CHAPITRE XI

Dvtjktx et reflux delà Ma:

JMewtoh a doBD^ le premier , la Traie théorie da flox et du reflox de la mer, en la rattachant A «on grand principe de la pesantenr nniverselle. Kepler arait bien reconnu la tendance des eaux de la mer vers les centres du soleil et de la Inné ; maïs ignorant la loi de cette tendance , et les méthodes nécessaires pour la soumettre an calcul, il n'a pu donner sur cet objet, qu'un aperçu fort vraisemblable. Galilée dans ses dialogues sur le Système dn Monde , exprime son étonnement et ses regrets de ce que cet aperçu qui Ini semblait ramener dans la philosophie natnrielle , les qualités occultes des anciens , e&t été présenté par an homme tel que Kepler. Il expliqua le flux et le reflux , par les changemeos dinrues que la rotation de la terre , combinée avec sa révolution autour dn soleil, produit dans le mouvement absolu de chaque molécule de la mer. Son explication lui parut lellemeqt incontestable, qn'il la donna comme l'une des preuves principales dn système de Copernic , dont la défense loi suscita tant de persécutions. Les découvertes ultérieures ont confirmé l'aperçu de Kepler, et détruit l'explication de Galilée, qui répngne aux lois de l'équilibre et du mouvement des fluides.

La théorie de Newton parut en 1687 , dans son ouvrée des Principes mathématiques de la Philosophie naturelle. II y considère la mer comme nn fluide de

DC STSTÈUE SU MONDE. 36i

ralme denetté qae la tare qti'il recoane totalement , et qui prend à tiluqtte iutant, la figure od il aérait ea ^qnîlilnre k>iu l'tction da «oleil. En mppoMnt eiuaite que cette fi^ore eat celle d'na ellipsoïde de r^volatioD « dont le gnnd axe eat dirigé Ten k aoleil ; il détermioe te rapport dea deux axea, par le même -procédé qui lui avait donné le rapport dea azea de la terre aplatie par la force cehtrifdge de aon moavement de rotaition. Le graDd axe de l'dlipaoïde aqnenx étant dirigé constamment Ten le soleil, la ploa grande hauteur de la mit dans chaque port, quand le aoleU est A réquateur , doit airiver 1 midi et A minuit : le {dm graikd abaiasenleat doit avoir lieu au lever et an concher de cet astre.

Déreloppma la manière dont le soleil agit aor la mer pour troabler son équilibre. Il est riaîble que u le soleil animaU de forces ^ales et parallèles, le centre de gra. vite de la terre et tontea les molécules de la Aier; le syitfeme entier du sphéroïde terrestre et des eaux qoi le reeoanent , obéirait k. ces forces , d'un mouvement commun , et l'équilibré des eaux ne serait point tronUé; cet équilibre n'est donc ahéré qae par la difiëreoce de ces forces , et par IHnégidité de Jenrs directions. Une molécnle de la mer , placée aà-dessons du aoleil , ea est plus attirée que le centre de la terre : tUt tend ainsi i se séparer de sa anrlace ; mais elle j est retenbe par sa pesanteur que cette tendance diminue. Un dedai-jodr apris , cette molécnle Se trouve en opposition avec le soleil qui Nttire alors plus faiblement que le centre de la terre ; la surface du gldw temistre tend donc à s'en sépara; mais la pesanteur de la mcdécide l'y retient attachée; cette force est done encore dîmûmée par l'attraction soIaÎTe , et U est facile de s'assurer que la distance da soleil à la terre, étant fort grande rela-

36a EXPOSmON

tiremeat aq nyon da globe tenreatre, la dîmmntioii de lapesanteuT dana ces deux cas, est i très peu pris I& mime. Une simple dëcomposition de l'action du soleil mr les molécules de la mer , soffitipoor &ire voir que dans tonte autre position de cet astre par rapport k ces molécules, son action pour tronbler leur équilibre, redevient la même après un demi-jour.

lia loi soÎTUit laquelle la mer s'âève et s'abaisse, peat se déterminer ainsi. Concerons un cercle rertical dont la circonfërence représente un demi -jour, et dont le diamètre soit ëgal à la marée totale , c'est-i-dire , à la différence- des bauteurs de la pleine et de la basse mer ; supposons que les arcs de cette circonférence , à partir du point le plus bas, eiptimeut les temps écoulés depuis la basse mer ; les sinus Terses de ces arcs seront les hanteoTS de la mer , qui correspondent à ces temps : ainsi la mer en s'élevant, baigne en temps égal , des arcs égaux de cette circonférence.

Plus une mer est vaste,- pins les phénomènes des marées doivent être sensibles. Dans une masse fluide , les impressions que reçoit chaque molécule , se communiquent i la masse entière : c'est par là que l'action da soleil , qui est insensible sur nue molécnle isolée ; produit sur l'océan, des effets remarquables. Imaginons un canal courbé sur le fond de la mer, et termibé i l'nne.de ses extrémités , par un tube vertical qui s'élève au-dessus de sa surface , et dont le prolongement passe par le centre du soleil. L'eau -s'élèvera dans c« tobe, par l'actioa directe de l'aatre qui diminue la pesanteur de ses molécules , et surtout par la pression des molé> cnles renfermées dans le canal , et qui tontes font un effort pour se réunir au-dessous du soleil. L'élévation de l'eau dans le tube , au-dessus du niveau naturel de la

mer, est l'int^ale de ces eSorts infiniment petits : si la loDgneUT du canal augmente, cette int^^ale sera plus grande , parce qn'eUe attendra but un plus' long espace , et parce qu'il j aura plus de différence dans la ' direction et dans la quantité des forces dont les molecales extrêmes seront animées. Od voit par cet exemple , l'influence de l'étendue des mers sur les phénomènes des marées , et la' raison pour laquelle le flux et te reflux sont insensibles dans les petites mers , telles que la mer Noire et la mer Caspienne.

