AVERTISSEMENT

Le lecteur qui connaît la cinématique du point, de la droite et du plan, peut passer immédiatement à la deuxième partie de ce travail et aborder directement l'exposé du calcul diflTérentiel. S'il concevait des doutes sur la légitimité des^principes fondamentaux, pris pour point de départ, il devrait se reporter à la première partie et chercher les éclaircissements nécessaires soit au début, soit dans le chapitre VIII.

Le lecteur qui ne possède aucune notion de cinématique et qui veut abréger, peut se borner à l'étude du mouvement d'un point et d'une droite dans un plan. Les notions dont il a besoin pour aborder le calcul différentiel sont exposées dans les trois premiers chapitres , ou plus simplement encore dans les n°^ 34, 35, 36, 37 et 58 du chapitre VIII.

En général, on jugera préférable de s'appuyer uniquement sur les notions les plus élémentaires. En ce cas, il faut, dans la deuxième partie, passer du n** 9 aux n*** 58, 59, 40, revenir au n*" 12, et poursuivre en supprimant les n**^ 27,28, 55, 54, 55 et 57. Cette façon de procéder est celle qui permet d'atteindre le but proposé le plus vite possible et le plus simplement ; une première lecture, ainsi faite, offre l'avantage de mettre en plus grande évidence l'extrême facilité de

la méthode adoptée pour l'exposition du calcul différentiel. En lisant le tout, on voit mieux combien sont variées les ressources dont on dispose pour les différents cas d'application. Les n*"* 33, 34 et 35 de la deuxième partie sont les seuls qui puissent offrir quelque difficulté ou du moins ralentir la marche. On ne perdra point de vue qu'on peut les supprimer en y suppléant par les n**' 38 et 39.

La cinématique du point et de la droite se réduisant h un petit nombre de notions qui font partie de renseignement élémentaire, ou qu'on peut y introduire sans aucune difficulté, il nous a paru qu'il y aurait un grand avantage à ramener à ces notions si simples et toutes géométriques Texposé complet du calcul différentiel et intégral.

Tel est l'objet que nous nous proposons dans le présent ouvrage.

La première partie comprend la cinématique du point, de la droite et du plan. Considérée en elle-même et détachée des autres parties, nous pensons qu'elle remplit les conditions voulues d'un traité élémentaire assez complet pour satisfaire h toutes les exigences. Considérée au point de vue plus restreint des principes qu'il s'agit d'établir comme base du calcul différentiel et intégral , elle pourrait se réduire à quelques lignes, où Ton définirait avec précision ce qu'on doit entendre par l'état de mouvement d'un point dans l'espace et par celui d'une droite dans un plan. En la développant comme nous l'avons fait; en détaillant dans les sept premiers chapitres une suite de propositions que les procédés suivis dans le chapitre VIIÏ permettent d'exposer en quelques pages, et dont on peut d'ailleurs supprimer sans inconvénient le plus grand nombre, nous avons voulu prévenir les objections qu'on serait conduit à nous opposer et que les notions générale-

* Le lecteur est prié de lire celte introduction.

ment admises en cinématique ne suffiraient pas à résoudre sans quelque effort de la part du lecteur. Nous avons aussi voulu poser les fondements d'une théorie nouvelle , purement géométrique et offrant par elle-même toutes les ressources dont on a besoin pour certaines applications réservées jusqu'ici au domaine de l'analyse infinitésimale. C'est ainsi, par exemple, qu'en se fondant sur cette théorie et laissant à l'écart toute notion de calcul différentiel, toute intervention d'infiniment petits, tout recours à la méthode des limites, on peut aborder directement les questions relatives à la courbure des lignes et des surfaces.

Les développements donnés à cette partie de notre travail ont encore une autre utilité : c'est de fournir des moyens de solution variés et nombreux, susceptibles de se suppléer les uns les autres et de féconder le champ ouvert aux investigations. Toutefois, comme ils ne sont point nécessaires h l'exposé des règles établies dans la deuxième partie, ni même à la solution directe des questions qui concernent la courbure ou d'autres sujets analogues, le lecteur. peut se tenir exclusivement aux premiers éléments de la cinématique. Lorsqu'on sait d'avance , d'une manière bien précise et bien nette, en quoi consistent la vitesse d'un point et l'état de mouvement d'une droite dans un plan, on peut passer outre sans s'arrêter à la première partie. Dans le cas contraire, il faut, avant tout, s'initier à ces deux notions fondamentales et sp familiariser avec elles par l'étude des chapitres I, II, III, ou plus simplement encore des cinq premiers numéros du chapitre VIII. Cela fait, on est immédiatement à même de lire avec fruit l'exposé du calcul différentiel et d'en saisir toutes les conséquences.

