CHAPITRE IL

Du mouvement dun point matériel.

Un point en repos, ne peut se donner aucun mouvement; puisqu'il ne renferme pas en soi , de raison pour se mouvoir dans un sens plutôt que dans un autre. Lorsqu'il est sollicite par une force quelconque et ensuite abandonné à lui-même , il se meut constamment d'une manière uniforme dans la direction de cette force, s'il n'éprouve aucune résistance; c'est-à-dire, qu'à chaque instant, sa force et la direction de son mouvement sont les mêmes. Cette tendance de la matière à persévérer dans son état de mouvement ou de repos, est ce que l'on nomme inertie : c'est la première loi du mouvement des corps.

La direction du mouvement en ligne droite , suit évidemment de ce qu'il n'y a aucune raison pour que le point s'écarte plutôt à droite, qu'à gauche de sa direction primitive ; mais l'uniformité de son mouvement n'est pas de la même évidence. La nature de la force motrice étant inconnue, il est impossible de savoir à priori j si cette force doit se conserver sans cesse. A la vérité, un corps étant incapable de se donner aucun mouvement , il parait également incapable d'altérer celui qii'il a reçu; en sorte que la loi d'inertie est au moins, la plus naturelle et la plus simple que l'on puisse imaginer. Elle est d'ailleurs confirmée par l'expérience : en eflet, nous observons sur la terre, que les mouvemens se perpétuent plus long-temps, à mesure que les obstacles qui s'y opposent, viennent à diminuer; ce qui nous porte à croire que sans ces obstacles, ils dureraient toujours. Mais l'inertie de la matière est principalement remarquable dans les mouvemens célestes qui, depuis un grand nombre de siècles, n'ont point éprouvé d'altération sensible. Ainsi, nous regarderons l'inertie comme une

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loi de la natui^e ; et lorsque nous observerons de l'altération dans le mouvement d'un corps , nous supposerons qu'elle est due à l'action d'une cause e'trangère.

Dans le mouvement uniforme , les espaces parcourus sont proportionnels aux temps ; mais le temps employé à décrire un espace déterminé, est plus ou moins long, suivant la grandeur de la force motrice. Cette différence a fait naître l'idée de vitesse qui, dans le mouvement uniforme, est le rapport de l'espace au temps employé a le parcounr. Pour ne pas comparer ensemble des quantités hétérogènes , telles que l'espace et le temps ; on prend un intei-valle de temps , la seconde, par exemple, pour unité de temps; on choisit pareillement une unité d'espace, telle que le mètre; et alors l'espace et le temps sont des nombres abstraits qui expriment combien ils renferment d'uuités de leur espèce; on peut doue les comparer l'un à l'autre. La vitesse devient ainsi le rapport de deux nombres abstraits, et son unité est la vitesse d'un corps qui parcourt un mètre dans une seconde En réduisant de cette manière, l'espace, le temps et la vitesse, à des nombres abstraits; on voit que l'espace est égal au produit de la vitesse par le temps qui conséquemment , est égal à l'espace divisé par la vitesse.

La force n'étant connue que par l'espace qu'elle fait décrire dans un temps déterminé ; il est naturel de prendre cet espace pour sa mesure. Mais cela suppose que plusieurs forces agissant à la fois et dans le même sens, sur un corps, lui feront parcourir durant une unité de temps, un espace égal à la somme des espaces que chacune d'elles eût fait parcourir séparément; ou, ce qui revient au même, que la force est proportionnelle à la vitesse. C'est ce que nous ne pouvons pas savoir à priori, vu notre ignorance sur la nature de la force motrice; il faut donc encore sur cet objet, recourir à l'expérience; car tout ce qui n'est pas une suite nécessaire du peu de données que nous avons sur la nature des choses, n'est pour nous qu'un résultat de l'observation.

La force peut être exprimée par une infinité de fonctions de la vitesse, qui n'impliquent pas contradiction. U n'y en a point, par exemple, à la supposer proportionnelle au carré de la vitesse. Dans ^ette hypothèse, il est facile de déterminer le mouvement d'un point

sollicité par un nombre quelconque de forces dont les vitesses sont connues ; car si Ion prend sur les directions de ces forces , à partir de leur concours, des droites pour représenter les vitesses qu'elles imprimeraient séparément au point matériel; et si l'on détermine sur ces mêmes directions, en partant du même concours, de nouvelles droites qui soient entre elles, comme les carrés des premières* ces droites pourront représenter les forces elles-mêmes. En les composant ensuite par ce qui précède, on aura la direction de la résultante ainsi que la droite qui l'exprime. On voit par là, comment on peut déterminer le mouvement d'un point, quelle que soit la fonction de la vitesse qui exprime la force. Parmi toutes les fonctions mathématiquement possibles, examinons quelle est celle de la nature.

