CHAPITRE VIII

RÉSUMÉ GÉNÉRAL ET SIMPLIFICATIONS

54. En développant, comme nous Tavons fait, les principes exposés ci-dessus, nous avons voulu prévenir toute objection et nous rapprocher autant que possible des errements ordinaires. Nous allons montrer maintenant comment la marche à suivre peut être simplifiée sans que les déductions cessent d'être purement géométriques et tout à fait rigoureuses.

Du mouvement d'un point.

Commençons par le mouvement d'un point. Nous dirons simplement ce qui suit:

Soit m le lieu actuel d'un point mobile fi.

Lorsque le point fx, sort du lieu m, c'est directement, c'est-à-dire suivant une certaine direction; c'est, en outre, avec un certain degré de rapidité : cette direction, ce degré de rapidité déterminent Vétat de mouvement, autrement dit la vitesse du point fi an sortir du lieu m.

Le point /a se mouvant, deux cas sont possibles, selon que la direction affectée par ce point à l'origine de chacun de ses déplacements successifs reste constamment la même, ou qu'au contraire, elle est incessamment variable. Dans le premier cas, et aussi longtemps que la direction ne çfiange point, la trajectoire décrite est rectilignc ; dans le second cas, et aussi longtemps que la direction ne cesse pas de varier, la trajectoire décrite est curviligne.

Réciproquement, selon que la ligne à décrire par un point mobile est droite ou courbe, la direction du point décrivant est constante ou bien incessamment variable.

De là résulte la définition suivante :

La courbe est la trace d'un point qui se meut sur une droite

mobile, le point glissant sur la droite, et la droite tournant autour du point , tous deux incessamment

On peut aussi poser à priori cette même définition. Dans tous les cas, tï est visible que la vitesse du point décrivant est dirigée suivant la droite mobile : c'est pour ce motif que nous donnons à cette droite le nom de directrice*.

Le point qui décrit une courbe étant considéré comme glissant sur la directrice, tandis que la directrice tourne autour de ce points on démontre aisément qu'aucun segment de droite partant du point mobile ne peut rester compris entre la courbe et la directrice. Il suit de là que, pour cbaque position du point décrivant, la directrice se confond avec la tangente h la courbe, c'està-dire avec la droite qui se rapproche le plus de la courbe dans le voisinage de ce point.

Ces premières notions se résument comme il suit :

La vitesse d'un point est l'état de mouvement qui anime ce point au sortir du lieu quHl occupe.

* Au lieu de procéder par voie de synthèse, on pourrait suivre la voie analytique et arriTer, par induction y au même résultat. Selon nous, le premier procédé est ici de beancoup préférable. Quoi qu'il en soit, nons allons indiquer le second.

Une courbe quelconque étant donnée, inscrivons dans cette courbe un premier polygone , puis un second dont les côtés plus petits soient en nombre double , et ainsi de suite indéfiniment.

En général, on ne fait point difficulté d'admettre que le polygone inscrit, dont les côtés croissent en nombre et décroissent en longueur d*une manière indéfinie, a pour limite la courbe circonscrite.

Cela posé, considérons un point m, animé d'une vitesse constante , et assujetti à décrire le contour polygonal inscrit dans la courbe donnée. Imaginons d'ailleurs qu'une même dit)ite D , coïncidant d'al)ord avec le côté du polygone ({ue le point m est en train de décrire, tourne brusquement, pour s'appliquer sur le côté suivant, à l'instant précis où le point m atteint le sommet correslM)ndant à ces deux côtés et ainsi de suite indéfiniment.

Il est visible que, pendant la description du polygone inscrit, le point m se meut unifonnément sur la droite D, et que celle-ci reste immobile ou tourne brusquement autour du i»oint m . siMon que co point décrit un mi^me ofile du

Il y a deux choses à distinguer dans la vitesse d'un point : Vune est la direction y Vautre la grandeur.

La direction est celle de la tangente à la trajectoire du point. Elle comporte deux sens opposés l'un à l'autre,

La grandeur est le degré de rapidité avec lequel le point sort du lieu qu'il occupe.

Du mouvement de plusieurs points.