L'idée de recourir à la cinématique pour fonder sur la géométrie l'analyse transcendante, n'est pas entièrement nouvelle. Déjà vers le milieu du dix-septième siècle, la cinématique du point fournissait à Roberval une méthode des tangentes non moins remarquable par son élégance que par sa simplicité.. Quelque temps après, Newton s'appuyait sur cette même cinématique pour définir les fluxions, généralisant par cela seul la méthode de Roberval, créant du même coup le calcul différentiel tout entier, et ouvrant ainsi la voie parcourue successivement par plusieurs

géomètres , au nombre desquels nous citerons en particulier Maclaurin et Thomas Simpson. En s'arrétant à la cinëmatique du point, comme Tont fait nos devanciers, on laisse subsister un obstacle invincible à la construction d'une méthode purement rationnelle, entièrement dégagée de la considération des limites, et susceptible d'offrir les mêmes facilités que la méthode infinitésimale. Cet obstacle disparait lorsqu'on fait intervenir la cinématique de la droite et que, prenant pour base notre conception relative à la courbe , on développe tout ce que renferme en soi la définition suivante :

La courbe est la trace d'un point qui se meut sur une droite mobile , le point glissant sur la droite et la droite tournant autour du point, tous deux incessamment.

De là résulte une série d'applications qui nous ont permis d'étendre à la courbure des lignes et des surfaces ce qu'on avait fait pour les touchantes aux courbes, c'est-à-dire de créer, pour les contacts du second ordre et des ordres. supérieurs, une théorie géométrique analogue à celle de Roberval pour les contacts du premier ordre. Telle est la puissance et la fécondité de cette théorie que, par elle, et sans autre secours que celui des notions les plus élémentaires, nous avons pu aborder et résoudre toutes les questions. générales et particulières qui se rapportent à la courbure dans les traités de calcul différentiel et d'analyse infinitésimale. Nous croyons avoir fait quelque chose d'utile en mettant ainsi à la portée des commençants des questions qui semblaient leur être interdites, et, surtout, en leur offrant, comme moyens de solution, les procédés simples et rigoureux de la géométrie. Quoi qu'il en soit, une objection se présente : elle consiste en ce que la marche à suivre exige, en chaque cas', une définition géométrique, et, en outre, un certain effort d'invention pour tirer des données qu'on possède le parti convenable. En vain multiplie-t-on les exemples : tout cas nouveau se résout en un problème particulier de géométrie , et la construction cherchée ne s'offre pas toujours d'elle-même.

Le travail que nous publions aujourd'hui ne laisse rien sub-

sistcr de robjcctioii précédente : ce sont les règles mêmes du calcul différentiel et intégral qu'il dégage des éléments de la géométrie , réunissant ainsi aux ressources dont nous disposions déjà toutes les ressources connues de l'analyse transcendante.

On sait combien la simple définition d'une différentielle proprement dite présente en général de difficulté. Dans notre méthode, comme dans celle que Maclaurin a pris à tâche de développer, la définition de la différentielle peut se donner à priori sans offrir rien d'obscur ou de compliqué. Maclaurin débute par la remarque suivante :

« En général toutes les quantités de même espèce (lorsqu'on » considère seulement leur grandeur) peuvent être représentées » par des lignes droites qui sont supposées être toujours entre » elles en même raison que ces quantités. De même, dans cette » méthode, nous pourrons représenter les quantités de même » espècfi par des lignes droites et les vitesses des mouvements qui » sont censés les produire par les vitesses des points qui se meu- * vent sur ces lignes droites *. »

Reprenons cette remarque en lui donnant toute l'extension qu'elle comporte, et supprimant ce qui la restreint ou l'embarrasse. Nous dirons :

Toute grandeur a pour équivalent numérique une portion de droite composée avec l'unité linéaire comme la grandeur donnée se compose avec son unité propre. Lorsque la grandeur donnée est incessamment variable, le point, qui limite la longueur substituée à cette grandeur comme équivalent numérique, glisse continûment sur la droite qu'il décrit. Cela posé, on a la définition suivante :

La différentielle d'une grandeur quelconque incessamment variable est la vitesse du point qui décrit le segment de droite substitué comme équivalent numérique à cette même grandeur ^.