On observe sur la teiTC, qu'un corps sollicité par une force quelconque , se meut de la même manière , quel que soit l'angle que la direction de cette force , fait avec la direction du mouvement commun au corps et à la partie de la surface terrestre, à laquelle il répond. Une légère différence à cet égard, ferait varier très sensiblement la durée des oscillations du pendule , suivant la position du plan vertical dans lequel il oscille ; et l'expérience fait voir que dans tous les plans verticaux, cette durée est exactement la même. Dans un vaisseau dont le mouvement est uniforme , un mobile soumis à l'action d'un ressort de la pesanteur, ou de toute autre force, se meut relativement aux parties du vaisseau, de la même manière, quelles que soient la vitesse du vaisseau et sa direction. On peut donc établir comme une loi générale des mouvemens terrestres, que si dans un système de corps emportés d'un mouvement commun, on imprime à l'un d'eux une force quelconque ; son mouvement relatif ou apparent sera le même , quel que soit le mouvement général du système, et l'angle que fait sa direction avec celle de la force imprimée.

La proportionnalité de la force à la vitesse, résulte de cette loi supposée rigoureuse; car si l'on conçoit deux corps mus sur une même droite avec des vitesses égales , et qu'en imprimant à l'un d'eux , une force qui s'ajoute à la première, sa vitesse relativement à l'autre corps, soit la même que si les deux corps étaient primitivement en repos; il est visible que l'espace décrit par le corps en vertu de sa force primitive et de celle qui lui est ajoutée, est alors égal à la somme des

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espaces que chacune d'elles eût fait décrire dans le même temps } ce

qui suppose la force proportionnelle à la vitesse.

Réciproquement, si la force est proportionnelle à la vitesse, les mouvemens relatifs d'un système de corps animés de forces quelconques, sont les mêmes, quel que soit leur mouvement commun; car ce mouvement décomposé en trois autres parallèles à trois axes fixes , ne fait qu'accroître d'une même quantité , les vitesses partielles de chaque corps, parallèlement à ces axes; et comme la vitesse relative ne dépend que de la différence de ces vitesses partielles , elle est la même , quel que soit le mouvement commun à tous les corps. Il est donc impossible alors de juger du mouvement absolu d'un système dont on fait partie, par les apparences que l'on y observe. C'est ce qui caractérise cette loi dont l'ignorance a retardé la connaissance du vrai système du monde, par la difficulté de concevoir les mouvemens relatifs des projectiles, au-dessus de la terre emportée par un double mouvement de rotation sur elle-même, et de révolution autour du soleil.

Mais vu l'extrême petitesse des mouvemens les plus considérables que nous puissions imprimer aux corps, eu égard au mouvement qui les emporte avec la terre ; il suffit , pour que les apparences d'un système de corps soient indépendantes de la direction de ce mouvement, qu'un petit accroissement dans la force dont la terre est animée, soit à l'accroissement correspondant de sa vitesse, dans le rapport de ces quantités elles-mêmes. Ainsi, nos expériences prouvent seulement la réalité de cette proportion qui, si elle avait lieu, quelle que fut la vitesse de la terre , donnerait la loi de la vitesse proportionnelle à la force. Elle donnerait encore cette loi, si la fonction de la vitesse, qui exprime la force, n'était composée que d'un seul terme. Il faudrait donc, si la vitesse n'était pas proportionnelle à la force, supposer que dans la nature, la fonction de la vitesse, qui exprime la force, est formée de plusieurs termes ; ce qui est peu probable. Il faudrait supposer de plus , que la vitesse de la terre est exactement celle qui convient à la proportion précédente , ce qui est contre toute vraisemblance. D'ailleurs , la vitesse de la terre , varie dans les diverses saisons de l'année : elle est d'un trentième environ plus grande en hiver, qu'en été. Cette variation est plus considérable encore , si comme tout

l'indique, le système solaire est en mouvement dans l'espace ; car selon que ce mouvement progressif est contraire au mouvement terrestre , ou conspire avec lui , de grandes variations annuelles doivent en résulter dans le mouvement absolu de la terre; ce qui devrait altérer la proportion dont il s'agit, et le rapport de la force imprimée , à la vitesse relative qu'elle produit ; si cette proportion et ce rapport n'étaient pas indépendans de la vitesse absolue.

