CHAPITRE V

Du moui^ement cl un système de corps.

(considérons d'abord l'action de deux points mate'riels de masses différentes, et qui, mus sur une même droite, viennent à se rencontrer. On peut concevoir imme'diatement avant le choc , leurs mouvemens de'composés de manière qu'ils aient une vitesse commune , et deux vitesses contraires telles qu'en vertu d'elles seules , ils se feraient mutuellement équilibre. La vitesse commune aux deux points n'est pas altérée par leur action mutuelle ; cette vitesse doit donc subsister après le choc. Pour la déterminer, nous observerons que la quantité de mouvement des deux points en vertu de cette commune vitesse , plus la somme des quantités de mouvement dues aux vitesses détruites , représente la somme des quantités de mouvement avant le choc, pourvu que l'on prenne avec des signes contraires, les quantités de mouvement dues aux vitesses contraires; mais par la condition de l'équilibre, la somme des quantités de mouvement dues aux vitesses détruites , est nulle ; la quantité de mouvement due à la vitesse commune, est donc égale à celle qui existait primitivement dans les deux points; par conséquent, cette vitesse est égale à la somme des quantités de mouvement, divisée par la somme des masses.

Le choc de deux points matériels est purement idéal ; mais il est facile d'y ramener celui de deux corps quelconques, en obseiTant, que si ces corps se choquent suivant une droite passant par leurs centres de gravité, et perpendiculaire à leurs surfaces de contact, ils agissent l'un sur l'autre, comme si leurs masses étaient réunies à ùîes centres; le mouvetttent se communique donc alors entre eux, comme entre deux points matériels dont les masses seraient respectivement égales à ces corps.

La démonstration précédente suppose qu'après le choc , les deux corps doivent avoir la même vitesse. On conçoit que cela doit être pour les coi'ps mous dans lesquels la communication du mouvement a lieu successivement et par nuances insensibles ; car il est visible que dès l'instant où le corps choqué a la même vitesse que le corps choquant, toute action cesse entre eux. Mais entre deux corps d'une dureté absolue, le choc est instantané, et il ne paraît pas nécessaire qu'après, leur vitesse soit la même : leur impénétrabilité mutuelle exige seulement que la vitesse du corps choquant soit la plus petite ; d'ailleurs elle est indéterminée. Cette indétermination prouve l'absurdité de l'hypothèse d'une dureté absolue. En effet, dans la nature, les corps les plus durs, s'ils ne sont pas élastiques, ont une mollesse imperceptible, qui rend leur action mutuelle, successive, quoique sa durée soit insensible.

Quand les corps sont parfaitement élastiques, il faut pour avoir leur vitesse après le choc, ajouter ou retrancher de la vitesse commune qu'ils prendraient s'ils étaient sans ressort , la vitesse qu'ils acquerraient ou qu'ils perdraient dans cette hypothèse ; car l'élasticité parfaite double ces effets, par le rétablissement des ressorts que le choc comprime ; on aura donc la vitesse de chaque corps après le choc, en retranchant sa vitesse avant le choc, du double de cette vitesse commune.

De là il est aisé de conclure que la somme des produits de chaque masse par le carré de sa vitesse, est la même avant et après le choc des deux corjis; ce qui a lieu généralement dans le choc d'un nombre quelconque de corps parfaitement élastiques , de quelque manière qu'ils agissent les uns sur les autres.

Telles sont les lois de la communication du mouvement, lois que l'expérience confirme, et qui dérivent mathématiquement des deux lois fondamentales du mouvement , que nous avons exposées dans le second chapitre de ce livre. Plusieurs philosophes ont essayé de les déterminer par la considération des causes finales. Descartes, persuadé que la quantité de mouvement devait se conserver toujours la même dans l'univers, sans égard à sa direction, a déduit de cette fausse hypothèse, de fausses lois de la communication du mouvement, qui sont un exemple remarquable des erreurs auxquelles on s'expose en

cherchant à deviner les lois de la nature , par les vues qu'où lui suppose.

