CHAPITRE

I)E LA ROTATION d’u.NE DROITE DANS UN PLAN.

Définition et mesure (les vitesses angulaires.

(i. Soit une droite passant par un point (ixc et tournant autour de ce point dans un seul et même plan. A chaque instant la droite passe d'un lieu dans un autre, et alfecte par là même un état particulier distinct de l’état de repos. Cet état d’une droite qui sort du lieu qu’elle occupe en tournant autour d’un de scs points , supposé fixe, est dit vitesse de rotation ou bien encore vitesse angulaire.

On entend ainsi par vitesse angulaire le degré de rapidité qui anime une droite dans sa rotation autour d'un point fixe, pris sur cette même droite. S'agit-il d’une droite, qui sc déplace dans un plan d’une manière quelconque et dont la direction change incessamment? Clic a de même et à chaque instant une vitesse angulaire complètement déterminée. Cette vitesse est celle d’une

1 II est sous-entendu que, relativement à chacune des deux droites choisies pour y projeter le point décrivaut, les projections se fout iKirullélcnieul à l’autre.

droite quelconque assujettie à passer par un point lixe et à tourner autour de ce point en restant parallèle a la droite donnée.

Ainsi que toutes les grandeurs mathématiques, la vitesse angulaire peut être constante ou bien incessamment variable. Dans tous les cas, elle est à chaque instant complètement déterminée. Lorsqu’elle varie et qu’on veut exprimer ce qu’elle est, pour une position donnée de la droite mobile, on considère exclusivement la détermination particulière qui correspond à la position donnée : on suppose qu’à partir de cette position, la vitesse angulaire demeure invariable et l’on procède comme si elle l’était effectivement. Par ce simple artifice, le cas des vitesses angulaires variables se ramène au cas des vitesses angulaires constantes et celui-ci reste seul à examiner.

Cela posé, nous pourrions répéter ici pour les vitesses de rotation, ce que nous avons dit plus haut pour les vitesses linéaires et reproduire presque littéralement les mêmes déductions. Bornons-nous à énoncer les règles suivantes :

1 0 Dans la comparaison de pl usieurs vitesses angulaires, chaque vitesse peut être exprimée par un angle.

2“ Les vitesses que l’on compare animant certaines droites, les angles qui les expriment respectivement sont ceux que ces droites décriraient simultanément si chaque vitesse demeurait constante.

5“ En général ouest libre de fixer comme on veut, l’angle pris pour mesure de l’une des vitesses qui sont à comparer. Les autres s’en déduisent.

Rapport existant entre la vitesse angulaire d’une droite et les vitesses que la rotation de la droite communique à ses différents points.

7. Soient o,o' deux points supposés fixes, l’un sur la droite D, l’autre sur la droite D'. Par hypothèse, ces deux droites tourpent uniformément, l’une autour du point oavee la vitesse angulaire l’autre autour du point o' avec la vitesse angulaire «•'.

Soient m, ni' deux points pris respectivement, le point m sur la droite D à la distance r du centre o; le point mi' sur la droite D' à la distance r' du centre o'. s, s' étant deux arcs quelconques plans décrits simultanément, le premier par le point m, le second par le point m', ecs arcs sont circulaires, et les angles qu’ils sous- tendent ont pour mesure les rapports p > p . On déduit de là, conformément à la règle (2) du n° (i :

Fig. U.

Soient v, v’ les vitesses qui animent en même temps les points m, mi' dans lu description des ares s, s'. Il est aisé de voir, conformément aux déductions des numéros (4) et (5), que ces vitesses sont normales aux rayons vecteurs r, r’ et qu’elles satisfont à l’équation suivante 1 :

1 Les déductions des n* (4) et (o) se vérifient très-simplement, comme il suit :

Soit al une droite mobile, toujours tangente à la circonférence abed , tournant sans glisser le long de cette circonférence, y appliquant successivement tous ses points et l’enveloppant ainsi par une sorte d'enroulement continu. Tandis que la tangente al tourne uniformément de a vers a\ concevons qu’un |>oint m, situé d’abord en a, se déplace le long de cette droite , arec une vitesse constante en grandeur et de manière à occulter sans cesse la position précise oit le contact s'établit entre la tangente mobile al et la circonférence fixe abed. Dans ce douille mouvement simultané du point m et de la droite al, le point glissant sur la droite et la droite tournant autour du point, tous deux uniformément , il est visible que le point m décrit à la fois la droite mobile al et le contour fixe du cercle abed. De là les conséquences établies plus liant , d’une manière générale, |>our une courbe quelconque.

Fig. 7.

La combinaison des équations (I) et (2), donne

Choisissons pour unité des vitesses angulaires celle qui communique l'unité de vitesse au point qui décrit la circonférence de cercle ayant l’unité pour rayon.

Si nous prenons r' = i et que nous supposions t/= l, il viendra w' = 1 , et nous uurons en général

L’équation (4) implique les conséquences suivantes :

1" Lorsqu une droite tourne autour d'un de ses points supposé fixe , il y a lieu de considérer pour chaque position de la droite sa vitesse angulaire actuelle w, et en même temps les vitesses correspondantes de ses différents points.

2° Soit v la vitesse qui répond à la vitesse w pour un point quelconque pris sur la droite mobile , à la distance r du centre de rotution :

La direction de ia vitesse v est perpendiculaire à lu droite mobile.

La vitesse v est égale au produit de la distance r par la vitesse w.

La vitesse w est égale au quotient de la vitesse v par lu distance r.