La grandeur des marées dépend beaucoup des circonstances locales : les ondulations de la mer, resserrées dans un détroit, peuvent devenir fort grandes ; la réflexion des. eaux par les côtes opposées', peut les augmenter encore. C'est ainsi que les marées généralement fort petites dans les ilea de la mer du Sud, sont tris considérables dans nos ports.

Si l'océan recouvrait un sphéroïde de révolution , et s'il n'éprouvait dans ses monvemens , aucune résistance ; llnstant de la pleine mer serait celui du passage du soleil au méridien supérieur ou inférieur; mais il n'en est pas ainsi dans la nature, et les circonstances locales font varier considérablement l'heure des marées , dans des ports même fort voisins. Four avoir nne juste idée de ces variétés, imaginons un large canal' communiquant avec la mer, et s'avançSnt fort loin dans les terres : il est visible que les ondulations qui ont lieu à son embouchure , se propageront successivement dans tonte sa longueur , en sorte que la figure de sa sur&ce sera formée d'une suite de grandes ondes en mouvement, qui se renouvelleront sans cesse, et qui parcourront leur longueur, dans l'intevalle d'un ' demi-jour. Ces ondes produiront à chaque point dii canal, un flux

364 EXPOsmoir

et ttn reflux tpA loivront les loi» préc^deatei; maû lea faeurec du flax retarderont, à taeaare que lea poioU •eront plna ^l<Hgaëa de remboiiohare. C« tjiia notu disoiud'oD canal, pent «'appliquer anx fl«a,Te8 dontU surface a^ëlève et a'abaiase par dea oadea aemblables, malgré le nuNiTement contraire de lenra eaux. On obaerTe ces ondes , dana toutes lea rivi^s près de leur embouchure : elles se propagent fort loin dans les grands fleures; et an détroit de Pauxia dans la rivière des Amazones, k quatre-ringte myriamètres de la mer, elles sont encore sensibles.

L'action de la lune sur la mer j produit nn ell^ soïde semblable à celai que produit l'action du soleil ; nuis il est plus alongë , parce que l'action lunaire «st fku puissante' Le peu d'excentricité de ces ellipsoïdes permet de les concevoir superposés l'un  l'autre, «n sorte que le rayon de la surface de U mer soit la demisomme des nyoBs correspondans de leurs surfaces. ' De U naissent les principales variétés du flux et dn reflux de la mer. Dans les syxygiea , les deux grands oses coïncident, et la phu grande hauteur de la mer arrive aux inatans de midi et de minuit : le plus grand abaissement a lieu au lever et an concher des astres. Dans les quadratures, le grand axe de l'ellipsoïde lunaire et le petit axe de l'ellipsoïde solaire coïncident; la ^etne mer a donc Uea ou lever et eu concher des astres , et elle est le mùaùniuli des pleines mers : It basse mer ais rive aux instans de midi et de mîauîl : elle est le nuùÛRumdes basses mers. En exprimant donc l'action de chaque artre , par la différence dea deux demi-axes de son ellipsoïde, qui lui est évidemment proportionnelle; on voit que si le port est skué k l'éqoatenr, l'excès de la pins hànte' mer syzygie sur la pins

Do,:,7M,yGOOglC

DU STâTËME DU MONDE. 365

baaie mer tysy^ , exjvimeni U somme âet actions Inoaires et soUires , et l'ezcia de la pliu lisate mer qoadnitore sur la plus basse me» qaadratare , exprimera la dîffércDce de ces aotions. Si le port n'est pas à l'^gria^ teur , il &at multiplier ces escis , par le carre do cosînos de sa latitude. On peut donc par l'ohaarTation des hantenrs des mar^ s^ygiea et quadratures , déterminer le rapport de l'action de la Inné A celle da soleil. Newton conclut de quelques observations faites i listel , qne ce rapport est celui de quatre et demi A l'unité. Les distances des astres au centre de la teire infiaent eur tous ces effets ; l'action de chaque astre étant réciproque an cube de sa 'distance.

Quant A lIoterTalle des pleiaes mers dSin jour A l'aufare , Newton obserre qu'il est le pins petit dans les tyrjgie» } qu'il croit en allant d'une sjzygie A la qoadra tnre snirante; que dans le premier octant, il est égal A un jonr lunaire , et qu'il est A son maximum dans la quadrature; qu'ensuite il diminue, ^'A l'octant sui- Tant il redeTÎent égal aa jour lunaire , et qu'enfin dans la Vfsygie , -il reprend son minùmwt. Sa valeur mojrenne est un jon» lunaire , en sorte qu'il y a autant de pleines mers , que de passages de la lune an méridien supérieur «t infijrienr.

Tels seraieitt suivant la tbéorie de Newton, les phénomènes des marées, si le soleil et la lune se mouvaient dans le plan de l'équateur. Mkîs l'dbservatîon a fait connaître qne les pins hautes mers n'arrivent 'point an moment m^e <le la sjzygie , mais un jour et demi après. Newton attribue ce retard an Bïouvement d'osciUation de la mer, qui se conserverait encore qudqne temp, si l'action des astres venait A cesso-. La théorie exacte des ondulations de la mer- produites par cette

Action , fiût voir que «aos les circonaUnces acçssteim, les pitu hautes pleines mers coïncidwbient avec U ayzygie, et 4jae les pleîoes mers les plus lusses coïncideraient avec 1a quadrature. Ainsi leur retard sur les iiutans de ces phases, ne peut être attribue i la cause que Newton Ini assigne : il dépend ainsi que l'heure de la pleine mer dans chaque port, des circonstances accessoires. Cet exemple nous monire combien on doit se défier des aperçus même les plnsTraisemhUbles, quand ils se sont point vérifiés par une rigoureuse analyse.

