers de cette seconde largeur. La pression, d'après la formule, sera également répartie dans le premier joint, et inégalement répartie dans le second, et l’addition d’épaisseur faite à celui-ci aura pour effet d’augmenter d’un tiers la pression qui s’exerce sur l’une des arêtes. La pression moyenne aura diminué dans le joint, mais les matériaux se trouveront néanmoins dans des

COLONNE D’ÉGALE RÉSISTANCE, conditions de résistance plus défavorables. Nous avons déjà montré par quelques exemples qu'il n'y a pas là contradiction.

Dans tout ce qui précède, la résultante des actions mutuelles est supposée contenue dans le plan moyen du joint. On peut généraliser la question, et chercher à tracer dans un joint de forme quelconque le contour au dedans duquel doit passer la résultante, pour que la surface entière du joint soit comprimée. Si le joint est rectangulaire, on trouve pour ce contour un losange dont les sommets divisent en trois parties égales les droites joignant les milieux des côtés opposés. Une section circulaire donne un cercle concentrique. Ce sujet se trouve traité avec détail dans le Cours de résistance des matériaux de M. Bresse 1 .

Cette question rappelée, passons à l’examen des divers problèmes appartenant à la théorie de l’équilibre des massifs.

Colosses es maçonnerie. — La répartition des pressions dans les divers joints horizontaux d’une colonne est très-simple : chaque section supporte le poids de la portion de colonne située au-dessus de son plan, et la pression totale se répartit d’une manière égale sur tous les éléments de la section. La question la plus intéressante à traiter à ce propos est celle de la détermination de la forme qu’il convient de donner à une colonne chargée, à sa partie supérieure, d'un poids connu, pour que les matériaux y soient partout soumis à une pression égale. Si l’on suppose que la surface extérieure de la colonne soit une surface de révolution autour de son axe vertical, et que la colonne soit pleine, on arrive aisément, par de simples considérations géométriques, ainsi que l’a fait voir M. Poncelet dans sa Mécanique industrielle, à reconnaître que le méridien de la surface est une courbe logarithmique. Si la colonne est creuse et que le vide central soit un cylindre droit à base circulaire d’un rayon donné, de même axe que la colonne, il suffit d’engendrer la surface extérieure en faisant tourner autour de l’axe vertical de la

' Mécanique appliquée , 1" partie, a* édition, 1866.

174 POUSSÉE DES TEKItES.

colonne la logarithmique qui conviendrait à la colonne pleine, après avoir reporté cette courbe parallèlement à elle-même dans un plan langent au cylindre vide. Ce mode de génération par une courbe non méridienne rappelle la génération de l'hyperboloïde de révolution par une droite ne rencontrant pas l'axe de la surface.

La forme d'égale résistance ainsi obtenue donne à la colonne un renflement à la base, et M. Poncelet fait observer que cette forme convient également pour assurer la résistance du massif aux efforts horizontaux qui tendent à le renverser. C’est la forme ordinaire des colonnes des phares en mer, c’est aussi la forme prise naturellement par les tiges des arbres qui sont exposés aux coups de vent.

Pocssée des terres. — Un massif de terres fraîchement remuées se termine latéralement à des plans inclinés sur l'horizon d’un angle au plus égal à l'angle du frottement de terre sur terre. Si l’on coupe le pied du talus, l'équilibre sera rompu, et, pour le rétablir, il faudra soutenir les terres par un mur. Lorsque les terres ne sont pas fraîchement remuées, la cohésion qui s’y développe ajoute à la stabilité du massif. On a dans tous les cas à déterminer les dimensions du mur qui doit soutenir, aux moindres frais possibles, une masse de terre de forme et de densité données.

Ce problème s’est présenté pour la première fois dans la construction des places fortes, lorsque les perfectionnements de l’artillerie firent écrouler les murailles qui jusqu’alors pouvaient résister par elles-mêmes aux coups des assiégeants. Les fortifications en terre, ressource des ouvrages de campagne, présentent l’inconvénient de faciliter les escalades, en offrant à l’ennemi l’inclinaison trop douce du talus naturel. On fut donc conduit à couper verticalement le pied du talus, et à soutenir les terres par un mur qui ne peut être vu directement des environs de la place. Les règles pour la construction de ces grands murs de soutènement, découvertes après de longs tâtonnements, ont été posées avec une remarquable précision par Vauban , dès la seconde moitié du xvn* siècle ; elles étaient chez l’illustre ingénieur le résultat de sa longue pra-

THÉORIE DE M. PONCELET, tique, éclairée par un sentiment mécanique très-sùr et très-fidèle. Vauban n’a pas donné de théorie des murs de revêtement, et il faut aller jusqu'à Coulomb pour trouver un essai sur cette matière. Perfectionnée en quelques points par Prony, par Français et par d'autres ingénieurs, cette théorie a été complétée, et ramenée de la manière la plus heureuse à des considérations géométriques, par M. Poncelet, dans un Mémoire sur la stabilité des revêtements, inséré dans le Mémorial du génie. M. Poncelet commence par chercher les conditions d’équilihre d'un prisme de terre, qu’il isole dans le massif au moyeu d’un plan incliné conduit arbitrairement par l’arête la plus basse de la face interne du mur; il fait entrer dans les équations d’équilibre toutes les forces qui ont un rôle effectif dans la question : frottement et cohésion des terres, frottement des terres sur la pierre. Mais la cohésion doit être regardée comme négligeable, parce qu’elle ne se produit qu’au bout d’un certain temps, et que généralement on ne saurait y compter pendant la période d’exécution des remblais. Les anciennes théories n’atteignaient pas un degré de précision aussi élevé. 11 est facile de déduire de là l’intensité de la poussée exercée par le prisme sur le mur. Le plan sécant ayant été mené d’une manière arbitraire, la poussée varie avec l'inclinaison de ce plan, et l'on pourra déterminer la direction qu’il faut lui attribuer pour avoir la poussée maximum. C’est cette recherche que M. Poncejet a enseigné à faire par des constructions géométriques les plus simples et les plus commodes. Connaissant la poussée maximum, Oti sait à quelle force, dans le cas le plus défavorable, doit résister le mur par son poids et son frottement sur sa base. La répartition tranche par tranche de la poussée des terres conduit à localiser les efforts élémentaires, dont on n'avait d’abord que la résultante. On en déduit la répartition des pressions dans les diverses assises du mur. Lorsque le profil supérieur des terres est une ligne droite, le point de passage de la résultante est au tiers de la hauteur du mur, comme s'il s’agissait de la poussée d’un liquide.