Lorsqu'un corps reçoit une impulsion suivant une direction qui passe par son centre de gravité ; toutes ses parties se meuvent avec une égale vitesse. Si cette direction passe à côté de ce point; les diverses parties du corps ont des vitesses inégales, et de cette inégalité , résulte un mouvement de rotation du corps autour de son centre de gravité, en même temps que ce centre est transporté avec la vitesse qu'il aurait prise, si la direction de l'impulsion eût passé par ce point. Ce cas est celui de la terre et des planètes. Ainsi pour expliquer le double mouvement de rotation et de translation de la terre, il suflit de supposer qu'elle a reçu primitivement une impulsion dont la direction a passé à une petite distance de son centre de gravité, distance qui dans l'hypothèse de l'homogénéité de cette planète , est à peu près la cent-soixantième partie de son rayon. Il est infiniment peu probable que la projection primitive des planètes, des satellites et des comètes, a passé exactement par leurs centres de gravité ; tous ces corps doivent donc tourner sur eux-mêmes. Par une raison semblable, le soleil qui tourne sur lui-même, doit avoir reçu une impulsion qui, n'ayant point passé par son centre de gi'avité , le transporte dans l'espace , avec le système planétaire, à moins qu'une impulsion dans un sens contraire, n'ait anéanti ce mouvement, ce qui n'est pas vraisemblable.

L'impulsion donnée à une sphère homogène , suivant une directioa qui ne passe point par son centre , la fait tourner constamment autour du diamètre perpendiculaire au plan mené par son centre et par la direction de la force imprimée. De nouvelles forces qui sollicitent tous ses points, et dont la résultante passe par son centre, n'altèrent point le parallélisme de son axe de rotation. C'est ainsi que l'axe de la terre reste toujours à très peu près parallèle à lui-même, dans sa révolution autour du soleil; sans qu'il soit nécessaire de supposer avec Copernic , un mouvement annuel des pôles de la terre autour de ceux de l'écliptique .

Si le corps a une ligure quelconque , son axe de rotation peut varier à chaque instant : la recherche de ces variations, quelles que soient les forces qui agissent sur le corps, est le problème le plus intéressant de la mécanique des corps durs , par ses rapports avec la précession

des iéqttinoxes et avec la libration de la lune. En le re'solvant , on a été conduit à ce résultat curieux et très utile , savoir que dans tout corps , il existe trois axes perpendiculaires entre eux , passant par son cetrtre de gravité , et autour desquels il peut tourner d'une manière ■aaiforme et invariable, quand il n'est point sollicité par des forces étrangères. Ces axes ont été pour cela, nommés axes principaux de rotation. Us ont cette propriété que la somme des produits de chaque molécule du coi^s par le carré de sa distance à l'axe , est un maximum par rapport à deux de ces axes , et un minimum par rapport au troisième. Si l'on conçoit le corps tournant autour d'un axe fort peu incliné à l'un ou à l'autre des deux premiers ; l'axe instantané de rotation du coi^ s'en écartera toujours d'une quantité très petite ; ainsi la rotation est stable relativement à ces deux premiers axes: elle ne l'est pas rclritivement au troisième; et pour peu que l'axe instantané de rotation s'en écarte, il fera autour de lui, de grandes oscillations.

Un corps ou un système de coi'ps pesans , de figure quelconque , oscillant autour d'un axe fixe et horizontal , forme un pendule composé. Il n'en existe point d'autres dans la nature, et les pendules simples dont nous avons parlé ci-dessus, ne sont que de purs concepts géomét! ques propres à simplifier les objets. Il est facile d'y rapporter les pendules composés dont tous les points sont attachés fixement ensemble. Si l'on multiplie la longueur du pendule simple dont les oscillations sont de même durée que celles du pendule composé , par la masse de ce dernier pendule , et par la distance de son centre de gi^avité K l'axe d'oscillation; le produit sera égal à la somme des produits de chaque molécule du pendule composé , par le carré de sa distance au même axe. C'est au moyen de cette règle trouvée par Huygens, que les expériences sur les pendules composés ont fait connaître la longueur du pendule simple qui bat les secondes.

Imaginons un pendule faisant de très petites oscillations dans un même plan , et supposons qu'au moment où il est le plus éloigné de la vertir^ale, on lui imprime une petite force perpendiculaire au plan de son mouvement ; il décrira une ellipse autour de la verticale. Pour se rcpi cscnter son mouvement , on peut concevoir un pendule fictif qui condnue d'osciller comme l'eût fait le pendule réel, sans la nouvelle force qui lui a été imprimée, tandis que ce pendule réel oscille

en vertu de cette force, de chaque côté du pendule idéal, comme si ce pendule fictif était immobile et vertical. Ainsi le mouvement du pendule réel est le résultat de deux oscillations simples, coexistantes et perpendiculaires l'une à l'autre.