Tous les phénomènes célestes viennent à l'appui de ces preuves. La vitesse de la Ijimière , déterminée par les éclipses des satellites de Jupiter , se compose avec celle de la terre , exactement comme dans la loi de la proportionnalité de la force à la vitesse ; et tous les mouvemens du système solaire, calculés d'après cette loi, sont entièrement conformes aux observations.

Voilà donc deux lois du mouvement, savoir, la loi d'inertie et celle de la force proportionnelle à la vitesse, qui sont données par l'observation. Elles sont les plus naturelles et les plus simples que l'on puisse imaginer, et sans doute , elles dérivent de la nature même de la matière ; mais cette nature étant inconnue , ces lois ne sont pour nous , que des faits observés, les seuls , au reste , que la Mécanique emprunte de l'expérience. La vitesse étant proportionnelle à la force , ces deux quantités peuvent être représentées l'une par l'autre ; on aura donc par ce qui précède , la vitesse d'un point sollicité par un nombre quelconque de forces dont on connaît les directions et les vitesses.

Si le point est sollicité par des forces agissant d'une manière continue ; il décrira d'un mouvement sans cesse variable , une courbe dont la nature dépend des forces qui la font décrire. Pour la déterminer, il faut considérer la courbe dans ses élémens , voir comment ils naissent les uns des autres , et remonter de la loi d'accroissement des coordonnées, à leur expression finie. C'est précisément l'objet du calcul infinitésimal dont l'heureuse découverte a procuré tant d'avantages à la Mécanique ; et l'on sent combien il est utile de perfectionner ce puissant instrument de l'esprit humain.

Nous avons dans la pesanteur, un exemple journalier d'une force qui semble agir sans interruption. A la vérité , nous ignorons si ses actions successives sont séparées par des intervalles de temps, dont la durée est insensible ; mais les phénomènes étant à très peu près les

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mêmes, dans cette hypothèse et dans celle d'mie action continue; les ge'omètres ont préféré celle-ci , comme étant plus commode et plus simple. Développons les lois de ces phénomènes.

La pesanteur parait agir de la même manière sur les coi^s , dans l'état du repos et dans celui du mouvement. Au premier instant, un corps abandonné à son action , acquiert un degré de vitesse , infiniment petit : un nouveau degré de vitesse s'ajoute au premier, dans le second instant , et ainsi de suite ; en sorte que la vitesse augmente en raison du temps.

Si l'on imagine un triangle rectangle dont un des côtés représente le temps et croisse avec lui, l'autre côté pourra représenter la vitesse. L'élément de la surface de ce triangle , étant égal au produit de l'élément du temps , par la vitesse , il représentera l'élément de l'espace que la pesanteur fait décrire; cet espace sera ainsi représenté par la surface entière du triangle qui croissant comme le carré d'un de ses côtés , fait voir que dans le mouvement accéléré par la pesanteur , les vitesses augmentent comme les temps; et les hauteurs dont le corps tombe en partant du repos , croissent comme les carrés des temps ou des vitesses. En exprimant donc par l'unité l'espace dont un corps descend dans la première seconde ; il descendra de quatre unités , en deux secondes; de neuf unités, en trois secondes, et ainsi du reste; en sorte qu'à chaque seconde , il décrira des espaces croissant comme les nombres impairs i, 5, 5, 7, etc.

L'espace qu'un corps en vertu de la vitesse acquise à la fin de sa chute , décrirait pendant un temps égal à sa durée , serait le produit de ce temps par sa vitesse : ce produit est le double de la surface du triangle; ainsi le corps mû uniformément en vertu de sa vitesse ac-^ quise , décrirait dans un temps égal à celui de sa chute , un espace double de celui qu'il a parcouru.

Le rapport de la vitesse acquise , au temps , est constant pour une même force accélératrice : il augmente ou diminue, suivant que ces forces sont plus ou moins grandes ; il peut donc servir à les exprimer. Le double de l'espace parcouru , étant le produit du temps par la vitesse; la force accélératrice est égale à ce double espace divisé par le carré du temps. Elle est encore égale au carré de la vitesse , divisé par ce double espace. Ces trois manières d'exprimer les forces

accélératrices , sont utiles dans diverses circonstances : elles ne donnent pas les valeurs absolues de ces forces, mais seulement leurs rapports entre elles; et dans la Mécanique, on n'a besoin que de ces rapports.