Cependant la considération de deux ellipsoïdes superposés l'un à l'autre , peut encore rejffésenter les marées, pourvu que l'on dirige le grand axe de l'ellipsoïde , solaire vers on . soleil fictif toujours également éloigné du vrai soleil. Le grand axe de l'ellipsoïde lunaire doit être pareillement dirigé vers une lune fictive toujours également éloignée de la véritable, mais à une distance telle que la conjonction des deux astres fictifs, n'arrive qu'un jour et demi a|a^ la syzjgie.

Cette considération de deux ellipsoïdes, étendue au -cas où les astres se meuvent dans des orbes inclinés i l'équateor, ne peut se concilier avec les observations. Si le port est situé i l'équateur, elle donne vers le maximum des marées , les deux pleines mers dn matin et du soir , & très peu près égales , quelle que soit la déclinaison des astres, seulement l'action de chaque astre est diminuée dans le rapport du carré du cosinus de:M déclinaison à l'unité. Mais si le porta une latitilde, ces .deux pleines mers pourraient être ibrt difi'érentes, et quand la déclinaison des astres est égale à l'obliquité de l'écliptique , la marée dn soir à Brest serait environ huit fois plus grande que celle du matin. Cependant les observations très multipliées dans ce port font voir

qu'alws , ces deux marées j sont presque égales , et que leur plus grande différence a'esl pas un trentième de leur somme. Newton attribue la petitesse - de celte diffâreoce , & la même cause par laquelle il avait expliqué le retard de la plus haute mer, sur l'instant de la syzy gie, savoir an monrement d'oscillation de U mer, qui, sniraut lui , reportant nue grande partie de la marée du 4oiF SUT la haute mer soirante du matin , rend ces deux marées presque égales. Hais la théorie des, ondulations de la mer, fait, voir encore que cette explication n'est pas exacte, et que sans les circonstances accesp<»res, les deux marées consécntives ne seraient égales , que dans le cas oà la mer aurait partout la m£me profondeur.

< Eli 1733 > l'Académie desScîeàces proposa la cause dn flux et du reflux de la mer, pour le sujet du. prix de mathématiques qu'elle décerna en 1740. Quatre pièces. Allant couronnées : les trois premières , fondées sur le principe de la pesanteur universelle , étaient de Daniel Bemouilli , d'Euler et de Maclanrin. %ie jésuite Cavatleri , auteur de la quatrième , avait adopté le système.des tourbillons. Ce fut le dernier honneur rendu i ce système , par l'Académie qui se remplissait alors de jeunes géomètres dont les heureux travaux devaient contribuer si puissamment an progrès de la mécanique céleste. .

. Les trois pièces qui ont pour base la loi de la pesan* teur universelle , sont des dévetoppemens de la théorie de Newton. Elles s'appuient non-seulement sur cette loi , mais encore sur l'hypothèse adoptée par ce grand Géomitre, savoir que la mer prend à chaque instant, la figure où elle serait en équilibre sous l'astre qui l'attire.

La pièce de Bcrnonlli e«t celle <px centieia le* d^reloppemens les plaa étendu. Bernonlli attribae comme Newton, le retard des mascàaa et mùiima des marées, 8ur les inataiu des ^ygies et dei quodratares, i l'inertie des eaux delà mep, etpeot>étre, sjoote-t-il, nne partie de ce retard dépend da temps qoe l'action de la lune emploie à parTenir A la terre. Mail j'ai reconna qne l'attraction nnÏTcrselle se transmet entre les corpa cékstea avec nne TÎtesse , qui , ai die n'est pas infinie , surpasse plusieurs millioas de fois la vitesse de la Inmi^ ; ti l'on sait qne la Inmière de la Inné parvient en moins de deux secondes 1 la terre.

D'Alembeit, dans son traité sur la cause générale des vents, qui remporta en i746< 1« prix proposé sqr cet objet par l'Académie des Sciences de Pmsse , cenadéra les oscillations de l'atmoiplière , produUes par les attractions du soleil et de la lune. Eu supposant la terre privée de son mouvement de rotation, dont U jugeait la considération inutile dansées reclien:Iies, et supposant l'attdbsphire partout également dense et soumise i l'attraction d^n astre en repos , il détermina les oscîl< lations de ce fluide. Mais lorsqu'il voulut traiter le cas oii l'astre est en mouvement , la difficulté du prd>lème le força de recourir, pour le simplifier, à des l>7pothèses précaires dont les résultats ne peuvent pas m^ne être considérés comme des approximations. Ses tormules donnent un veut constant d'orient en occident , mais dont l'expression dépend de l'état initial de l'atmosphàre ; or les quantités dépendantes de cet état ont d& disparaître depuis long-temps , par toutes les causes qui rétabliraient l'équilibre de l'atmosphère, si Taction des astres venait & cesser; on nt^ peut donc pas expliquer ainsi les vents alises. Le traité de d'Âlembert est

renuurqnable par les sohitiotu de quelques problèmes sur le calcul intégral aux différences partielles , solutions dont il fit , un an après , l'application la plos heureuse an moUTement des cordes vibrantes.