Cette manière d'envisager les petites oscillations des corps , peut être étendue à un système quelconque. Si l'on suppose le système dérangé de son état d'équilibre par de très petites impulsions, et qu'ensuite on vienne à lui en donner de nouvelles; il oscillera par rapport aux états successifs qu'il aurait pris en vertu des premières impulsions, de la même manière qu'il oscillerait par rapport à son état d'équilibre, si les nouvelles impulsions lui étaient seules imprimées dans cet état. Les oscillations très petites d'un système de corps, quelque composées qu'elles soient, peuvent donc être considérées comme étant formées d'oscillations simples, parfaitement semblables à celle du pendule. En effet, si l'on conçoit le système primitivement en repos et très peu dérangé de son état d'équilibre, en sorte que la force qui sollicite chaque corps , tende à le ramener au point qu'il occuperait dans cet état , et de plus, soit proportionnelle à la distance du corps à ce point; il est clair que cela aura lieu pendant l'oscillation du système, et qu'à chaque instant , les vitesses des différens corps seront proportionnelles à leurs distances a la position d'équilibre ; ils arriveront donc tous au même instant , à cette position , et ils oscilleront de la même manière cpi'un pendule simple. Mais l'état de dérangement que nous venons de supposer au système, n'est pas unique. Si l'on éloigne un des corps , de sa position d'équilibre , et que l'on cherche les situations des autres corps , qui satisfont aux conditions précédentes ; on parvient a une équation d'un degi'é égal au nombre des corps du système, mobiles entre eux; ce qui donne pour chaque corps, autant d'esf)èces d'oscillations simples , qu'il y a de corps. Concevons au système , la première espèce d'oscillations; et à un instant quelconque, éloignons par la pensée , tous les corps de leur position , proportionnellement aux quantités relatives à la seconde espèce d'oscillations. En vertu de la coexistence des oscillations, le système oscillera par rapport aux états successifs qu'il aurait eus par la première espèce d'oscillations , comme il aurait oscillé par la seconde espèce seule , autour de son état d'équilibre ; son mouvement sera donc formé des deux premières espèces

d'oscillations. On peut semblablement combiner avec ce mouvement, la troisième espèce d'oscillations , et en continuant ainsi de combiner toutes ces espèces, de la manière la plus ge'ne'rale; on peut composer par la synthèse, tous les mouvemens possibles du système, pourvu qu'ils soient très petits. Re'ciproquement, on peut par l'analyse, décomposer les mouvemens, en oscillations simples. De là résulte un moyen facile de reconnaître la stabilité absolue de l'équilibre d'un système de corps. Si dans toutes les positions relatives à chaque espèce d'oscillations , les forces tendent à ramener les corps à l'état d'équilibre , cet état sera stable : il ne le sera pas , ou il n'aura qu'une stabilité relative , si dans quelqu'une de ces positions , les forces tendent à en éloigner les corps.

U est visible que cette manière d'envisager les mouvemens très petits d'un système de corps, peut s'étendre aux fluides eux-mêmes dont les oscillations sont le résultat d'oscillations simples , existantes à la fois , et souvent en nombre infini.

On a un exemple sensible de la coexistence des oscillations très petites, dans \les ondes. Quand on agite légèrement un point de la surface d'une •au stagnante, on voit des ondes circulaires se former et s'étendre autour de lui. En agitant la surface dans un autre point, de nouvelles ondes se forment et se mêlent aux premières : elles se superposent à la surface agitée par les premières ondes, comme elles se seraient disposées sur cette surface , si elle eût été tranquille ; en sorte qu'on les distingue parfaitement dans leur mélange. Ce que l'œil aperçoit relativement aux ondes, l'oreille le sent par rapport aux sons ou aux vibrations de l'air, qui se propagent simultanément sans s'altérer, et font des Impressions très distinctes.