Sur un plan incliné, l'action de la pesanteur se décompose en deux autres ; l'une perpendiculaire au plan , est détruite par sa résistance ; l'autre parallèle au plan , est à la pesanteur primitive , comme la hauteur du plan est à sa longueur. Le mouvement est donc uniformément accéléré sur les plans inclinés, mais les vitesses et les espaces parcourus, sont aux vitesses et aux espaces parcourus dans le même temps, suivant la verticale, dans le rapport de la hauteur du plan à sa longueur. Il suit de là que toutes les cordes d'un cercle , qui aboutissent à l'une des extrémités de son diamètre vertical , sont décrites par l'action de la pesanteur, dans le même temps que son diamètre.

Un projectile lancé suivant une droite quelconque, s'en écarte sans cesse , en décrivant une courbe concave vers l'horizon , et dont cette droite est la première tangente. Son mouvement rapporté à cette droite par des lignes verticales, est uniforme; mais il s'accélère suivant ces verticales , conformément aux lois que nous venons d'exposer; en élevant donc de chaque point de la courbe, des verticales prolongées jusqu'à la première tangente, elles seront proportionnelles aux carrés des parties correspondantes de cette tangente, propriété qui caractérise la parabole. Si la force de projection est dirigée suivant la verticale elle-même , la parabole se confond alors avec elle ; ainsi les formules du mouvement parabolique embrassent les mouvemens accélérés ou retardés dans la verticale.

Telles sont les lois de la chute des graves, découvertes par Galilée. Il nous semble aujourd'hui, qu'il était facile d'y parvenir; mais puisqu'elles avaient échappé aux recherches des philosophes, malgré les phénomènes qui les reproduisaient sans cesse; il fallait un rare génie, pour les démêler dans ces phénomènes.

On a vu dans le premier livre, qu'un point matériel suspendu à l'extrémité d'une droite sans masse, et fixe à son autre extrémité, forme le pendule simple. Ce pendule écarté de la verticale, tend à y revenir par sa pesanteur, et cette tendance est à très peu près proportionnelle à cet écart, s'il est peu considérable. Imaginons deux pendules de même longueur, et partant au même instant avec des vitesses

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très petites, de la situation verticale. Ils de'criront au premier instant, des arcs proportionnels à ces vitesses. Au commencement d'un second instant égal au premier , les vitesses seront retardées proportionnellement aux arcs décrits , et par conse'quent aux vitesses primitives ; les arcs de'crits dans cet instant, seront donc encore proportionnels à ces vitesses. Il en sera de même des arcs décrits au troisième instant, au quatrième, etc. Ainsi à chaque instant, les vitesses et les arcs mesurés depuis la verticale, seront proportionnels aux vitesses primitives; les pendules arriveront donc au même moment, à Tétat du repos. Ils reviendront ensuite vers la verticale, par un mouvement accéléré suivant les mêmes lois par lesquelles leur vitesse avait été retardée, et ils y parviendront au même instant, et avec leur vitesse primitive. Ils oscilleront de la même manière , de l'autre côté de la verticale, et ils continueraient d'osciller à l'infini, sans les résistances qu'ils éprouvent. Il est visible que l'étendue de leurs oscillations est proportionnelle à leur vitesse primitive; mais la durée de ces oscillations est la même , et par conséquent indépendante de leur grandeur. La force qui accélère ou retarde le pendule , n'étant pas exactement en raison de l'arc mesuré depuis la verticale ; cet isochronisme n'est qu'approché relativement aux petites oscillations d'un corps pesant, mù dans un cercle. Il est rigoureux dans la courbe sur laquelle la pesanteur décomposée parallèlement à la tangente , est proportionnelle à l'arc compté du point le plus bas; ce qui donne immédiatement son équation différentielle. Iluyghens à qui l'on doit l'application du pendule aux horloges, avait intérêt de connaître cette courbe, et la manière de la faille décrire au pendule. Il trouva qu'elle est une cycloïde placée verticalement, en sorte que son sommet soit le point le plus bas; et que pour la faire décrire à un corps suspendu à l'extrémité d'un fil inextensible, il suffit de fixer l'autre extrémité, à l'origine commune de deux cycloïdes égales à celles que l'on veut faire décrire , et placées verticalement en sens contraire, de manière que le fil, en oscillant, enveloppe alternativement chacune de ces courbes. Quelque ingénieuses que soient ces recherches, l'expérience a fait préférer le pendule circulaire , comme étant beaucoup plus simple , et d'une précision suffisante même à l'Astronomie. Mais la théorie des développées, qu'elles ont fait naître, est devenue très importante par ses applications au système du monde»

