V. ~ V.' d'où

Jj3i valeur de F, devient ainsi

F, = aP«V.T,log(^);

comme F, = — F,, il est évident que le travail externe gagné sera

Fo-F, = «PoV,(To-ï,)log^^,

et, si nous divisons par Fq, on a

Fo^— JP, ^— Jj — ï.' ~Fo - T. —^ fo*

Mais nous avons

Qo = AFo, Qi=AF,,

doù

Fa "~ Qo Qo'

et par conséquent

Ainsi donc, pour un corps gazeux idéal quelconque, Texislence de notre rapport universel se vérifie très-facilement. Je dis un corps quelconque; les propriétés particulières du corps ont en effet disparu de nos équations : capacité calorifique, densité ou poids à des volumes, pression et température donnés, etc.

Le fait saillant ici, c'est que, dans les conditions du cycle fermé et du rendement maximum, les quantités de chaleur données Qo et reprises Q< sont proportionnelles aux grandeurs de ce que nous avons déjà provisoirement appelé la température absolue. Mais Tune de ces conditions de rendement maximum, c'est que, pendant l'addition Qo comme pendant la restitution Q,, toute la chaleur donnée ou reprise réponde à du travail.

Nous avons, en un mot, Qo = AF© et Qi = AFj. Il vient

donc

F. ""Tp'

c est-à-dire que c'est en réalité le travail produit et restitué qui est proportionnel à la température.

Nous venons de prendre pour exemple un corps gazeux quelconque, mais dans Vor^re idéal : un corps qui n'existe et ne peut pas exister. Il semble que d'un tel corps nous ne puissions rien conclure du tout pour ce qui se passe dans Tordre réel. Prenons cependant parmi les corps réels l'exemple le plus compliqué, celui d'un corps qui change d'état, qui

de liquide devient vapeur (gaz fort imparfait par rapport à notre type), se dilate encore plus, puis revient partiellement à l'état liquide, est comprimé et redevient complètement liquide. Nous verrons que cette complication, agrandie encore par l'application spéciale que je vais faire, ne change absolument rien à la question.

Reprenons terme par terme notre expérience première (décrite p. 21 3) sur l'eau. Supposons toujours que dans notre cylindre vertical il se trouve i kilogramme d'eau à la température To = - -4- /o> et que la charge Po du piston (de

I mètre carré) soit telle, qu'il fasse équilibre à la tension du liquide. Dès que nous fournirons de la chaleur à ce liquide, il bouillira et soulèvera lentement le piston. Lorsque tout sera évaporé, nous aurons fourni une quantité de chaleur Qo qui, au cas particulier, aura pour valeur To ou la chaleur d'évaporation déterminée par les travaux de M. Regnault.

Nous aurons obtenu un travail externe /©; mais ce ne sera pas, et même à beaucoup près, tout le travail produit. L'ébullition a eu lieu à température constante; toute la chaleur Q» a donc été employée le plus utilement possible et à ne donner que du travail. Désignons par h^ le travail interne dû aux résistances moléculaires surmontées. La somme /o -4- ^0 sera le travail total réellement produit, et nous aurons

EQo = 425Qo=/o-f-Ao.

Cessons d'ajouter de la chaleur et diminuons graduellement la charge P jusqu'à P< . Le piston va s'élever lentement, par suite de l'expansion du gaz aqueux ; la température tombera de To à T< = - + /, . Le travail externe du à la détente

sera y] ; mais ce n'est pas non plus à beaucoup près le seul

qui s'opère. J'ai déjà dit que dans ces conditions une partie notable du gaz aqueux se condense en eau qui a sans cesse la température de la vapeur restante; cette vapeur rend donc toute l'énergie qu'elle représentait entre T© et T< ; en même temps les molécules du gaz s'écartent et produisent un travail qui coûte de la chaleur. Désignons par h^ la somme de travail représentée par tous les termes positifs et négatifs de travail interne. La somme /, + A, sera le véritable travail produit par la détente.

Mettons maintenant le bas du cylindre en rapport avec une source defroidy de façon à condenser une quantité m de vapeur sous la pression constante P| . La source de froid va recevoir une quantité de chaleur Q< , qui au cas particulier aura pour valeur

Q, =7nr,,

r, étant la chaleur d'évaporation du liquide répondant à la température T< .