Le mouvement de^uides qui reconrrent les planètes était donc un sujet presque entièrement nenf , lorsque j'entrepris en 177a de le traiter. Aid^ par les découvertes que l'on venait de faire sur le calcul ans dilFérenues partielles et sur la théorie du mouvement des fluides, découvertes auxquelles D'Âlembert eut beaucoup de part , je publiai dans les Mémoires de l'Académie des Sciences pour l'&nnée 1775, les équations différentielles du mouvement des fluides qui recouvrant la terre, sont attirés par le soleil et la lune. J'appliquai d'abord ces équations au problème que D'Alembert avait tenté inutilement de résoudre , celui des oscillations d'un fluide qui recouvrirait la terre supposée sphériqne et sans rotation , en considérant l'astre attirant, en mouvement autour de cette planète. Je donnai ta solution générale de ce problème , qnelle que soit la densité du fluide et son état initial , en supposant même que chaque molécule fluide éprouve une résistance proportionnelle i sa vitesse ; ce qui me fît voir que les conditions primitives du mouvement sont anéanties i la longue par le frottement et par la petite viscosité du fluide. Mais l'inspection des équations différentielles me fit bientôt reconnaître la nécessité d'avoir égard au mouvement de rotation de la terre. Je considérai donc ce mouvement, et je m'attachai spécialement à déterminer les oscillations du fluide , indépendantes de son état initial, et les seules qui soient permanentes. Ces oscillations sont de trois espèces. Celles de la première es|>èce sont indépendantes du 'h

i-jo ' EXPOSITION

mouvement de rotation de la terre , et leur dâermination offre pea de difficultés. Les oscillations dépendante* de la rotation de la terre, et dont la période est ' d'environ an jonr, forment la seconde espèce; enfin la troisième espèce est composée des oscillations dont la période est à peu près d'un demi-jour. Elles surpassent considérablement les antres, dans nos ports. Je déterminai ces diverses oscillations , exactement dans les cas oà cela se pent, et par des approximations très conve^entes , dans les autres cas. L'excès de deux pleines mers consécatives l'âne sur Vautre , dans les solstices , dépend des oscillattoiu de la seconde espèce. Cet excès très pen sensible à Brest , y serait fort grand , suivant la théorie de Newton. Ce grand Géomètre et ses successeurs attribuaient, comme je l'ai dit, cette différence entre leurs formules et les observations, i l'inertie des eaux de la mer. Mais l'analyse me fit voir qu'elle dépend de la loi de profondeur de la mer. Je cherchai donc la loi rpii rendrait nul cet excès , et je trouvai que la profondeur de la mer devait être ponr cela constante. En supposant eosnite U figure de la terre , elliptique , ce qui donne pareillement à la mer , une figure elliptique d'équilibre , je donnai l'expression générale des inégalités de U seconde espèce; et j'en conclus cette proposition remarquable, savoir qne les mouvemens de t'axe terrestre sont les mimes que si la mer formait une masse solide avec la terre ; ce qui était contraire i l'opinion des géomètres, et spécialement de D'Alembert qui , dans son important ouvrage sur la précession des équinoxes , avait avancé que la fluidité de la mer luï dtait tonte influence sur ce phénomène. Mon analyse me fit encore reconnaître la condition gAiérale de la stabilité de l'équilibre de la mer. Les

géomètres, eo consiâërant l'équilibre d'un fluide placé sur no sphéroïde elliptique, avaient remarqué qu'en aplatissant an peu sa figure , il ne tendait k reveiiir à son premier ^tat, que dans le cas oà le rapport de sa densité i ceUe du sphéroïde, serait au-dessous de -f ; et ils avaient feit de cette condition, celle de la stabilité de l'équilibre du fluide. Mais il ne suffit pas dans cette recherche , de considérer un état de repos ^a fluide , très voisin de l'état d'équilibre : il faut supposer à ce fluide un moiiTement initial quelconque très petit, et déterminer la condition nécessaire pour que le monrement reste toujours contenu dans d'étroites limites. En envisageant le problème, sous ce point de vue général, je trouvai que si la dfosité moyenne de la terre surpasse celle de la mer, ce flnide dérangé par des causes quelconques , de son état d'équilibre , ne s'en écartera jamais que de quantités très petites ', mais que les écarts pourraient être fort grands , si cette condition n'était pas remplie. Enfin, je déterminai les oscillations de l'atmosphère sur l'Océan qu'il recouvre ; et je trouvai que les attractions du soleil et de la Inné ne peuvent produire le mouvement constant d'orient en occident, que l'on observe sous le nom de vents aiisés. Les oscillations de l'atmosphère produisent dans la hauteur du baromètre, de petites oscillations dont l'étendue à l'équateur est d'un demi-millimètre , et qui méritent l'attention des observateurs.

Les recherches précédentes , quoique fort générales , sont encore loin de représenter les observations des nuirées , dans nos ports. Elles supposent la surface du sphéroïde terrestre , régulière et recouverte entièrement par la mer ; et l'on sent que les grandes irrégularités de cette surface doivent modifier considérablement

le moavement des eaux dont elle n'est qu'en partie recouverte. L'expérience montre en effet , que les circonstances accessoires produisent des varî^téa considérables dans les hauteurs et dans les heures des marées des ports même très rapprochés: Il est impossible de soumettre au calcul ces variétés , parce que les circonstances dont elles dépendent , ne sont pas connues ; et quand même elles le seraient , l'extrême difficulté da problème empêcherait de le résoudre. Cependant an milieu des modiâcatious nombreuses du mouvement de la mer , dues aux circonstances , ce mouvement conserve avec les forces qui le produisent , des rap< ports propres à indiquer la nature de ses forces , et i vérifier la loi des attractions du soleil et de la lune sur la mer. La recherche de ces rapports des causes à leurs effets , n'est pas moins utile dans la philosophie naturelle , que la solution directe des problèmes, soit pour vérifier l'existence de ces causes , soit pour déterminer les lois de leurs effets : on peut en faire souvent us«ge; et elle est , ainsi que le calcul des probabilités , un heureux supplément à l'ignorance et & la faiblesse de l'esprit humain. Dans la question présente , je suis parti du principe suivant , qui peut £tre utile dans d'autres occasions.