La dui'e'e des oscillations fort petites d'un pendule circulaire , est au temps qu'un corps pesant emploierait à tomber d'une hauteur égale au double de la longueur du pendule, comme la demi- circonférence est au diamètre. Ainsi le temps de la chute, le long d'un petit arc terminé par un diamètre vertical, est au temps delà chute, le long de ce diamètre , ou ce qui revient au même , par la corde de l'arc , comme le quart de la circonférence est au diamètre; la droite menée entre deux points donnés, n'est donc pas la ligne de la plus vite descente de l'un à l'autre. La recherche de cette ligne a excité la curiosité des géomètres ; et ils ont trouvé qu'elle est une cycloïde dont l'origine est au point le plus élevé.

La longueur du pendule simple qui bat les secondes , est au double de la hauteur dont la pesanteur fait tomber les corps dans la première seconde de leur chute , comme le carré du diamètre est au carré de la circonférence. Cette longueur pouvant être mesurée avec une grande précision; on aura, au moyen de ce théorème, le temps de la chute des corps , d'une hauteur déterminée , beaucoup plus exactement que par des expériences directes. On a vu dans le premier livre, que des expériences très exactes ont donné la longueur du pendule à secondes à Paris, de o", 741 887; d'où il résulte que la pesanteur y fait tomber les corps de 5"'",66i07 , dans la première seconde. Ce passage du mouvement d'oscillation , dont on peut observer avec une grande précision la durée, au mouvement rectiligne des graves, est une remarque ingénieuse dont on est encore redevable à Huyghens.

Les durées des oscillations fort petites des pendules de longueurs différentes, et animés par la même pesanteur, sont comme les racines carrées de ces longueurs. Si les pendules sont de même longueur, et animés de pesanteurs différentes; les durées des oscillations sont réciproques aux racines carrées des pesanteurs.

C'est au moyen de ces théorèmes , que l'on a déterminé la variation de la pesanteur, à la surface de la terre et au sommet des montagnes. Les observations du pendule ont pareillement fait connaître que la pesanteur ne dépend ni de la surface , ni de la figure des coi^ps , mais qu'elle pénètre leurs parties les plus intimes, et qu'elle tend à leur imprimer dans le même temps, des vitesses égales. Pour s'en assurer, Newton a fait osciller un grand nombre de corps de même poids, et différens

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soit par la figure , soit par la matière , en les plaçant dans rînlérieur d'une même surface, afin que la re'sistance de l'air fut la même. Quelque pre'cision qu'il ait apportée dans ses expe'riences , il n'a point remarqué de différences sensibles entre les longueurs du pendule sir,iple à secondes, conclues des durées des oscillations de ces corps; d'où il suit que sans les résistances qu'ils éprouvent, leur vitesse acquise par l'action de la pesanteur, serait la même eu temps égal.

Nous avons encore dans le mouvement circulaire, l'exemple d'une force agissant d'une manière continue. Le mouvement de la matière abandonnée à elle - même , étant uniforme et rectiligne ; il est clair qu'un corps mû sur une circonférence, tend sans cesse à s'éloigner du centre, par la tangente. L'effort qu'il fait pour cela, se nomme yiorce centrifuge; et l'on nomme ^/re centrale ou centripète, toute force dirigée vers un centre. Dans le mouvement circulaire, la force centrale est égale et directement contraire à la force centrifuge : elle tend sans cesse à rapprocher le corps, du centre de la circonférence; et dans un intervalle de temps , très court , son effet est mesuré par le sinus verse du petit arc décrit.