Conune la condensation a lieu sans changement de température, toute la chaleur Q, sera due au travail externe et interne que j'appellerai [J^ -1- ^a). Cessons de soustraire de la chaleur et faisons passer la charge du piston de P, à ?©. Ainsi que je l'ai dit, la température de toute la masse va s'accroître; quand elle sera devenue Tq, toute la vapeur devra être condensée. Une remarque importante est à faire ici. Nous pouvons, comme il nous plaît, évaporer la totalité ou une partie seulement de l'eau, sous la pression P©; nous pouvons ensuite détendre en donnant telle valeur finale qui nous plaît à P| ; mais, une fois P| et T, choisis, les deux opérations suivantes ne dépendent plus de notre volonté. Pour chaque valeur arbitraire que nous adoptons quant à P| , il n'y a qu'une seule valeur de m et par suite qu'une seule

valeur de Q, qui nous permette de n'avoir plus que de l'eau à Tq quand nous comprimons la vapeur mêlée d'eau et quand la pression est redevenue P©. Entre les deux premières opérationS) il existe en un mot une relation, nécessaire au rendement maximum, qui élimine tout arbitraire dans la marche du cycle fermé. Nous allons l'établir très-aisément.

Appelons F^ le travail externe que nous avons gagné par nos quatre opérations. Il vient tout d'abord

Mais nous avons vu ailleurs déjà que, quelles que soient les opérations et les transformations que nous faisons subir à un corps, la somme de travail interne qui se dépense pour les accomplir est toujours et totalement restituée quand le corps revient à son état initial. Nous avons donc aussi

Ao H- A, — Aj — A3 = o.

Mais le travail externe gagné est égal à la différence des chaleurs dépensées et retrouvées, multipliée par E ou ^2^. Nous arrivons ainsi à cinq équations très-simples :

(2) ^0 + Aj ^2 A3 = O.

(3) e:Qo-q.) = f,.

(4) e(Qo-q.)=/.h'A.-/,-A,.

si nous ajoutons l'une à l'autre (i) et (2) et si nous retranchons (5), il vient

Ainsi, absolument comme nous l'avions trouvé pour notre

corps idéal, il faut que le travail total des deux détentes contraires, sans addition ni soustraction de chaleur, soit nul: ces deux opérations ne servent, la première qu'à abaisser la température de la masse de To à T< , la seconde (détente négative ou compression) qu'à ramener la température de T^ à To- Elles ne servent, en un mot, qu!à nous permettre d'user de la différence T© — T, dont nous disposons.

Nous voyons clairement que, étant une fois donnée une dépense Qo et par suite étant accompli un travail total [A "^ ^o)> c'est la grandeur (/, -+- A,) ou l'étendue de la détente sans addition de chaleur qui détermine la grandeur de son égale (/,■+- A,) ou compression sans soustraction de chaleiu* j et c'est la grandeur de celle-ci qui, par contre-coup, détermine la valeur que nous devons donner à /a -h A2 ou à Q, (ou au cas particulier à /w, puisque Q, = mr,).

Il est visible que/2 -H A 2 est une fonction de/, -l- h^ ou de fi -i- h^j et, comme l'abaissement de température est directement proportionnel à / -i- A| , il est tout aussi visible que /j + h.2 est fonction de T. La question est de savoir quelle est l'espèce de ces fonctions. Nous pouvons discuter cette question comme physiciens, au point de vue de la température, ou comme mécaniciens, au point de vue du travail, et cette double discussion va nous conduire au même résultat.

Démonstration de la proposition II au point de vue de la Physique.

Plaçons-nous d'abord au premier point de vue. Si nous considérons le rapport général

^' T. ^ Fo-F, F, T«-T,

f- = t: ^^ -17-"=Fo = — tT"'

pour un corps quelconque de Tordre idéal, nous reconnais-

sons tout d'abord que des termes =^ ou =^ a disparu toute

trace d'une loi quelconque présidant au travail total Fo, F, et au travail externe F^ = (Fo — Fj). Ce travail, sans doute, est le résultat de l'intégration jpdv d'une fonction qui relie d'une manière définie/? et v (pression et volume); mais cette fonction s'est éliminée d'elle-même du résultat final. Nous n'avons donc aucune raison plausible pour admettre que le

rapport r^ change avec la nature du travail; ou, pour mieux

dire, il nous est démontré que ce rapport est absolument indépendant du mode de travail, que F© et Fj consistent tout entiers en travail externe, comme cela a lieu naturellement pour un corps où nous supposons nulles toutes les attractions moléculaires, ou qu'ils constituent de fait la sonune d'un travail externe et d'im travail interne, comme il en arrive pour les corps réels : rien absolument ne nous autorise à dire que l'on n'ait pas