Le principe de la coexistence des oscillations simples , que l'on doit à Daniel Bernouilli , est un de ces résultats généraux qui plaisent à l'imagination, par la facilité qu'ils lui donnent, de se représenter les phénomènes et leurs changemens successifs. On le déduit aisément de la théorie analytique des petites oscillations d'un système decoi-ps. Ces oscillations dépendent d'équations différentielles linéaires , dont les intégrales complètes sont la somme des intégrales particulières. Ainsi les oscillations simples se superposent les unes aux autres, pour former le mouvement du système; comme les intégrales particulières

qui les expriment, s'ajoutent ensemble pour former les intégrales complètes. Il est inte'ressant de suivre ainsi dans les phénomènes de la nature, les ve'rite's intellectuelles de l'analyse. Cette correspondance dont le système du raionde offrira de nombreux exemples, fait l'un des plus grands charmes attachés aux spe'culations mathématiques.

Il est naturel de ramener à un principe général, les lois du mouvement des corps ; comme on a renfermé dans le seul principe des vitesses virtuelles, les lois de leur équilibre. Pour y parvenir, considérons le mouvement d'un système de coi'ps agissant les uns sur les autres, sans être sollicités par des forces accélératrices. Leurs vitesses changent à chaque instant; mais on peut concevoir chacune de ces vitesses dans un instant quelconque, comme étant composée de celle qui a lieu dans l'inslant suivant , et d'une autre vitesse qui doit^ être "*" détruite au commencement de ce second» instarrt. Si cette vitesse détruite était connue, il serait facile par la lof de la décomposition des forces , d'en conclure la vitesse des corps au second instant; or il est clair que si les corps n'étaient animés que des vitesses détruites, ils se feraient mutuellement équilibre ; ainsi les lois de l'équilibré*^ donneront les rapports des vitesses perdues 1, et il sera aisé d'en conclure les vitesses restantes et leurs directions ; on aura donc par l'analyse infinitésimale , les variations successives du mouvement du système et sa position à tous les instans.

Il est clair que si les corps sont animés de forces accélératrices , on pourra toujours employer la même décomposition de vitesses; mais alors, l'équilibre doit avoir lieu entre les vitesses détruites et ces forces.

Cette manière de ramener les lois du mouvement à celles de l'équilibre , dont on est principalement redevable à d'Alembert , est générale et très lumineuse. On aurait lieu d'être surpris qu'elle ait échappé aux géomètres qui s'étaient occupés avant lui , de dynamique, si l'on ne savait pas que les idées les plus simples sont presque toujours celles qui s'offrent les dernières à l'esprit humain.

Il restait encore à unir le principe que nous venons d'exposer , à celui des vitesses virtuelles , pour donner à la mécanique , toute la perfection dont elle paraît susceptible. C'est ce que Lagrange a fait, et par ce moyen, il a réduit la recherche du mouvement d'un système

quelconque de corps , à rintëgration des équations différentielles. Alors, l'objet de la mécanique est rempli, et c'est à l'analyse pure à achever la solution des problèmes. Voici la manière la plus simple de former les équations différentielles du mouvement d'un système quelconque. Si l'on imagine trois axes fixes perpendiculaires entre eux , et qu'à un instant quelconque , on décompose la vitesse de chaque point matériel d'un système de corps, en trois autres parallèles à ces axes, on pourra considérer chaque vitesse partielle, comme étant uniforme pendant cet instant : on pourra ensuite concevoir à la fin de l'instant, le point animé parallèlement à l'un de ces axes , de trois vitesses , savoir , de sa vitesse dans cet instant , de la petite variation qu'elle reçoit dans l'instant suivant , et de cette même variation appliquée en sens contraire. Les deux premières de ces vitesses subsistent dans l'instant suivant j la troisième doit donc être détruite par les forces qui sollicitent le point, et par l'action des autres points du système. Ainsi en concevant les variations instantanées des vitesses partielles de chaque point du système, appliquées à ce point en sens contraire; le système doit être en équilibre en vertu de toutes ces variations et des forces qui l'animent. On aura par le principe Ides vitesses virtuelles, les équations de cet équilibre ; et en les combinant avec celles de la liaison des parties du système, on aura les équations différentielles du mouvement de chacun de ses points.