* L'état d'un système de corps dans lequel les coo' > ditions primitives du mouvement ont disparu par les " résistances que ce mouvement éprouve , est pério- B dique comme les forces qui animent ce système. - De lA i'ai conclu que si la mer est sollicitée par une force périodique exprimée par le cosinus d'un angle qui croU proportionnellement au temps ; il en résulte un flux partiel exprimé par le cosinus d'nn angle croissant de la même manière , maïs dont la constante ren>

fenaée sons le signe cosinus, et le coefficient de ce cosinas, peuvent être en vertn des circonstances accessoires , très diffôrens des mêmes constantes dans l'expression de la force , et ne sont d^rmiaés qae par l'observation. L'expression des actions du soleil et de la lune sur la mer , peut être développée dans une série convergente de pareils cosinus. De U naissent autant dé flnx partiels qni, par le principe de la coexistence des petites oscillations , s'ajoutent ensemble pour former le flux total qae l'on observe dans un port. C'est sons ce point de vue , que j'ai envisagé les mai'ées dans le quatrième livre de la Mécanique céleste. Four lier entre elles les diverses constantes des flux partîek , j'ai considéré chaque flux comme produit par l'action d'un astre qni se meut uniformément dans le plan de l'équateur : les flux dont la période est d'environ un demijour , sont dus à l'action d'astres dont le mouvement propre est fort lent par rapport au mouvement de rotation de la terre ; et comme l'angle du cosinus qui exprime l'action d'un de ces astres est un multiple de la rotation de la terre , plus ou moins un multiple da mouvement propre de l'astre , et que d'ailleurs les constantes des cosinus qui expriment les flux des deux astres , auraient les mêmes rapports aux constantes des cosinus qui expriment leurs actions, si lesmouvemens propres étaient égaux ; j'ai supposé que les rapports varient d'un astre à l'autre proportionnellement à la différence des mouvemeju propret. L'erreur de cette faypotibèse, s'il y en a une , n'a point d'influence sensible sur les principaux résultats de mes calculs.

Les plus grandes variations de la hauteur des marées dans nos ports , sont dues à l'action du soleil et de la lune , supposés mus uniformément dans leurs orbites

et toujours à U mâme distauce de la terre. Haia pour avoir la loi de ces Tariations , ilfaatcombioerles observations de manière qae toutes les autres Tariations disparaissent de leur résultat. C'est ce <{ne l'ou obtient en considérant les hauteurs des pleines mers.au-desBus des basses mersToifiines, dans lessyzygies ou les quadratures prises en nombre égal vers chaque éqninoxe et vers chaque solstice. Par ce moyen, les flux indépendans de la rotation de la terre , et ceux dont la période est d'environ un jonr disparaissent , ainsi que les flux produits par la variation de la distance du soleil à la terre. En considérant trois syzygtes ou trois quadratures consécutives , et en doublant l'intermédiaire, on fait disparaître les flux que produit ta variation de la distance de la lune; parce que si cet astre est périgée dans l'une des phases , il est à peu près apogée dans l'autre phase semblable , et la compensation est d'antantplus exacte, que l'on emploie un plus grand nombre d'observations. Par ce procédé, l'influence des venb isor le résultat des observations devient presque nulle ; car si le vent âève la hauteur d'une pleine mer , il élève i peu près autant la basse mer voisine, et son effet disparaît dans la difi'érence des deux hauteurs. C'est ainsi qu'en combinant les observations de manière que leur ensemble ne présente qu'un seul élément , on parvient à déterminer successivement tous les élémensdes phénomènes. L'aualyse des probabilités fournit pour obtenir ces élémens , une méthode plus sûre encore et que l'on peut désigner par le nom de méthode la plus ai^ntageuse. Elle consiste à former entre les élémens , autant d'équation de condition , qu'il y a d'observations. On réduit par les règles de cette méthode , le nombre de ces équations , à celui des élémens que l'on détermine en résolvant

1«B ^qnatioiu ainsi rédnites. C'est par ce procède , que M. Bouvard a construit ses excellentes Tables de Jupiter , de Saturne et d'Uranus. Mais les observations des marges , ^nt loin d'atteindre la précision des observations astronontiquea ; le très grand nombre de celles qu'il faut employer pour qtte leurs erreurs se compensent, ne permet pas de leur appliquer la méthotte la plus avantageuse.

Sur l'invitation de l'Acadéioïe des Sciences , on fit au commencement du dwnier siècle , dans le port de Brest, des observations des marées pendant six annéeE consëcntives. C'est à ces observations publiées par Lalande , cpe j'ai comparé dans le livre «ité , mes formules. La situation de ce port est très favorable à ce genre d'observations. U communic[ue avec la mer par un vaste canal au fond duquel on l'a construit. Les irrégularités dn mouvement de la mer parviennent ainsi dans le port , très affaiblies , à peu près comme les oscillations que le mouvement irrégulier d'an vaisseau produit dans le baromètre, août atténuées par un étranglement lait an tube de cet instrument. D'ailleurs, les marées étant considérâmes i Brest, les variations accidentelles n'en sont qu'une faible partie. Aussi l'on remarque dans les observations de ces marées, pour peu qu'on les multiplie, une grande régularité que n'altère point U petite rivière qui vient se perdre dans la rade immense de ce port. Frappé de cette régularité , je proposai au gouvernement d'ordonner que l'on fit k Brest une nouvelle suite d'observations des marées, et qu'elle fàt continuée an moins pendant une période du mouvement des nœuds de l'orbite luuaire. C'est ce que l'on a entrepria. Ces nouvelles observations datent du premier juin de l'année 1806, et depuis cette époque, elles ont