Fo /o-H/i/

Le rapport, en passant de l'ordre idéal :^ à l'ordre réel

• ! .% ne change que />oar /iou5, en ce sens que nous ne connaissons pas directement les valeurs de h ou du travail interne. Pour établir maintenant l'exactitude de l'égalité

F. ""/.-h/i. ïp'

il nous suffirait, à la rigueur, d'en revenir à notre seule définition de la température. Si l'on appelle température T''*' tensitè de la force calorique dans un corps, il en découle

en effet immédiatement que le travail qu'est capable de rendre ce corps en vertu de cette force est nécessairement proportionnel à la température. L'égalité universelle

en un mot, devient, en quelque sorte, une nécessité première. Toutefois, pour me conformer à Tesprit général auquel je m'astreins dans cet Ouvrage, pour ne sortir qu'aussi peu que possible de l'ordre expérimental, je pense bien faire en recourant ici à d'autres considérations, et cela n'est pas difficile. Un des faits les mieux acquis en Physique depuis les travaux de M. Begnault, c'est que le coefficient de dilatation des gaz, des vapeiurs quelles qu'elles soient, quoique plus ou moins variable, converge vers une valeur constante, commune à tous les corps. Que l'on veuille donc considérer de suite T comme une température absolue, comptée à partir d'un zéro commun, ou que Ton se borne à considérer la valeur - = 57^ = 27a®, 85 comme la distance qui sépare

notre zéro ordinaire du point où l'asymptote de la courbe de dilatation de tous les corps gazeux coupe la ligne sur laquelle nous comptons les températures, toujours est-il que cette distance est la même pour tous les corps, et que, par consé-

quent, le rapport ^ est général aussi.

En tenant compte de la diminution qu'éprouve le travail total Fo ou F3 par suite de la production d'un travail interne, et en écrivant par conséquent y© "+- ^0 et/a -+- h^ au lieu de F„ et Fj, en nous rappelant de plus que l'emploi de notre terme T n'implique pas du tout que la pression externe exercée par un corps quelconque varie en effet proportionnellement à la température absolue, mais seulement qu'elle

varierait ainsi si les actions moléculaires , et par conséquent le tras^ail interne étaient nulsy nous voyons que Tégalité

s'applique à n'importe quel corps réel, tout comme Fégalité

F. Ta

s'appliquait seulement à un corps gazeux idéal. L'égalité que nous avons reconnue pour un corps idéal subsiste donc rigoureusement dans l'ordre réel.

Démonstration de la proposition II y au point de vue de la Mécanique.

Au lieu de discuter comme physiciens, plaçons-nous maintenant au point de vue de la Mécanique pure d'abord.

Dans notre cycle fermé, c'est le travail positif et puis négatif de la détente qui détermine exclusivement l'abaissement et puis l'élévation de température Tq — T< , ou la différence dont nous disposons pour obtenir le travail externe F^; si

notre rapport

Yj F^ AT EQ, "^/o-f-Ao ~ T.

est correct et universel, nous devons avoir

JYe /. + /i. ^ A-^h,

A-^fh fm-h^im fm-^hj

[fm-^h^) désignant un certain travail de détente capable d(»

donner la différence totale T© — o = To. C'est donc en réalité l'universalité du rapport

qu'il s'agit de démontrer.

Nos cinq équations

( 2 ) h^-^' hi — Aj — ^3 = 0,

sont correctes en toute hypothèse sur la nature du corps soumis à Faction de la chaleur, sur les transformations qu'il éprouve dans son état, passàt-il de l'état liquide à l'état de vapeur saturée, puis surchauffée, puis partiellement à l'état solide (détente de la vapeur, par exemple, au-dessous de o™,oo4 de pression externe en mercure), puis enfin de nouveau à l'état liquide. Le terme A, qui y représente la valeur du travail interne, est loin d'être nécessairement simple comme / : il représente, en général, une somme de termes positifs ou négatifs. Lorsque, par exemple, la vapeur d'eau saturée se condense partiellement pendant qu'elle détend, il s'y opère deux travaux internes tout à fait contraires : l'un positif, donnant lieu à une consommation de calorique et résultant de l'accroissement de distance des parties ; l'autre négatif, donnant lieu aune production de calorique, et résultant du rapprochement considérable des parties qui se résolvent en liquide. L'emploi d'un terme unique représentant la

somme de tous ces travaux, si variés qu'ils soient, est correct, parce qu'à ces travaux répond toujours réellement ime production ou une disparition de chaleur, et que la quantité effective de cette chaleur peut, à son tour, être traduite en un travail interne équivalent.