En s'arrêtant à ce premier aperçu, on peut déjà pressentir une

* Traité des fluxions de Maclaurin, traduit par le R. P. Pezenas, page 7.

* Il est sous-entendu que ce segment de droite est limité à une extrémité par un point lixe , îk Pautre par le iwint mobile que Ton considère.

certaine différence entre les deux méthodes que nous mettons ici en parallèle. Celte différence s'accuse de plus en plus à mesure qu'on avance dans les applications. Toutefois , c'csl par le développement de l'idée mère renfermée dans notre définition de la courbe qu'elle se caractérise avec toute son importance. Maclaurin donne les définitions suivantes de la tangçnte en un point d'une courbe et de la courbure' en ce même point :

o Une droite est tangente à une courbe, lorsqu'elle touche la j> courbe si exactement qu'on ne peut mener aucune droite par le » point d'attouchement entre elle et la courbe ^ »

a Comme de toutes les droites que l'on peut mener par un » point d'un arc, celle-là seule est tangente qui le touche si pré- » cisément qu'on ne peut pas mener une autre droite entre elle » et cet arc; ainsi de tous les cercles qui touchent une courbe » dans un point donné, celui-là est dit avoir la même courbure » que cet arc, lequel le touche si exactement qu'on ne peut dé- » crire aucun cercle entre eux par le point d'attouchement, tous » les autres cercles passant en dessus ou en dessous ^. »

C'est d'ailleurs en s'appuyant sur ces définitions que Maclaurin procède pour déterminer là tangente et le cercle de courbure, autrement dit le cercle osculateur.

Les définitions que nous venons de rappeler accusent certaines propriétés caractéristiques de la tangente et du cercle osculateur. Elles ne font point connaître le rapport qui s'établit entre ces lignes et la courbe dans leur génération simultanée. Pour nous, qui désignons sous le nom de directrice la droite mobile mentionnée dans notre définition de la courbe, la tangente est la directrice du point décrivant y c'est-à-dire la droite suivant laquelle est dirigée la vitesse de ce point; la courbure est celle du cercle où subsiste ) d'une manière constante y le rapport établi entre la vitesse actuelle du point décrivant et la vitesse angulaire simultanée de la directrice. Que la vitesse du point décrivant conserve, à partir d'un instant quelconque, la direction qu'elle affecte à ce

* Traité des fluxions de Maclaurin, traduit par le R. P. Pezenas, p. 120. 2 M;V/('m,p. 240.

même instant; le point décrivant cesse de décrire la courbe pour décrire la tangente. Que le point décrivant et la directrice de ce point persistent tous deux, Tun à glisser sur la directrice, Fautre à tourner autour du point décrivant, comme ils le font à un instant quelconque déterminé; à partir de ce même instant, le point décrivant cesse de décrire la courbe pour décrire le cercle osculateur. En chaque point d'une courbe , il y a sur la courbe direction et courbure : le cercle osculateur est le type sensible de la courbure, comme la tangente Test de la direction.

On observera que nos définitions ont un caractère particulier. Elles pénètrent au fond même des choses; elles expriment et manifestent les lois qui président à la génération des grandeurs, dont on étudie la variation simultanée. 11 suit de là qu'elles doivent nécessairement offrir des moyens nouveaux de J^echerche et de solution. L'exposé du calcul dififerentiel et intégral fera ressortir les avantages qu'elles présentent en se systématisant de manière à constituer une méthode générale. Bornons-nous ici à en donner une idée par une application tout élémentaire.