^t^ continuées chaque jour, sans interruption. Ou acon- ■Idëré celles de l'année 1807, et des quinze années suivantes. Je dois au zèle infatigable de M. Bouvard pour tout ce qui intéresse l'Astronomie , les calculs immenses que la comparauon de mon analyse avec les obaervatious a exigés. H y a employé près de six mille observations. Pour avoir les hauteurs des pleines mers , et leur variation qui près du maximum et du minùman est proportionnelle an carré du temps; on a considéré vers chaque équinoxe et vers chaque solstice , trois syzygies consécutives entre lesquelles l'équînoxe on le solstice étaient compris, on a doublé les résultats de la syzygie intermédiaire, pour détruire les effets de la parallaxe lunaire. On a pris dans chaque syzygie, ta hauteur del a pleine mer du soir , au-dessus de la basse mer du matin, du jour qui précède la syxygîe, du jour même de la syzygie et des quatre jours qni la suivent ; parce que le maximum des marées tombe i peu près au milieu de cet intervalle. Les observations de ces hauteurs, fiiites pendant le jour, en deviennent plus sûres et plus exactes. On a fait pour chacune des s^ze années , une somme des hauteurs des joars corretpondans dans les syzygies équiuoxiales, et une pareille somme relativement aux syzygies solsticiales; et l'on en a conclu les maxùna des hauteurs des pleines mers, près des syzygies soit éqninoxiales , soit solsticiales , et les variations de ces hauteurs près de leurs maxima. L'inspection de ces hauteurs et de leurs variations montre la régularité de ce genre d'observations dans le port de Brest.

Dans les quadratures, on a suivi un procédé semblable , avec la seule différence que l'on a pris l'excès de la haute mer du matin sur la basse mer du soir du jour de la quadrature et des trois jours qui la suivent L'ac-

DU SYSltME DU MONDE. 577

croissement des marées quadratures , ik partir d« leur minimum , étant beaucoup plus rapide , que la dimiuiitîon des marées syzjgies , & partir de leur maximum ; on *> a dâ restreindre & no plus petit înterTalle, la loi de variatioD proportionnelle an carré du temps.

Toutes ces bailleurs montrent avec évidence, Vînflaence des déclinaisons du soleil et de la lane, nonseulement sur les hauteurs absoloes des marées, mais encore snr leurs variations. Plusieurs savans et spécialement Lalande avaient révoqué en donte, cette influence; parce qn'an lien de considérer un grand ensemble d'observations , ils s'étaient attachés à quelques {dMervations isolées où la mer , par l'efiet de causes accidentelles , s'était élevée i. une grande hauteur vers les solstices. Mais l'application la plus simple du calcul des probabilités, aux résultats de M. Bouvard, suffit pour voir que la probabilité de l'inânence de la déclinaison des astres , est immense et bien supérieure à celle d'un grand nombre de faits sur lesquels on ne se permet aucun doute. ^

On a conclu des variations des marées près de leurs maxima et de leurs nùmma , l'intervalle dont ces maxima et ces mnima suivent les sjzygîes et les quadratures, et l'on a trouvé cet intervalle , d'un jour et demi A fort peu près; ce qui est parfaitement d'accord avec ce que les observations anciennes m'ont donné dans le quatrième livre de la Mécanique céleste. Le même accord a lieu relativement aux grandeurs de ces maxima et de ces mînima, et par rapport aux variations des hauteurs des marées à partir de ces pointa ; en sorte que la nature , après un siècle , s'est retrouvée conforme à elle-même. L'intervalle dont je viens de parler, dépend des cou* stantes renfermées sous les signes cosinus dans les

' expressions des deux Sux priocipaux àus aux actions da soleil et de U laae. Les constaates correapoadantes de l'expressioa des forces sont différemment modifiées psT les circoosUnces accessoires : an moment de la sjzjgie , ie flux lunaire précède le flux solaire , et ce n'est qn'un jour et demi après, que, le flux lunaire retardant chèque jour sur le flux solaire , ces deux flux coïncideiU et produisent ainsi le maximum des marées. On se formera une idée juste du retard des plus hantes marées sur l'instant de la sjzygie , si l'on conçoit dans le plan d'un méridien , un canal à l'embouchure dnquel la plus haute marée arrive au moment de la syxygie , et emploie un jour et demi à parvenir au port situé à l'extrémité de ce canal. Une modificatioo semblable a lieu dans les constantes qui multiplient les cosinus , et il en résulte un accroissement dans l'action des astres sur la mer. J'ai donné dans le quatrième livre de la Mécanique céleste, le moyen de reconnaître cet accroîssemet^ que j'avais trouvé d'nu dixième par les observations anciennes; mais quoique les observations des, marées quadratures s'accordassent sur ce point avec les observations des marées syzygies ; j'avais dit qu'un élément aussi délicat exigeait un bîeu plus grand nombre d'observations. Les calculs de M. Bouvard ont confirmé l'existence de cet accroissement , et l'ont porté i un quart à fort peu près, pour la lune. La détermination de ce rapport est nécessaire pour conclure des observations des marées, les rapports véritables des actions du soleil et de la lune dont dépendent les pbénomènes de la précession des e'quinoxes et de la nutation de t'axe terrestre. En corrigeant les actions des astres sur la mer , de leurs accroissemens dus aux circonstances accessoires, on trouve en secondes sexagésimales 9",4 pour la nutation; 6",8

DU SYSTÈME DU MONDE. 37g

pour l'ëqnatioD lanaire des Tables du soleil , et la masse de \» Inné nn 75* de celle de la terre. Ces rëaullats sont il très peu pris ceux que dooDe la dUcassion des observations astronomiques. L'accord des valeurs obtenues par des moyens si divers, est bien remarquable.