Cela posé, il est toujours possible de concevoir un corps idéal, homogène, qui réponde rigoureusement aux formes réelles les plus complexes que peut affecter un corps réel, homogène [gaz] ou hétérogène [eau et vapeur) pendant son passage par le cycle fermé du travail maximum ; et si, dans la suite des équations que nous construisons^ nous n'introduisons aucune hypothèse, aucune loi particulière arbitraire, les résultatsfinaux auxquels elles nous conduisent répondront à la réalité d'une façon aussi fidèle que si nous avions opéré effectivement sur tel ou tel corps particulier.

En partant de ce principe dont, au cas particulier, la légitimité ressortira de plus en plus, nous pouvons représenter nos quatre sommes

(/o + ^o), (/1-+-AO. (/2+^2), [fz^K)

par quatre intégrales

Jedv^ j edvy j edVj j edvj ^9 •/Tj »/tf, «/tf,

dans lesquelles :i^v représente, non pas du tout le volume apparent du corps, mais un certain volume, d'ailleurs inconnu pour le moment, répondant aux distances moyennes des molécules et pouvant, à la rigueur, diminuer quand le volume apparent s'accroît; dP e représente la somme moyenne des résistances externes et internes qui s'opposent aux variations de V et que surmonte la force calorique, quand v s'accroît. Il importe expressément de se rappeler ces définitions. Par

concision 9 et provisoirement, j'appellerai v volume interatomique des corps, et e pression totale. Nous verrons dans un autre Chapitre ces dénominations justifiées et passer du provisoire au définitif. On m'a objecté que ces définitions reposent sur une hypothèse; je ferai remarquer ici déjà qu'on pose , au contraire , une hypothèse en admettant a priori que, quand im corps change de volume apparent, toutes ses parties à la fois croissent ou décroissent ; il n'y aurait d'hypothétique que la valeur particulière qu'on voudrait dès à présent adjuger à v par rapport au volume apparent V. En ce

Fig. 6.

qui concerne la résistance moyenne e, il n'y a rien qui ressemble, même de loin, à une hypothèse, lorsque je la traduis, comme dénomination et comme nombre, en une pression qui s'exerce uniformément en tous sens, comme celle des gaz et des liquides.

Pour plus de clarté encore, rapportons [Jig. 6) nos diverses grandeurs à un système de coordonnées rectangulaires, dans lequel les e sont les coordonnées, et les v les abscisses, de telle sorte qu'on ait

Les courbes ^0^19 ^1^29 ^2^39 ^3^0 répondant chacune aux

lois qui relient e et ^ pendant les quatre périodes du cycle, les quatre intégrales du travail répondront aux surfaces des quatre quadrilatères ♦'o^o^i^m ^i^i^2^2> ^2^2 ^s^a? ^s^s^o^o^ et la somme de ces surfaces prises avec leurs signes convenables sera la surface eoe^ e^e^^ répondant au travail externe gagné.

Pour légitimer cette manière idéale de représenter les phénomènes, il suffira de discuter son application à un cas où, à première vue, elle semble impossible, absurde, au cas d'un liquide qui, dans la première période, passe à l'état de vapeur, au cas de nos machines à vapeur en un mot.

C'est à la période d'admission dans le cylindre que répond ici la première période du cycle fermé. Le corps qui se dilate (et énormément au cas particulier) reste à la même température selon les conditions du maximum de rendement; mais il reste de plus à la même pression externe. Tant que l'eau est à l'état liquide, et dès qu'elle est à l'état de vapeur, il ne s'y opère plus aucun changement de volume (dans la chaudière s'entend ) ; chacune des parties infinitésimales qui composent la masse de vapeur consommée par un coup de piston passe successivement en vapeur, mai^ semble y passer subitement; elles subissent, les unes après les autres, et brusquement en apparence, un changement d'état, phénomène que beaucoup de physiciens encore considèrent comme un saut brusque ne laissant plus la moindre analogie entre les propriétés antérieures et postérieures du corps qui le subit. On ne voit pas le moins du monde, à première vue, comment nous pouvons assimiler ce phénomène à celui de l'expansion à température constante d'un gaz parfait ou même d'un de nos gaz quelconques, employé dans les machines appelées caloriques; on ne voit pas comment, à la pression constante de notre chaudière, nous pouvons sans contre-sens substituer une variable e

représentant une force à intensité décroissante, comme le suppose et le montre explicitement la courbe e^ e^ .

Il va cependant nous être facile de reconnaître que ces différences si grandes entre les deux phénomènes ne reposent que sur des apparences et, j'ajoute, que sur une erreur de Physique qu'on devrait pouvoir considérer comme surannée.