Il est visible que l'on peut ramener de la même manière, les lois du mouvement des fluides à celles de leur équilibre. Dans ce cas, les conditions relatives à la liaison des parties du système, se réduisent à ce que le volume d'une molécule quelconque du fluide, reste toujours le même , si le fluide est incompressible ; et qu'il dépende de la pression suivant une loi donnée, si le fluide est élastique et compressible. Les équations qui expriment ces conditions et les variations du mouvement du fluide , renferment les différences partielles des coordonnées de la molécule, prises soit par rapport au temps, soit par rapport aux oordonnées primitives. L'intégration de ce genre d'équations offre de grandes difficultés, et l'on n'a pu y réussir encore que dans quelques cas particuliers relatifs au mouvement des fluides pesans dans des vases, a la théorie du son, et aux oscillations de la mer et de l'atmosphère.

BU SYSTÈME DU MOrsDE. 17g

La considération des équations différentielles du mouvement d'un système de corps, a fait découvrir plusieurs principes de mécanique, très utiles et qui sont une extension de ceux que nous avons présentés sur le mouvement d'un point, dans le second chapitre de ce livre.

Un point matériel se meut uniformément en ligne droite , s'il n'éprouve pas l'action de causes étrangères. Dans un système de corps agissant les uns sur les autres sans éprouver l'action de causes extérieures , le centre commun de gravité se meut uniformément en ligne droite, et son mouvement est le même que si tous les corps étant supposés réunis à ce point, toutes les forces qui les animent, lui étaient immédiatement appliquées; en sorte que la direction et la quantité de leur résultante, restent constamment les mêmes.

On a vu que le rayon vecteur d'un corps sollicité par une force dirigée vers un point fixe, décrit des aires proportionnelles aux temps. Si l'on suppose un système de corps agissant les uns sur les autres d'une manière quelconque , et sollicités par une force dirigée vers un point fixe ; si de ce point on mène à chacun d'eux , des rayons vecteurs que l'on projette sur un plan invariable passant par ce point; la somme des produits de la masse de chaque corps, par l'aire que trace la projection de son rayon vecteur, est proportionnelle au temps. C'est en cela que consiste le principe de la conservation des aires.

S'il n'y a pas de point fixe vers lequel le système soit attiré, et qu'il ne soit soumis qu'à l'action mutuelle de ses parties; on peut prendre alors tel point que l'on veut , pour origine des rayons vecteurs.

Le produit de la masse d'un corps, par l'aire que décrit la projection de son rayon vecteur , pendant une unité de temps , est égal à la projection de la force entière de ce corps, multipliée par la perpendiculaire abaissée du point fixe, sur la direction de la force ainsi projetée : ce dernier produit est le moment de la force pour faire tourner le système autour de l'axe qui passant par le point fixe, est perpendiculaire au plan de projection ; le principe de la conservation des aires revient donc à ce que la somme des momens des forces finies pour faire tourner le système autour d'un axe quelconque, j^assant par le point fixe , somme qui dans l'état d'équilibre est nulle , est constante dans l'état de mouvement. Présenté de cette manière, ce principe convient à toutes les lois possibles entre la force et la vitesse.

i8o EXPOSITION

On nonvcae force vwe d'un système, la somme des produits de la masse de chaque corps par le carré de sa vitesse. Lorsqu'un corps se meut sur une courbe ou sur une surface , sans éprouver d'action étrangère; sa force vive est toujours la même, puisque sa vitesse est constante. Si les corps d'un système n'éprouvent d'autres actions, que leurs tractions et pressions mutuelles, soit immédiatement, soit par l'entremise de verges et de fils inextensibles et sans ressort; la force vive du système est constante , dans le cas même où plusieurs de ces corps sont astreints à se mouvoir sur des lignes ou sur des surfaces courbes. Ce principe que l'on a nommé principe de la conservation des forces vives , s'étend à toutes les lois possibles entre la force et la vitesse; si l'on désigne Y^ar force vive d'un corps, le double de l'intégrale du produit de sa vitesse, par la différentielle de la force finie dont il est animé.

Dans le mouvement d'un corps sollicité par des forces quelconques, la variation de la force vive est égale à deux fois le produit de la masse du corps, par la somme des forces accélératrices multipliées respectivement par les quantités élémentaires dont le corps s'avance vers leurs origines. Dans le mouvement d'un système de corps, le double de la somme de tous ces produits , est la variation de la force vive du système.

