Sans rien changer à ce qui précède, nommons

D la tangente en m' à la ligne s,

a l'angle de la droite D avec Taxe OX *,

z = f (x, y), consiste essentiellement en ce que la caractéristique du plan P est assujettie à passer par le point i.

Soit h le point de la droite ab pour lequel on a ~ = ? • A cette valeur du rapport ? correspond une position particulière de la caractéristique du plan P. Cette position est donnée par la droite Ai. On voit ainsi comment la caractéristique du plan P tourne autour du point t, lorsqu'on dispose du rapport ^ et qu'on le fait varier continûment.

La faculté qu'on a de disposer comme on veut les trois points a,b,c, implique, comme conséquences, plusieurs théorèmes de géométrie qu'il suffit d'indiquer en passant.

' On sait que pour chaque valeur attribuée à y , la ligne s est complètement définie de forme et de position. On sait également que, pour chaque valeur attribuée à x, la position du point m sur la ligne s est entièrement déterminée. De là résulte nécessairement

Soit <Xx ce que devient la vitesse angulaire à, lorsqu'on suppose y = constante, c'est-à-dire lorsque le point m sort du lieu n en glissant sur la ligne ce'. Soit de même ày ce que devient la vitesse angulaire à, lorsqu'on suppose ;r = constante , c'est-à-dire lorsque le point m sort du lieu n en glissant sur

C l'angle ZOX, suppose quelconque, t le rapport sin o: : sin ( C — <x ) , w" la projection du point m sur la ligne cc\ cette projection étant faite par une droite parallèle à Taxe OZ.

De raême qu'en se séparant du point n, le point m" détermine la direction première de la tangente D , de même en s'écartant Fun de l'autre au sortir du lieu n les points m, m' déterminent la vitesse angulaire de cette même tangente à l'origine de son déplacement.

Soit n' un point pris sur la droite D, alors que cette droite „. ^^ touche en n la ligne cc\ Tirons l'ordon-

née pV et désignons par /te un point mobile assujetti à rester en même temps sur cette ordonnée et sur la droite D.

Plaçons-nous à l'instant précis où la droite D sort du lieu nn' et représentons ^ par u l'excès de la vitesse du point fc sur celle du point m'. Il est visible que la rotation de la droite D

l'ordonnée pn. Appliquée à Téquation (1), la règle du n« 38 donne immédiatement (2) à = âx -h â^

L^équation (2) exprime qu'à Tinstant précis où le point m sort du lieu n , la directrice du point m sur sa trajectoire tourne comme si la ligne s conservait sa forme actuelle ce' et tournait avec la vitesse angulaire ày. Ce résultat peut s'établir à priori par des considérations très- simples. En effet» puisque le changement de forme est soumis, par hypothèse , à la loi de continuité , il serait absurde de supposer que la rotation de la directrice du point m sur la ligne s pût être, par rapport à cette ligne , moindre ou plus grande que le comporte la courbure actuelle au point n. On voit ainsi que l'équation (2) subsiste nécessairement , la ligue s pouvant être considérée comme invariable de forme, et dès lors comme n'ayant d'autre mouvement angulaire que celui qui correspond à son déplacement et qui commence avec la vitesse ày.

Il est aisé de voir comment les déductions du n» 38 conduisent directement à la théorie des enveloppes , comment aussi l'extension qu'elles comportent permet de les prendre pour base du calcul des variations. Nous reviendrons plus loin sur ces applications.

autour du point m' est précisément la même que si ce point demeurait en n et que le point /u. sortit du lieu n' eu glissant sur Tordonnée p'n' avec la vitesse u. Or, dans cette hypothèse, on a

(1) p'n' = pn -^ pp\t,

11 vient donc, en diffërentiant par rapport à p'n' et à t,

u = pp'A,

Soit U la vitesse effective du point fi au sortir du lieu n\ celle du point m', au sortir du lieu n, étant représentée par iy, on a, comme conséquence des données précédentes,

(2) ù = iy ^ pp\l

L*équation (2) subsiste en même temps pour tous les points de la droite nn\ 11 s'ensuit que si Ton veut déterminer la vitesse avec laquelle la grandeur U varie dans le pass&ge d'un point h un autre sur la droite nn% il suffît de différentier en considérant les deux vitesses z^ et i comme constantes, et en prenant pour différentielle de la quantité variable pp' la vitesse à* avec laquelle l'ordonnée p'n' s'écarte de l'ordonnée pn en glissant sur l'axe OX. De là résulte immédiatement

Veut-on appliquer l'équation {5) à la détermination de la vitesse angulaire qui anime la droite mm' à l'origine de son déplacement, lorsque les points m^m' sortent en même temps du lieu w? Tout se réduit à poser

U = i, = yfy{x,y).

Ce qui donne, d'abord,

W t: = y.xfl.[x,y)\

Le symbole f'y^ x(Jc,y) exprime le résultat de deux dérivations faites successivement, la première par rapport à la variable y, la seconde par rap-

( 165) et, ensuite, eu égard aux égalités (3) et (4),

(S) yflx{oc,tj)==i

Cela posé, observons que la quantité t a pour expression générale le rapport de la vitesse i, = x fx (^> y) « J» vitesse x. On peut donc écrire généralement

De là résulte, en différentiant, dans l'hypothèse x= constante ,

(6) yf:.y{^,!/)=-i.

La comparaison des équations (5) et (6) conduit immédiatement à la relation finale

On voit ainsi que, dans le cas de deux dérivations faites successivement par rapport à deux variables, le résultat définitif est indépendant de l'ordre suivi dans ces dérivations. Cette conséquence s'étend d'elle-même à un nombre quelconque de dérivations successives faites sur une même fonction de n variables. De là le principe général énoncé comme il suit :

Quel que soit l'ordre dans lequel on effectue plusieurs dérivations successives, si V ordre seul change et que toutes choses SOIENT égales d'ailleurs, h résultat définitif reste toujours le même.

40. Revenons à la règle générale du n** (38). Elle implique, comme cas particulier, la règle suivante :

La différentielle d'un produit est la smnme des résultats qu'on obtient en substituant successivement à chaque facteur sa propre différentielle,

port à la variable œ. On peut voir, à la fin du n° 35, quelles sont les conventions adoptées pour représenter, en général, les dérivées successives jet partielles d'une même fonction à plusieurs variables.

Partant de là et opérant comme nous l'avons fait à partir du n^ iO, on établit sans la moindre difficulté toutes les règles dont on a besoin pour la différentiation des fonctions élémentaires et des fonctions composées.

Il n'échappera point au lecteur, déjà initié aux divers procédés d'exposition de l'analyse transcendante, qu'en suivant la marche tracée par nous en dernier lieu , notre méthode réunit tous les avantages que les autres peuvent offrir séparément. Au point de vue de la rigueur, elle ne le cède en rien à la méthode des limites ; au point de vue de la simplicité, elle égale au moins la méthode des infiniment petits. Suffisante par elle ^eule, elle offre toutes les ressources nécessaires; on peut d'ailleurs la combiner avec les méthodes connues , de manière à les compléter en leur donnant ce qui leur manque : à l'une la lumière et la fécondité, à l'autre la netteté et la certitude géométriques. Les applications ultérieures montreront mieux encore l'indépendance absolue et la supériorité relative de la conception fondamentale sur laquelle nous faisons reposer tous les développements de l'analyse transcendante.