Lorsque nous chauffons graduellement un corps solide quelconque (non chimiquement décomposable par la chaleur) , il commence par se dilater, puis il fond, il passe à l'état liquide : sa température pendant toute la durée de ce phénomène reste en général constante. Le liquide à son tour se dilate et de plus en plus rapidement, à mesure que sa température s'élève; puis arrive un moment où il bout, où il se gazéifie, sans changer désormais de température. Ce moment, comme on sait, dépend, pour chaque corps en particulier, de la pression externe à laquelle le corps est soumis. A mesure que la pression augmente, le point d'ébuUition s'élève ; mais ce phénomène est accompagné de deux autres : le liquide se dilate de plus en plus avant d'atteindre le point d'ébuUition, le volume de l'unité de poids augmente; en même temps la densité de la vapeur produite s'accroît, et en général très-rapidement, le voliune de l'unité de poids de cette vapeur diminue. En d'autres termes, à mesure que la pression externe grandit et que la température d'ébuUition s'élève, les volumes de l'unité de poids du liquide et de l'unité de poids de la vapeur se rapprochent^ et pour une certaine pression ils deviennent égaux. Les expériences de Cagniard-Latour ont mis hors de doute qu'il existe pour chaque liquide une pression telle, que le corps suffisamment chauffé, au lieu de bouillir et de se gazéifier subitement par parties, passe dans toute sa masse à l'état de vapeur. Le saut brusque, en un mot, est aboli. Il n'y a aucune raison plausible pour ad-

mettre que^ dans ces conditions particulières de pression tout au moins, la dilatation du liquide n'a pas lieu suivant une même loi parfaitement régulière, à partir du volume initial (quelconque) jusqu'à Vy volume maximum où le corps est tout aussi bien un gaz qu'un liquide. Si, à partir de cet état de température, de volume et de pression totale, nous diminuons graduellement la pression externe, soit en ajoutant assez de chaleur pour maintenir la température constante, soit en ajoutant ou retranchant ce qu'il faut de chaleur pour maintenir la vapeur à l'état saturé, l'expansion se fera encore suivant des lois parfaitement régulières. Dans le second cas, par exemple, dans celui où la température correspond toujours à l'état de saturation, le volume de la vapeur, en grandissant, passera nécessairement par toutes les valeurs qu'il aurait si le liquide s'évaporait aux pressions externes et aux températures constantes, répondant à ces valeurs.

Qu'y aura-t-il de changé si des conditions particulières où nous avions placé le liquide nous passons au cas infiniment plus général où l'évaporation se fait sous l'une quelconque de ces pressions externes et de ces températures constantes bien inférieures à celles qui répondent au volume maximum! Désignons ce dernier par v^^i désignons par Çq le volume interatomique du corps à l'état liquide et par V© celui qu'il a à l'état de vapeur.

I** En premier lieu, il est visible que le chemin parcouru par les atomes est absolument le même, soit qu'ils franchissent les uns après les autres^ mais d'M/i coup, l'intervalle qui répond à la différence de volume V© — (^o? comme il arrive pendant l'évaporation, soit qu'ils franchissent tous à la fois, mais graduellement, l'intervalle qui répond à la différence {Çj^ — v^^ et puis celui qui répond à ( Vo — v^,

2^ En second lieu, ni la pression externe qui s'exerce sur un

corps, ni la température ou la quantité de chaleur présente dans un corps ne peuvent changer quoi que ce soit à l'intensité des forces (quelconques d'ailleurs) qui tendent à rapprocher ou à éloigner les parties. La pression externe ne fait que s'ajouter à ces forces, la cÊaleur ne fait que les surmonter, lorsque le volume change.

De quelque manière que le corps passe du volume interatomique ç^ au volume interatomique V© qu'il représente à l*état de vapeur, le travail interne est donc nécessairement le même pour chaque molécule considérée isolément. La seule différence qu'il y ait absolument entre l'évaporation ordinaire et celle de l'expérience de Cagniard-Latour, c'est que dans la dernière le même travail a lieu pour toutes les parties à la fois et graduellement, tandis que dans la première il a lieu successivement et subitement pour chaque partie distincte. Une même loi de continuité (quelconque d'ailleurs) régit, en un mot, les corps à l'état solide, à l'état liquide et à l'état gazeux : c'est ce qui ressortira de mieux en mieux de notre exposition; et si un saut brusque semble exister entre ces trois états , il faut simplement en conclure qu'il existe , en général, pour chaque corps, trois distances atomiques pour lesquelles la force calorique fait exactement équilibre à tout l'ensemble des autres forces qui sollicitent les parties à se rapprocher. Je dis en général : le fait n'est pas, il s'en faut, sans exception; il existe un grand nombre de corps qui, avant de se liquéfier, se ramollissent et passent à l'état de fluidité pâteuse. Il est bien probable que, lorsqu'on étudiera de très-près le passage de l'état liquide à l'état gazeux , on trouvera aussi des exceptions de ce genre.