C'est en comparaot i mes fbrmnles les maxima et les nwnùita des hauteurs observées des marées , que les actions du soleil et de la lune sur la mer et leurs accroissemeos ont été déterminés. Les variations des hauteurs des marées près de ces points, eu sont une suite nécessaire ; eu substituant donc les valeurs de ces actions , dans mes formules, on doit retrouver & fort peu près les variations observées. C'est ce que l'on retrouve en eflet. Cet accord est une grande confirmation de la loi de la pesanteur universelle. Elle reçoit nue nouvelle confirmation , des observations des marées syzygies vers l'apogée et vers le périgée de la lune. Je n'avais considéré dans l'ouvrage cité , que la difFéreuce des hauteurs des marées dans ces deux positions de la luue. Ici je considère de plus la variation de-^ces hauteurs & partir de leurs maxima ; et sur ces deux points , mes formules représentent les observations.

Les heures des marées , et leurs retards d'un jour à l'&nire , offrent les mêmes variétés que leurs hauteurs. M. Bouvard eu a formé des tableaux pour les marées qu'il avait employées dans la détermination des hauteurs. On y voit évidemment l'influence àea déclinaisons des astres , et de la parallaxe lunaire. Ces observations comparées à mes formules offrent le même accord, que les observations des hauteurs. On ferait sans doute disparaître les petites anomalies que ces comparaisons présentent encore , en déterminant convenablement les constantes de chaque fiux partiel : le principe

38o EXPOSmOM

par lequel j'ai lie entre elles, cea constantes diverses , peut n'être pas rigoureusement exact. Peut-être encore , les quantités que l'on néglige en adoptant le principe de U coexistence des oscillations , deviennent sensibles dans les grandes marges. Je me sais ici contenta de SO' ter ces anomalies légères , afin de diriger cenx qui Tondront reprendre ces calculs , lorsque les obserrations des marées que l'on continne à Brest , et qni sont déposées à l'Observatoire royal , seront assez nombreuses , pour donner la certitude que ces anomalies ue sont point dues apx erreurs des observations. Mais avant que de modifier les principes dont j'ai fait usage , il faudra porter plus loin les approximations analytiques.

Enfin, j'ai considéré le flux dont la période est d'environ un jour. En comparant les difTe'rences de deux hautes- mers et de deux basses mers consécutives , dans un grand nombre de syzygies solstîctales , j'ai déterminé la grandeur de ce flux et l'heure de son maximum dana le port de Brest. J'ai trouvé un cinquième de m&tre k fort peu près ponr sa grandeur ; et nu dixième de jour environ , pour le temps dont îl précède i Brest , l'heure du maximum de la marée semi-diurne. Quoique sa grandeur ne aoît pas un trentième de la grandeur du flux semi-diurne , cependant les forces génératrices de ces deux flux sont à peu près égales; ce qui montre combien difi'éremment les circonstances accessoires influent sur la grandeur des marées. On n'eu sera point surpris , sï l'on considère que dans le cas même où la surface de la terre serait re'gulîère et recouverte entièrement par la mer , le flux diurne disparaîtrait si la profondeur de U mer était constante.

Les circonstances accessoires peuvent encore faire disparaître dans un port les inégalités semi-diurnes , et

DU SYSTÈME DU MONDE. 38i

rendre très setuîbles les inëgalités diurnes. Alors il n'y a chaque }oar , qu'une marëe qui dioparatt , lorsque les astres sont dans l'Equateur. C'est ce l'on a observe k Batsham , port du royaume de Tonqniu , et dans quelques tles de la mer du Sud.

J'observerai relativement & ces circonstances , que les unes s'e'tendeot A la mer entière , et se rapportent i des causes très éloignées du port où Ton observe les marées; on ne peut douter par exemple , que les ondulations de l'Océan atlantique et de la mer du Sud , réfléchies par la cûte orientale de l'Amérique , qui s'étend presque d'un pAle i l'autre , n'aient une grande influence sur les marées du port de Brest. C'est pricipalement de ces circonstances , que dépendent les phénomènes qui sont à peu près les mêmes dans nos ports. Tel parait être le retard de la plus haute marée sur l'instant de la syzjgie. D'autres circonstances plus rapprochées du port , telles que des càtes ou des détroits voisins, produisent les différences que l'on observe entre les hauteurs et les heures des marées , dans des ports peu dîstans entre eux. De là il suit qu'un flux partiel n'a point , avec la latitude du port , le raj>port indiqué par la force qui le produit; puisqu'il dépend de flux semblables correspondans à des latitudes fort éloignées, et même & un antre hémisphère. On ne pe^t donc déterminer que par l'observation , le signe et la grandeur de ce flux.

Les phénomènes des marées , dont je viens de parler, dépendent des termes dn développement de l'action des astres , divisés par le cube de leurs distance à la terre , les seuls que l'on ait considérés jusqu'ici. Mais h Inné est assez rapprochée de la terre , pour que les termes de l'expression de son action , divisés par la qua-

trième puissance de sa distance , soient sensibles dans les résultats d'un grand nombre d'observations ; car on sait par la tbéorie des probabilités, que le nombre des observations supplée i lenr défaut de précision et fait connaître des inégalités beaucoup moindres que les erreurs dont chaque observation est susceptible. On peut même par cette théorie , assigner le nombre d'observations nécessaires pour acquérir une grande probabilité, qne l'erreur du résultat obtenu, est renfermée dans des limites données. J'ai donc pensé que l'influence des termes de l'action de la lune , divisés par la quatrième puissance de sa distance & la terre , pourrait se manifester , dans l'ensemble des nombreuses observations discutées par M. Bouvard. Les fiux correspondans aux termes divisés par le cube de la distance ne donnent aucune différence entre les marées des nouvelles lunes et celles des pleines lunes. Mais ceux qui ont pour diviseur , la quatrième puissance de la distance , mettent une différence entre ces marées. Ils produisent un flux dont la période est d'environ un tiers de jour : les observations discutées sous ce point de vue , indiquent avec une grande probabilité, l'existence de ce flux partiel. Elles établissent encore sans aucun doute, que l'action de la lune pour élever la mer k Brest , est plus grande , lorsque sa déclinaison est australe , que lorstpi'elle est boréale ; ce qui ne peutttre dû. qu'aux termes de l'action lunaire, divisés par la quatrième puissance de la distance.