On peut, au moyen de ce résultat, comparer à la pesanteur, la force centrifuge due au mouvement de rotation de la terre. A l'équateur, les corps décrivent en vertu de cette rotation, dans chaque seconde de temps , un arc de 40''', i ogS de la circonférence de l'équateur terrestre. Le rayon de cet équateur étant GSyôôoô'"- à fort peu près ; le sinus verse de cet arc est de ©'"^oi 2655g. Pendant une seconde, la pesanteur fait tomber les corps à l'équateur, de 3", 64950 j ainsi la force centrale nécessaire pour retenir les corps à la surface de la terre, et par conséquent, la force centrifuge due à son mouvement de rotation est à la pesanteur à l'équateur, dans le rapport de l'unité à 288,4. La force centrifuge diminue la pesanteur, et les corps ne tombent à l'équateur , qu'en vertu de la différence de ces deux forces ; en nommant donc gravité , la pesanteur entière qui aurait lieu sans la diminution qu'elle éprouve ; la force centrifuge à l'équateur est à fort peu près -—^ de la gravité. Si la rotation de la terre était dix-sept fois plus rapide ; l'arc décrit dans une seconde à l'équateur , serait dix-sept fois plus grand, et son sinus verse serait 289 fois plus considérable;

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Ja force centrifuge serait donc alors e'galc à la gravité, et les corps cesseraient de peser sur la terre à l'équateur.

En ge'ne'ral, l'expression d'une force accéle'ratrice constante, qui agit toujours dans le même sens, est égale au double de l'espace qu'elle fait décrire, divisé par le c?rré du temps : toute force accélératrice, dans un intervalle de temps , très court, peut être supposée constante et agir suivant la même direction; d'ailleurs, l'espace que la force centrale fait décrire dans le mouvement circulaire, est le sinus verse du petit arc décrit, et ce sinus est à très peu près égal au carré de l'arc, divisé par le diamètre; l'expression de cette force est donc le carré de l'arc décrit, divisé par le carré du temps et par le rayon du cercle. L'arc divisé par le temps , est la vitesse même du corps ; la force centrale et la force centrifuge , sont donc égales au carré de la vitesse , divisé par le rayon.

Rapprochons ce résultat, de celui que nous avons trouvé précédemment, et suivant lequel la pesanteur est égale au carré de la vitesse acquise, divisé par le double de l'espace parcouru suivant la verticale; nous verrons que la force centrifuge est égale à la pesanteur, si la vitesse du corps qui cii'cule, est la même que celle acquise par un corps pesant qui tomberait d'une hauteur égale à la moitié du rayon de la circonférence décrite.

Les vitesses de plusieurs corps mus circulairement , sont égales aux circonférences qu'elles décrivent , divisées par les temps de leurs révolutions : les circonférences sont comme les rayons ; ainsi , les caiTe's des vitesses sont comme les carrés des rayons , divisés par les carrés de ces temps. Les forces centrifuges sont donc entre elles comme les rayons des circonférences, divisés par les carrés des temps des révolutions. Il suit de là, que sur divers parallèles terrestres, la force centrifuge due au mouvement de rotation de la terre, est proportionnelle aux rayons de ces parallèles.

Ces beaux théorèmes découverts par Huyghens, ont conduit Newton à la théorie générale du mouvement dans les courbes, et à la loi de la pesanteur universelle.

Un coi-ps qui décrit une courbe quelconque , tend a s'en écarter par la tangente ; or on peut toujours imaginer un cercle qui passe par deux élémens contigus de la com-be, et que l'on nomme cercle

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oscillateur : dans deux instans consécutifs , le corps est mù sur la circonférence de ce cercle ; sa force centrifuge est donc égale au carré de sa vitesse , divisé par le rayon du cercle osculateur ; mais la position et la grandeur de ce cercle, varient sans cesse.

Si la courbe est décrite en vertu d'une force dirigée vers un point fixe; on peut décomposer cette force en deux, Tune suivant le rayon osculateur, l'autre suivant l'élément de la courbe. La première fait équilibre à la force centrifuge : la seconde augmente ou diminue la vitesse du corps; cette vitesse est donc continuellement variable. Mais elle est toujours telle, que les aires décrites par le rajo7i vecteur y autour de V origine de la force ^ sont proportionnelles aux temps. Réciproquement y si les aires tracées par le rayon vecteur autour d'un point fixe y croissent comme les temps; la force qui les fait décrire ., est constamment dirigée vers ce point. Ces propositions fondamentales dans la théorie du système du monde, se démontrent aisément de cette manière.