Des considérations précédentes il résulte clairement que nous pouvons, comme je l'ai dit, remplacer, sans aucune erreur possible, un corps réel, dont les parties passent les

unes après les autres et d'un coup de l'état liquide à 1 état gazeux, par un corps idéal, dont le volume initial interatomique est égal à celui du liquide, et qui passe dans toute sa masse à la/ois à un volume interatomique égal à celui de la vapeur du corps réel, en surmontant les mêmes résistances que chaque particule, considérée isolément, du corps réel. Cette représentation, toujours correcte théoriquement, tire de l'examen attentif que nous avons présenté des phénomènes un caractère de réalité physique qui a ici une trèsgrande valeur.

Mais ce que nous venons de dire de la première période du cycle fermé s'applique , à plus forte raison , aux trois autres. Reprenons donc nos quatre équations

Je^ Je,

f^-\-h^= I 'edçy f^-^h:^= f *edv.

Plusieurs remarques très -claires se présentent d'ellesmêmes à l'esprit :

i^ Les deux dernières intégrales, qui répondent nécessairement à un travail négatif, peuvent être prises en sens inverse et s'écrire

/j 4- Ao := / edv^ ^3 -h A, = / edv^ pourvu que nous les affections du signe — . Il vient ainsi

et, comme nous avons séparément aussi

il vient, en divisant membre à membre,

edv — I edv I eau

2l^ L'intensité totale des forces internes et externes qui, à chaque instant, agissent sur les parties sont des fonctions, quelconques d'ailleurs pour le moment, du volume interatomique que représente à chaque instant aussi le corps. Je dis quelconques : ceci ne peut cependant pas être pris dans un sens aussi général qu'il semble d'abord. Si nous raisonnons, en eflFet, comme physiciens, nous voyons que e est toujours assujetti à diminuer quand v s" accroît; nous voyons de plus qu'il s'agit ici d'une fonction qui lie deux rapports et non deux grandeurs prises absoliunent. On a, en un mot,

e^ étant la somme totale des intensités des forces répondant au volume v^.

11 résulte de là

/^^h^=-e^£ Va (?) ^^y /s -+- ^s = - ^o£ V3 (^") ^^•

Je suppose, pour toute la généralité possible, que les quatre fonctions 90, fn ?2? 9s sont différentes entre elles. Nous allons voir bientôt ce qui en est.

3® Posons

(jh'r

d'où

ç„z = ç et dç = s^ndz.

Il en résulte généralement

ç (7) di^ = ^nfo (j) dz ^. f^,9' 1 -^ e.

En remettant à la place de - ses diverses valeurs successives

^5 -f *^% -% et prenant les intégrales entre les limites indiquées, on a

/o -^ K = «<?o^o [?o (SrJ - ?' ij'

f.-^-h,^ he,v, ^\ l^j^ - 9, ij,

/2 -+- ^2 == - C^3^. [?2 (^") - ?'2 ^]' /s -I- A3 -^ - ûf^oi^o [?3 (^) - ?3 ij'

a, 6, c, rf étant quatre coefficients qui dépendent de la nature des fonctions.

Cherchons maintenant les points de communauté de ces quatre systèmes d'équations.

Par la nature et les conditions du cycle fermé, deux des quatre termes ç^^ v^^ v^^ ç^ ou e^^ e^^ e^, e^ sont connus, quand une fois nous avons choisi les valeurs des deux autres. Dès que nous avons adopté les valeurs de Po et f', ou de e^ et e^ par exemple, v^^ ^j? ^2> ^3 ne peuvent plus avoir chacun qu'une seule valeur qui satisfasse aux conditions du phénomène complet ; mais, en ce qui concerne les deux termes dont nous dis^ posons, nous pouvons leur donner toutes les valeurs quî nous conviennent.