Représentons-nous une courbe plane et le point qui la décrit. Soit V la vitesse de ce point et w celle de la directrice à un même instant quelconque déterminé. Considérons la normale à la courbe décrite, et supposons qu'entraînée par le^ point décrivant, elle glisse avec ce point le long de la directrice et en lui restant perpendiculaire. 11 est visible qu'en se déplaçant ainsi, la normale glisse tout entière avec la vitesse v parallèle à la directrice, et qu'en même temps, elle tourne autour du point décrivant avec In vitesse w. De là résultent pour le point o, situé sur la normale à la distance R du point décrivant, deux vitesses actuelles et simultanées, l'une égale à v, l'autre au produit Ru;. Ces deux vitesses ont une même direction perpendiculaire à la normale; elles sont d'ailleurs de même sens ou de sens contraire, selon que l'arc décrit, à partir de l'instant considéré, commence par être convexe ou concave du côté du point o. Supposons le point o pris du côté de la concavité. Dans cette hypothèse, la vitesse du point o est représentée en grandeur par la différence v — Ru?.

Considérons en particulier ce qui arrive pour le point o, lors-

(in

qu'au lieu de rester quelconque il est déterminé par Téquation de condition

w En ce cas^ Ton a évidemment

V — Kw = 0.

De là résultent les conséquences suivantes :

4" Lorsque le point décrivant entraîne avec lui la normale à la ligne décrite, il est un point de la normale dont la vitesse est nulle. Ce point est situé du côté de la concavité, à une distance du point décrivant exprimée pour chaque position de la normale par la valeur correspondante du rapport ^ .

2® Deux cas sont possibles , selon que le rapport — demeure invariable sur la courbe décrite ou qu^au contraire, il varie incessamment d'un point à un autre.

Dans le premier cas , le point de la normale dont la vitesse est nulle reste toujours le même. Il s^ensuit qu'il est fixe et que la ligne décrite est une circonférence de cercle ayant son centre en ce point.

Dans le second cas, le point de la normale, dont la vitesse est nulle, est le centre du cercle qui se substituerait à la courbe décrite , si l'on conservait au rapport — la valeur qu'il affecte à V instant que l'on considère. Ce cercle prend, par rapport à la courbe, le nom de cercle osculateur. Son rayon est dit rayon de courbure. En désignant par p ce rayon, on a généralement

Soit m une position quelconque du point qui décrit la courbe donnée; o le centre de courbure correspondant à cette position; m' un point mobile assujetti à glisser sur la normale de manière à coïncider toujours avec le centre o du cercle osculateur.

Le rayon p étant, par hypothèse, incessamment variable, il s'ensuit que , dans le passage d'une position quelconque de la nor*

maleaux positions suivantes, le point m' s'écarte ou se rapproche du point m en glissant sur la normale avec une certaine vitesse. Soit ti cette vitesse : elle est déterminée par la variation correspondante du rapport — , c'est-à-dire par le degré de rapidité avec lequel ce rapport augmente ou diminue. Nous savons d'ailleurs qu'elle constitue à elle seule la vitesse totale du point m\

Affectons à la courbe donnée le nom de développante et au lieu ' géométrique de ses centres de courbure, celui de développée. Les considérations qui précèdent ont pour conséquences immédiates les déductions suivantes :

3° Pendant que le point m décrit la développante, le point m' décrit la développée.

4® Dans la description de la développée ,[e point m' glisse sur la normale mm' avec la vitesse u, et, en même temps, la normale tourne autour de ce point avec la vitesse w.

5*^ Toute normale à la développante est tangente à la développée , et réciproquement toute tangente à la développée est normale à la développante.

6^ Dans le passage d'une position à une autre, la normale à la développante s'applique sur la développée par voie d'enroulement continu.

' V L'arc de là développée compris entre deux rayons de courbure de la développante a pour longueur rectifiée la différence de ces mêmes rayons.

8® Le rayon de courbure de la développée est représenté pour le point m' par le rapport - , en même temps que celui de la développante l'est pour le point m par le rapport ~ .

9® Lorsque les vitesses u et yf varient dans un rapport constant, la développée est une circonférence de cercle.

iO® Les développantes de cercle sont les seules lignes pour lesquelles les vitesses uetw conservent entre elles un rapport invariable.