La force accélératrice peut être supposée n'agir qu'au commencement de chaque instant pendant lequel le mouvement du corps est uniforme : le rayon vecteur trace alors un petit triangle. Si la force cessait d'agir dans l'instant suivant, le rayon vecteur tracerait dans ce nouvel instant, un nouveau triangle égal au premier; puisque ces deux triangles ayant leur sommet au point fixe origine de la force, leurs bases situées sur une même droite seraient égales , comme étant décrites avec la même vitesse, pendant des instans que nous supposons égaux. Mais au commencement du nouvel instant, la force accélératrice se combine avec la force tangentielle du corps, et fait décrire la diagonale du parallélogramme dont les côtés représentent ces forces. Le triangle que le rayon vecteur décrit en vertu de cette force combinée, est égal à celui qu'il eût décrit sans l'action de la force accélératrice ; car ces deux triangles ont pour base commune , le rayon vecteur de la fin du premier instant, et leurs sommets sont sur une droite parallèle à cette base ; l'aire tracée par le rayon vecteur est donc égale , dans deux instans consécutifs égaux; et par conséquent le secteur décrit par ce rayon, croît comme le nombre de ces instans, ou comme les temps. Il est visible que cela n'a lieu qu'autant que la force accélératrice est dirigée vers le point fixe; autrement, les triangles

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que nous venons de considérer, n'auraient pas même hauteur. Ainsi, la proportionnalité des aires aux temps , démontre que la force accélératrice est dirigée constamment vers l'origine du rayon vecteur.

Dans ce cas , si l'on imagine un très petit secteur décrit pendant un intervalle de temps, fort court; que de la première extrémité de l'arc de ce secteur, on mène une tangente à la courbe, et que l'on prolonge jusqu'à cette tangente, le rayon mené de l'origine de la force, à l'autre extrémité de l'arc; la partie de ce rayon, interceptée entre la co,urbe et la tangente, sera visiblement l'espace que la force centrale a fait décrire. En divisant le double de cet espace, par le carré du temps, on aura l'expression de la force; or le secteur est proportionnel au temps; la force centrale est donc comme la partie du rayon vecteur, interceptée entre la courbe et la tangente , divisée par le carré du secteur. A la rigueur , la force centrale dans les divers points de la courbe, n'est pas proportionnelle à ces quotiens; mais elle approche d'autant plus de l'être, que les secteurs sont plus petits, en sorte qu'elle est exactement proportionnelle à la limite de ces quotiens. L'analyse différentielle donne cette limite, en fonction du rayon vecteur, lorsque la nature de la courbe est connue ; et alors on a la fonction de la distance, à laquelle la force centrale est proportionnelle.

Si la loi delà force est donnée, la recherche de la courbe qu'elle fait décrire, présente plus de difficulté. Mais quelles que soient les forces dont le corps toujours supposé libre est animé, on déterminera facilement de la manière suivante , les équations différentielles de son mouvement. Imaginons trois axes fixes perpendiculaires entre eux ; la position du corps à un instant quelconque , sera déterminée par trois coordonnées parallèles à ces axes. En décomposant chacune des forces qui agissent sur le point, en trois autres dirigées parallèlement aux mêmes axes; le produit de la résultante de toutes les forces parallèles à l'une des coordonnées, par l'élément du temps pendant lequel elle agit, exprimera l'accroissement de la vitesse du corps, parallèlement à cette coordonnée ; or cette vitesse peut être supposée égale à l'élément de la coordonnée, divisé par l'élément du temps; la différentielle du quotient de cette division , est donc égale au produit précédent. La considération des deux autres coordonnées fournit deux égalités semblables; ainsi la détermination du mouvement du corps devient une

recherche de pure analyse , qui se réduit à i'intdgration de ces équations différentielles.

En eéneral, l'élément du temps étant supposé constant, la différence seconde de chaque coordonnée, divisée par le carré de cet élément , représente une force qui , appliquée en sens contraire au point , ferait équilibre à la force qui le sollicite suivant cette coordonnée. En multipliant la différence de ces forces , par la variation arbitraire de la coordonnée, et ajoutant les trois produits semblables relatifs aux trois coordonnées ; leur somme sera nulle par la condition de l'équilibre. Si le point est libre, les variations des trois coordonnées seront toutes arbitraires , et en égalant à zéro , le coefiicient de chacune d'elles , on aura les trois équations différentielles du mouvement du point. Mais si le point n'est pas libre , on aura entre les trois coordonnées , une ou deux relations qui donneront un pareil nombre d'équations entre leurs variations arbitraires. En éliminant donc à leur moyen , autant de ces variations , on égalera les coefficiens des variations restantes , à zéro ; et l'on aura les équations différentielles du mouvement, équations qui, combinées avec les relations des coordonnées détermineront pour un instant quelconque, la position du point.