Si, pour plus de clarté, nous revenons à notre représentation graphique du cycle fermé [^fig* 6), nous pouvons, sur la courbe de détente sans addition de chaleur e< e^^ arrêter l'opération aussi près ou aussi loin qu'il nous plait de la courbe de détente, avec addition de chaleur eo e^ ; et de même, étant une fois adoptée une détente e^ c^, nous pouvons là commencer aussi loin ou aussi près qu'il nous plaît de l'origine ^0 ; nous pouvons faire que ^, ej ne soit qu'à une distance infiniment petite de ^o^i- La condition formelle partout imposée, c'est que l'on ait (('o^o^j^s) == (^i^«^2<^2)- En d'autres termes plus clairs encore, nous pouvons, entre e^e^ et e^e^ tout comme entre e^e^ et e^ c^, mener une infinité de courbes qui diffèrent les unes des autres par gradation infinitésimale. La courbe e^e^ est donc de même espèce que «o^o quelque étendue que nous donnions à 64 «2 ; et la courbe e^ e^ est de même espèce que eo^,, quelque étendue que nous donnions à e^e^.

Les fonctions y© ^t 92 sont donc semblables; il en est de même de y'^ et 9'^, de ç^ et 93, de y'^ et y'g. Par conséquent, dans nos quatre intégrales définies, on a

et il vient

r )l\ 1 I'' et 3« période;

^ ^ " -^ l 2« et 4« période.

/, -H A3 = -+- be.Vo \?\ (^) - 9\ ij' j

Voyons maintenant si, entre ç^y r,, i^2, (^3, il n'existe pas

aussi une relation forcée qui nous permette de simplifier plus encore.

La condition formelle du cycle fermé, c'est qu'à la fin de la quatrième opération (compression sans soustraction de chaleur) le corps revienne sous tous les rapports à son état primitif. Ainsi que je l'ai déjà dit, nous pouvons prendre arbitrairement ç^o et ^1 ; niais ces volumes interatomiques (ou écartements moléculaires) une fois choisis, il n'y a plus pour ç^y tout comme pour ç^y qu'une seule valeur qui puisse satisfaire à la condition indiquée. Pour plus de généralité, nous avons admis

e = e^fo ( -U i*"* période;

e z= et(pA-\j 2* période;

e = e2(p7 (^ )» 3* période;

e = e^(pi l-]i 4* période.

Nous avons trouvé fa identique à fo et f^^ 9*- Les conditions du cycle fermé nous donnent maintenant, en outre :

(a) e,^e,Oo{j)A

\ ï" et 3* période;

{b) e^ = e,fo{jJ^\

> 2* et 4* période, Divisons (a) par (d) et (6) par (c); il en résulte

Pour que cette égalité subsiste, il faut et il suffit qu'on ait séparément

Supposons, en effet, -^ < ou > A et posons

a étant un coefficient plus petit ou plus grand que i . Il vient, en divisant par v^ et en multipliant par ^t ,

ce qui est absurde pour tout autre cas que a = i , puisque cela suppose que cp^la^^jet cpAa^j conservent le même rap-

port, si Ton fait varier - et - dans un rapport commun. On a donc, comme je l'ai dit,

d'où

De cette égalité il résulte

fi+K- ûf0«J«'8[?0 \^ — ^O I J»

et, par conséquent, en retranchant Tune de l'autre et divisant par la première,

(/• -*- ^t) "~ ^.^ Mais nous avons vu que

il en résulte

Occupons-nous maintenant de Tune ou de l'autre des périodes équivalentes de détente ou de compression sans addition ni soustraction de chaleur. La quatrième, par exemple, a pour expression

Nous pouvons en changer complètement la forme, sans rien altérer au fond.

I® Puisque Ton a

e = e.ç,(^) ou j^ = f,ijy

nous pouvons d'abord remplacer (p\ (- J par une réciproque fj, et il vient

/, H- A3 = — be^ç^ 1^92 (j) — yjij.

2^ Au lieu de comprimer de e^k e^j laissons, au contraire, détendre de e© jusqu'à e = o, et puis de e, jusqu'à e -■= o. En

désignant par X« et X, le travail positif donné par ces deux opérations, il vient

Xo = ie.^'o [9, ^^j — 92 ij' X, = 6c, p, l^fj {~J — ?ïij-

Il est clair luul d'abord qu'on a

OU

En divisant par Xo la diflférence X© — X< , on a

ou^ plus simplement,

X« — X| e,r, — ggaC^

En posant

çp»I

je dis qu'on a toujours et nécessairement a = i .

Remarquons que e^ et e, sont des valeurs finies et déterminées ; on a donc en tout cas

- = o et — = o.

Il résulte de là

il y a donc égalité tout au moins apparente entre le numérateur et le dénominateur. La question est de savoir s'il ne s'agit, en effet, que d'une apparence, et s'il est possible d'aboutir à une indétermination telle que celle des rapports

lorsqu'on y considère zéro et oo à un point de vue tout à fait général.