S'agit-il maintenant de déterminer les propriétés et les caractères distinctifs du cercle osculateur? S'agit-il, en outre, d'établir les conditions relatives aux contacts des ordres supérieurs? On

peut y parvenir, coiimie nous l'avons l'ail ', en s'appuyant sur les premiers éléments de la géométrie. On y parvient plus directement encore, en observant que, pour une même vitesse du point décrivant, l'écart entre la tangente et la courbe augmente nécessairement avec la vitesse angulaire de la directrice. De là se déduit sans la moindre difficulté tonte une série de conséquences. Enonçons-en les principales , en désignant par m le lieu de départ du point décrivant et par s l'arc décrit à partir de ce lieu. Voici d'abord un premier énoncé :

Le cercle osculateur est, parmi tous les cercles passant par le point m , celui qui se rapproche le plus de l'arc s dans le voisinage du point m. // est la limite séparative des cercles qui touchent Varc s en m, les uns intérieurement , les autres extérieurement. En général, il coupe la courbe au point d'osculation.

Lorsque deux courbes ont en un point commun même tangente, elles se touchent en ce point et leur contact est du premier ordre. Si, en outre, elles ont même courbure, leur contact, devenu plus intime , est dit du deuxième ordre. Soit o le centre commun de courbure qui correspond au contact du deuxième ordre établi, par hypothèse, entre les deux courbes que Ton considère :

Les développées de ces courbes se touchent au point o et leur contact est du premier ordre.

Supposons, sans rien changer d'ailleurs, que le contact des développées soit du deuxième ordre, celui des développantes, devenu plus intime, sera du troisième ordre, et ainsi de suite, tout contact de Tordre n entre les développées impHquant un contact de Tordre n + 1 entre les développantes, et, réciproquement, tout contact de Tordre n + i entre les développantes impliquant un contact de Tordre n entre les développées. On voit ainsi comment le contact du troisième ordre se définit au moyen du contact du deuxième ordre, celui du quatrième au moyen du troisième, et ainsi de suite indéfiniment. Cela posé, il n'est pas besoin d'autres

^ Voir notre Théorie yéométrique des rayons et centres de courbure (â""» note atlditionnelie).

procédés que ceux de la géométrie élémentaire pour établir les déductions suivantes :

Lorsque deux courbes ont entre elles un contact d'un ordre quelconque supérieur au premier , selon que leurs courbures sont toutes deux croissantes , ou toutes deux décroissantes à partir du point de contact et d'un même côté de la tangente, la position relative des développées est Vinverse ou la même que celle des développantes.

En général, lorsque deux courbes ont entre elles un contact d'ordre pair, elles se coupent au point d't>sculation.

En général, lorsque deux courbes ont un contact d'ordre impair, elles ne se coupent pa^s au point où elles se touchent.

Entre deux courbes dont le contact est de l'ordre n, on n'en peut mener aucune ayant un contact d'ordre inférieur.

Cet aperçu indique suffisamment ce qu'il y a de neuf dans la méthode que nous nous proposons ici de généraliser. Il montre, en même temps , comment cette méthode a ses procédés particuliers, essentiellement distincts des procédés ordinaires. L'exposé du calcul différentiel fera voir Textension que comporte cette même méthode et comment elle embrasse tous les cas possibles d'application, c'est-à-dire comment elle se systématise en dégageant de la géométrie les règles dont on a besoin- pour résoudre, ainsi qu'on le fait par d'autres méthodes, toutes les questions qui peuvent se présenter. L'avantage consiste en ce que tout repose sur des notions rationnelles, purement élémentaires, offrant un sens précis, faciles à saisir dès le début, et supprimant ainsi toute obscurité. Il consiste également en ce que les moyens directs dont on dispose présentent, en général, de grandes facilités et qu'en outre, ils comprennent implicitement tous ceux dont l'emploi peut, en certains cas, paraître préférable.

Nous avons dit plus haut de quoi se compose la première partie de cet ouvrage et les simplifications qu'on y peut introduire. La deuxième partie comprend les règles générales de la différentiation, et, pour les cas les plus simples, les règles correspondantes de l'intégration. Elle se distingue des écrits publiés sur la même matière en ce qu'elle n'emprunte le secours d'aucune des mé-

thodes connues et que tout se réduit à des constructions purement gëométriques. Rapprochée du travail que nous avons produit antérieurement sur le postulatum d'Euclide, elle montre, ainsi que nous rannoncions, comment en mathématiques élémentaires, de même qu'en analyse transcendante, tout se ramène à une seule et même conception fondamentale.