L'intégration de ces équations est facile, quand la force est dirigée vers un centre fixe, mais souvent, la nature des forces la rend impossible. Cependant, la considération des équations différentielles, conduit à quelques principes intéressans de mécanique , tels que le suivant. La différentielle du carré de la vitesse d'un point soumis à l'action de forces accélératrices, est égale au double de la somme des produits de chaque force, par le petit espace dont le point s'avance suivant la direction de cette force. Il est aisé d'en conclure que la vitesse acquise par un corps pesant, le long d'une ligne ou d'une surface courbe , est la même que s'il tombait verticalement de la même hauteur.

Plusieurs philosophes, frappés de l'ordre qui règne dans la nature, et de la fécondité de ses moyens dans la production des phénomènes, ont pensé qu'elle parvient toujours à son but par les voies les plus simples. En étendant cette manière de voir, à la mécanique; ils ont clierché l'économie que la nature avait eue pour objet, dans l'emploi des forces et du temps. Ptolémée avait reconnu que la lumière réfléchie

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parvient d'un point à un autre, par le chemin le plus court, et par conséquent , dans le moins de temps possible , en supposant la vitesse du rayon lumineux, toujours la même. Fermât, l'un des plus beaux génies dont la France s'honore, ge'néralisa ce principe, en l'élendant à la rëfractioii de la lumière. Il supposa donc qu'elle parvient d'un point pris au dehors d'un milieu diaphane, à un point intérieur, dans le temps le plus court; regardant ensuite comme très vraisemblable, que sa vitesse devait être plus petite dans ce milieu, que dans le vide; il chercha dans ces hypothèses, la loi de la réfraction de la lu^iûère. En appliquant à ce problème , sa belle méthode de maximis et de minimis , que l'on doit considérer comme le véritable germe du calcul différentiel; il trouva conformément à l'expérience, que les sinus d'incidence et de réfraction, devaient être dans un rapport constant, plus grand que l'unité. La manière heureuse dont Newton a déduit ce rapport, de l'attraction des milieux, fît voir à Maupertuis, que la vitesse de la lumière augmente dans les milieux diaphanes, et qu'ainsi ce n'est point, comme Fermât le prétendait, la somme des quotiens des espaces décrits dans le vide et dans le niilieu , et divisés par les vitesses correspondantes, mais la somme des produits de ces quantités , qui doit être un ininhnuin. Euler étendit cette supposition, aux mouvemens variables à chaque instant ; et il prouva par divers exemples , que parmi toutes les courbes quun corps peut décrire en allant d'un point à un autre , il choisit toujours celle dans laquelle l'intégrale du produit de sa masse par sa vitesse et par l'élément de la courbe ^ est un minimum. Ainsi la vitesse d'un point mu dans une surface courbe et qui n'est sollicité par aucune force , étant constante ; il parvient d'un point à un autre, pav la ligne la plus courte sur cette surface. On a nommé l'intégrale précédente , action d'un corps ; et la réunion des intégrales semblables , relatives à chaque corps d'un système, a été nommée action du système. Euler établit donc que cette action est toujours un minimum , en sorte que l'économie de la nature consiste à l'épargner : c'est là ce qui constitue le principe de la moindre action , dont on doit regarder Euler, comme le véritable inventeur, et que Lagrange ensuite, a dérivé des lois primordiales du mouvement. Ce principe n'est au fond, qu'un résultat curieux de ces lois qui, comme on l'a vu, sont les plus naturelles et les plus simples

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que l'on puisse imaginer, et qui par là, semblent découler de l'essence même de la matière. Il convient à toutes les relations mathématiquement possibles entre la force et la vitesse , pourvu que l'on substitue dans ce principe , au lieu de la vitesse , la fonction de la vitesse, par laquelle la force est exprimée. Le principe de la moindre action ne doit donc point être érigé en cause finale ,• et loin d'avoir donné naissance aux lois du mouvement , il n'a pas même contribué à leur découverte sans laquelle on disputerait encore sur ce qu'il faut entendre par la moindre action de la nature.