1** En premier lieu, et si dans la discussion nous restons physiciens, il est clair pour nous qu'on ne saurait avoir y^o — ç?2 1 = o> car il viendrait

be^i^Q =: o et be^i^i = o?

d'où

/j 4- A, ==. — b{eoVo - ^s^s) = o,

résultat absurde, puisqu'il en découlerait qu'un corps peut ne pas donner de travail lorsqu'il se détend en surmontant un effort fini e.

2*^ Mais la nature de nos zéros - et - ne peut être dou-

teuse; nos deux paires de fractions

— et — > - et ~

dérivent, en effet, de deux paires de rapports

et ~i et — »

dans lesquels e a passé par toutes les grandeurs possibles, depuis e = o jusqu'à e = eo et ^ = c, . Les zéros "" et — =^

sont donc ici des limites aussi bien déterminées que l'unité -

et ^- Le zéro est identiquement le même dans ^2 (-) que dans f a (-)» et Ton a, par suite, l'égalité absolue

Il en résulte, comme je l'ai dit, a = i et, par conséquent,

valeur absolument identique à celle que nous avons trouvée ci-dessus pour -^y ou -j.— — r» ou -~^ • En un mot, on a

x, Xo^/o + ^o A^h. -^ /.4-'///

mais nous avons

d'où il résulte

Ainsi, en langage ordinaire :

« Le travail externe gagné à la fin du cycle fermé est au travail total (interne et externe) de la première période conune le travail total (interne et externe), que donne et que recoûte la détente positive et négative des deuxième et quatrième périodes, est au travail total (interne et externe) que rendrait ou que coûterait la détente opérée de la pression totale e^ à une pression nulle. ))

Si nous nous reportons à notre yî^. 6, nous avons, comme

=-xr'

il a été dit,

of'j étant le volume interatomique qui répond à e = o et que nous n'avons nullement à chercher ici ; et Ton a, par conséquent,

Ainsi le travail positif et puis négatif représenté par les surfaces ç^ e^ e^ (?2 et Vq e^^ e^ s^^ ne sert qu'à diminuer la sur&ce ^8^3 ^a^a P^ï* rapport à Vo^o^t^i ^^ à rendre /io55i&fe la différence définitive {y^e^e^v^) — [vzC^e^v^) = e^e^e^e^^ et il y a proportionnalité pure et simple entre fo^o ^t^^i ^^ ^\ ^\ ^a^» et e^e^e^e^^ ^0^0 ^<^i ®* ^0^0 ^x (ou le travail de la détente maximum sans addition de chaleur).

Mais, au point de vue physique des phénomènes, le travail positif/, -h A, , qui se fait exclusivement aux dépens de la Chaleur du corps, ne peut avoir pour résultat exclusif aussi qu'un abaissement proportionnel de température; et de même le travail négatif /» -h A, employé à reproduire intégralement la chaleur consommée par /, -h A, ne peut avoir pour résultat exclusif aussi qu'une élévation proportionnelle de la température.

Il suit de là qu'en toute hypothèse le travail externe gagné à la fin du cycle fermé est proportionnel à la différence des températures déterminée par le travail (/, -f- A,) et (/, +A$), et qu'on a

F* "C* • • HP np , np rrt e • *- e •• ■'■0 ^ \ • ■'■0 ~~ •'' 1 •

La discussion ne peut porter que sur la validité du terme X, qui suppose nécessairement fini le travail total que peut

donner un corps qui se détendrait sans addition ni soustraction de chaleur de ^^, à e = o, c'est-à-dire depuis une somme de résistance finie jusqu'à un degré où toute résistance externe et interne est devenue nulle. Ce qui est évident déjà par soiméuie, c'est que e ne peut devenir réellement nul que pour une température nulle aussi. Il s'ensuit que, si X^ est une grandeur finie, ce travail répondra à une différence de température finie : il répondra à T© = T^ — o, température qui ne sera autre chose que la distance de t au zéro absolu ; et réciproquement, si / -H a? = T^ est une température finie, X© aura une valeur finie aussi*

§IV

Conclusion.

En partant de deux points de vue, l'un exclusivement physique, l'autre purement mécanique, et en raisonnant sur un corps idéal homogène, nous sommes arrivés à un seul et même résultat. Mais, en substituant un corps idéal à un corps réel, nous avons fait abstraction de toute propriété particulière qui aurait pu particulariser aussi les résultats, et nous avons vu finalement disparaître des équations jusqu'aux dernières traces de ce qu'on aurait pu regarder comme des lois conçues a priori : nous pouvons donc considérer le résultat obtenu comme vrai généralement, comme universel.

Les rapports, au fond tous équivalents.