On voit par cet exposé , que la recherche des rapports généraux entre les phénomènes des marées , et les actions du soleil et de la lane sur la mer , supplée henreusement k Timpossibililé d'intégrer les équations différentielles de ce mouvement , et à l'ignorance des

données nécessutres poor déterminer les fonctions arbitraires qui entrent dans lears intégrales : il en résulte nne certîtade entière , que ces phénomènes ont pour unic[ue cause , l'attraction de ces deux astres , conformément k la loi de la pesanteur unÎTerselle.

Si la terre n'avait point de satellite , et si son orbe était circulaire et sitné dans le plan de l'éqnateur ; nous n'aurions pour reconnaître l'action du soleil sur l'Océan, que llienre toujours la même de la pleine mer, et la loi suÏTBnt laquelle la marée s'élève. Mais l'action de la lune, en se combinant avec celle du soleil, produit dans les marées , des variétés relatives i ses phases , et dont l'accord avec les observations , ajoute une grande probabilité à la théorie de la pesanteur. Tontes les inégalités du monvement , de la déclinaison et de la distance de ces deux astres , donnent naissance k nn grand nombre de phénomènes que l'observation a fait connaître , et qui mettent cette théorie, hors d'atteinte : c'est ainsi que les variétés dans l'action des causes, eu établissent l'existence. L'action du soleil et de la lune sur la mer , suite nécessaire de l'attraction universelle démontrée par tons les phénomènes célestes , étant confirmée directement par les phénomènes des marées; elle ne doit laisser aacnn doute. Elle est portée maintenant i un tel degré d'évidence , qu'il existe sur cet objet nn accord nnanime entre les savants instruits de ces phénomènes , et suffisamment versés dans la Géométrie et dans la ■ Mécanique, pour en saisir les rapports avec la loi de la pesanteur. Une longue suite d'observations encore plus précises que oelles qui ont été faites, rectifiera les élémens déji connus , fixera la valeur de ceux qui sont incertains, et développera des phénomènes jusqu'ici enveloppés dans les errenrs des observations. Les marées

ne sont pas moins ïntëressantes i connâttre , que les inégalités des mouremeDs célestes. On a négligé pendant long-tempG de les suivre avec une exactitude conTenable , k cause des irrégularités qu'elles présentent ; mais ces irrégularités disparaissent en multipliant les observations : leur nombre ne doit pas même être pour cela , fort considérable àBrest dont la position est très favorable à l'observation de ces phénomènes.

Il me reste' à parler de la méthode de déterminer l'heure de la marée , à ua jour quelconque. Chacun de nos ports peut être considéré à cet égard , comme étant  l'extrémité d'un canal & l'embouchure duquel les marées partielles arrivent au moment même du passage des astres au méridien, et emploient un jour et demi, i parvenir à son extrémité supposée plus orientale que son embouchure , d'un certain nombre d'heures : ce nombre est ce que je nomme heure JôndamattaU du port. On peut facilement la conclure de l'heure de l'établissement du port, en considérant que celle-ci est l'heure de la marée, lorsqu'elle coïncide avec la s^zygie. Le retard des marées d'un jour à l'autre, étant alors de 9705", ce retard sera de 3951" pour un jouret demi ; c'est la quantité qu'il faut ajouter & l'heure de l'établissement , pour avoir l'heure fondamentale. Maintenant, ai Ton augmenté les heures des marées à l'embouchure, de quinze heures plus l'heure fondamentale; on anra les heures des marées cerrespoadantes dans le port. Ainsi, le problème se réduit à déterminer les heures des marées dans un lieu dont la longitude est connue, en supposant que les marées partielles arrivent & l'instant du passage des astres au méridien. L'analyse doqne pour cet objet , des formules très simples , et faciles â réduire en tables.

Lesgrandes marées ont souvent produit dans les ports

on SYSTÈME pu MONDE. 385

et mr lei cAtes , de fâchenz effets que l'on anrait prtfremu , si l'on avait étë d'avance , averti de la hauteor de ces marées. Les vents peuvent avoir sur ces phénomènes , une influence considérable qu'il est impossible de prévoir. Mais on peut prédire avec certitude, l'influence du soleil et de la lune; et cela suffit le plus souvent, pour se mettre & l'abri des accidens que lés bautes marées doivent occasioaapr, lorstpie l'impulsion des vents se joint à l'action des causes régulières. Pour faire jouir les départemens maritimes , de ce bîeufatt des sciences ; le bureau des longitudes publie, chaque aunée, dans ses Éphémérides, le tableau des marées syzjgies, en prenant pour unité, leur hauteur moyenne dans les sjzygiea des équinozes.

J'ai insiste particiJièremeat sur le flux et le reflux de la mer, parce qu'il est de tous les effets de l'attraction des corps célestes , le plus près de nous et le plus sensible; d'ailleurs, il m'a paru très propre i montrer comment on peut reconnaître et déterminer par un grand nombre d'observations, même peu précises, les Ipiset les causes des phénomènes dont il est impossible d'obtenir les e^ressions analytiques par la formation et l'intégratiou de leurs équations différentielles. Tels sont les effets de la chaleur solaire sur l'atmosphère , dans la production des vents alises et des moussons , et dans les variations régulières , soit diurnes, soit annuelles, du baromètre et du Jthem^mètre.