RÉSUMÉ GÉNÉRAL ET SIMPLIFICATIONS

34. En développant, pomme nous l'avons fait, les prineipes exposés ci-dcssus , nous avons voulu prévenir toulc objection et nous rapprocher autant que possible des errements ordinaires. Nous allons montrer maintenant comment la marche à suivre peut être simplifiée sans que les déductions cessent d’être purement géométriques et tout à fait rigoureuses.

Du mouvement d’un point.

Commençons par le mouvement d'un point. Nous dirons simplement ce qui suit:

Soit m le lieu actuel d’un point mobile fi.

Lorsque le point fi sort du lieu m, c’est directement, c’est-à-dire suivant une certaine direction; c’est, en outre, avec un certain degré de rapidité : cette direction, ce degré de rapidité déterminent l’état de mouvement , autrement dit la vitesse du point ft au sortir du lieu m.

Le point fi se mouvant, deux cas sont possibles, selon que la direction affectée par ce point à l’origine de chacun de scs déplacements successifs reste constamment la même, ou qu’au contraire, elle est incessamment variable. Dans le premier cas, et aussi longtemps que la direction ne change point, la trajectoire décrite est rectiligne; dans le second cas, et aussi longtemps que la direction ne cesse pas de varier, la trajectoire décrite est curviligne.

Réciproquement, selon que la ligue à décrire par un point mobile est droite ou courbe, la direction du point décrivant est constante ou bien incessamment variable.

De là résulte la définition suivante :

La courbe est la trace d’un point qui se. meut sur une droite

mobile, le point glissant sur la droite, et la droite tournant autour du point , tous deux incessamment.

On peut aussi poser à priori cette même définition. Dans tous les cas, il est visible que la vitesse du point décrivant est dirigée suivant la droite mobile : c’est pour ce motif que nous donnons à cette droite le nom de directrice *.

Le point qui décrit une courbe étant considéré comme glissant sur la directrice , tandis que la directrice tourne autour de ce point, on démontre aisément qu'aucun segment de droite partant du point mobile ne peut rester compris entre la courbe et la directrice. Il suit de là que, pour chaque position du point décrivant, la directrice se confond avec la tangente h la courbe, c’està-dire avec la droite qui se rapproche le plus de la courbe dans le voisinage de ce point.

Ces premières notions se résument comme il suit :

La vitesse d'un point est l'état de mouvement qui anime ce point au sortir du lieu qu’il occupe.

I Au lieu de procéder par voie de synthèse, on pourrait suivre la voie analytique et arriver, par induction , au même résultat. Selon nous , le premier procédé est ici de beaucoup préférable. Quoi qu'il en soit, nous allons indiquer le second.

Une courbe quelconque étant donnée, inscrivons dans cette courbe un premier polygone , puis un second dont les côtés plus petits soient en nombre double, et ainsi de suite indéfiniment.

En général, on ne fait point difficulté d'admettre que le polygone inscrit, dont les côtés croissent en nombre et décroissent en longueur d’une manière indéfinie, a pour limite la courbe circonscrite.

Cela posé, considérons un point m , animé d'une vitesse constante, et assujetti à décrire le contour |K>)ygonal inscrit dans la courbe donnée. Imaginons d’ailleurs qu'une même droite D , coïncidant d'abord avec le côté du polygone que le point m est en train de décrire, tourne brusquement, pour s'appliquer sur le côté suivant, à l'instant précis où le point m atteint le sommet corres- IHindant à ces deux côtés et ainsi de suite indéfiniment.

II est visible que, pendant la description du polygone inscrit , le point m se meut uniformément sur la droite 1), et que celle-ci reste immobile ou tourne brusquement autour du point m. selon querp point décrit un même côté du

Il y a deux choses d distinguer dans la vitesse d’un point : l’une est la direction , l'autre la grandeur.

La direction est celle de la tangente à la trajectoire du point. Elle comporte deux sens opposés l’un à l’autre.

La grandeur est le degré de rapidité avec lequel le point sort du lieu qu’il occupe.

Du mouvement de plusieurs points.