Les lecteurs au courant des difficultés métaphysiques soulevées par l'analyse transcendante seront surpris sans doute de nous voir affirmer que nous n'avons besoin ni des infiniment petits, ni du procédé des limites, ni d'aucune notion d'algèbre supérieure pour établir à priori les règles de cette analyse et les rendre applicables à tous les cas. On reconnaîtra que cette affirmation n'a rien d'exa* géré. Nous aurions pu combiner aVec les moyens propres à notre méthode, ceux que fournit la méthode des limites et que nous étions en droit de nous approprier après les avoir déduits du théorème fondamental exposé n"" 6. Nous le pouvions d'autant plus que tout étant éclairci dès l'abord, les résultats obtenus par la méthode des limites ne se réduisaient pas à la simple traduction d'une série de faits que l'on n'explique point , dont le sens échappe et qui restent en partie stériles. Nous avons préféré procéder exclusivement par la géométrie, de manière à ne laisser aucun doute sur l'indépendance absolue qui existe entre notre méthode et les autres.

La marche suivie dans les cinq premiers chapitres peut être simplifiée d'après les indications du chapitre VI et notamment des numéros 58, 59 et 40. En se reportant à l'avertissement placé en tête de cet ouvrage, on verra comment on doit en foire la lecture pour parvenir au but proposé dans les conditions les plus promptes et les plus faciles.

Il nous a paru curieux de démontrer à priori que le plan tangent en un point d'une surface contient , en général , toutes les tangentes menées par ce point, et que deux tangentes réciproques, qui sortent avec une égale vitesse des sections qui les déterminent , ont des rotations égales et contraires autour des directions suivies parleurs points de contact. Le premier de ces théorèmes implique, comme conséquence, la loi générale de la différentiation des fonctions composées ou complexes, et réciproquement. Le dernier exprime l'égalité qui subsiste entre les résultats de plusieurs déri-

valions successives où 1 ordre seul u c(ë change : ici d'ailleurs, comme dans le premier cas, il y a réciprocité complète. Cette équivalence entre deux faits purement géométriques et les faits similaires qui leur correspondent en analyse différentielle offre, pensons-nous, un certain intérêt.

Lorsqu'on veut établir directement et de prime abord ^ ainsi que nous lavons fait aux numéros 35 et 54, les propriétés des tangentes réciproques, on ralentit la marche des déductions ^ et on leur ôte , en partie , la simplicité qu'elles comportent. Le mérite d'une difficulté vaincue nous a paru devoir être compté pour quelque chose, alors qu'il ne s'agissait pas seulement d'arriver au but, mais bien aussi de faire ressortir la puissance et la multiplicité des ressources dont nous disposons. Que ce soit, au besoin, notre excuse. L'inconvénient signalé n'existe d'ailleurs qu'en apparence : il disparaît, lorsqu'on passe du n*^ 9 aux n^' 58, 59, 40 et que, revenant au n*» 12, on poursuit, en supprimant les n*** 27, 28, 55, 34, 55 et 37. De là résulte une simplification considérable : les figures planes et leurs mouvements dans un plan étant les seuls qu'on ait à considérer, il suffit des premiers éléments de géométrie et de cinématique pour établir toutes les règles de la différentiation et procéder ensuite aux applications ultérieures.

Les développements que comportent le calcul différentiel et intégral sont faciles à déduire des principes exposés dans la deuxième partie de cet ouvrage. Pour s'en convaincre à l'avance, il suffît d'observer que la méthode fondée sur ces principes rend toutes les autres inmiédiatement accessibles et qu'en outre, elle a ses moyens particuliers, généralement très-prompts, très-directs et très-simples. Quoi qu'il en soit, nous croyons devoir poursuivre la tâche que nous avons entreprise et nous efforcer de la mener à bonne fin en la complétant. Déjà le plus difficile est fait : déjà tout est compris implicitement dans le travail que nous publions aujourd'hui. Les parties suivantes auront pour objet les applications analytiques et géométriques du calcul différentiel et intégral : elles feront, pensons-nous, ressortir mieux encore les avantages de notre méthode.

EXPOSÉ GÉOMÉTRlQUJi

DU