Concevons que dans le mouvement du système , tous les corps arrivent au même instant, dans la position où il serait en équilibre en vertu des forces accélératrices qui le sollicitent : la variation de la force vive y sera nulle par le principe des vitesses virtuelles ; la force vive sera donc alors à son maximum ou à son minimum. Si le système n'était mû que par une seule espèce de ses oscillations simples; les corps en partant de la situation d'équilibre, tendraient à y revenir si réquilibre est stable ; leurs vitesses diminueraient donc à mesure qu'ils s'en éloigneraient, et par conséquent la force vive serait dans cette position, un nuiximum. Mais si l'équilibre n'était point stable, les corps en s'éloignant de cet état, tendraient à s'en écarter davantage, et leurs vitesses iraient en croissant ; leur force vive serait donc alors un mijiimum. De là on peut conclure que si la force vive est constamment un maximum , lorsque les corps parviennent au même instant à la position d'équilibre, quelle que soit leur vitesse, l'équilibre est

BU SYSTÈME DU MONDE. ,8i

stable; et qu'au contraire, il n'a ni stabilité absolue, ni stabilité lelative, si la force vive dans cette position du système, est constamment un mînimwn.

Enfin, on a vu dans le second chapitre, que la somme des intégrales du produit de chaque force finie du système , par l'élément de sa direction , somme qui dans l'état d'équilibre est nulle , devient un minimum dans l'état de mouvement. C'est en cela que consiste le Diincipe de la moindre action, principe qui diffère de ceux du mouvement uniforme du centre de gravité, de la conservation des aires et des forces vives, en ce que ces principes sont de véritables intégrales des équations différentielles du mouvement des corps; au lieu que --elui de la moindre action n'est qu'une combinaison singulière de ces mêmes équations.

La force finie d'un corps, étant le produit de sa masse par sa vitesse; et la vitesse multipliée par l'espace décrit dans un élément du temps, étant égale au produit de cet élément par le carré de la vitesse; le principe de la moindre action peut s'énoncer ainsi. L'intégrale de la force vive d'un système, multipliée par l'élément du temps, est un minimum ; en sorte que la véritable économie de la nature , est celle de la force vive. C'est aussi l'économie que l'on doit se proposer dans la construction des machines qui sont d'autant plus parfaites, qu'elles emploient moins de force vive, pour produire un effet donné. Si les corps ne sont sollicités par aucunes forces accélératrices , la force vive du système est constante ; le système parvient donc d'une position à une autre quelconque, dans le temps le plus court.

On doit faire une remarque importante sur l'étendue de ces divers principes. Celui du mouvement uniforme du centre de gravité, et le principe de la conservation des aires , subsistent dans le cas même oii par l'action mutuelle des corps, il survient des changemens brusques dans leurs mouvemens, et cela rend ces principes très utiles dans beaucoup de circonstances; mais le principe de la conservation des forces vives, et celui de la moindre action exigent que les variations du mouvement du système, se fassent par des nuances insensibles.

Si le système éprouve des changemens brusques par l'action mutuelle des corps ou par la rencontre d'obstacles, la force vive reçoit à chacun de ces changemens, une diminution égale à la somme des

i82 EXPOSITION DU SYSTEME DU MONDE.

produits de chaque corps par le carré de sa vitesse détruite, en concevant sa vitesse avant le changement , décomposée en deux , l'une qui subsiste , l'autre qui est anéantie , et dont le carré est évidemment éffal à la somme des carrés des variations que le changement fait éprouver à la vitesse décomposée parallèlement à trois axes quelconques perpendiculaires entre eux.

Tous ces principes subsisteraient encore , eu égard au mouvement relatif des corps du système , s'il était emporté d'un mouvement général et commun aux foyers des forces , que nous avons supposés fixes. Ils ont pareillement lieu dans le mouvement relatif des corps sur la terre, car il est impossible, comme nous l'avons déjà observé, de juger du mouvement absolu d\m système de corps, par les seules apparences de son mouvement relatif.

Quels que soient le mouvement du système et les variations qu'il éprouve par l'action mutuelle de ses parties ; la somme des produits de chaque corps, par l'aire que sa projection trace autour du centre commun de gravité, sur un plan qui passant par ce point, reste toujours parallèle à lui-même, est constante. Le plan sur lequel cette somme est un maximum , conserve une situation parallèle, pendant le mouvement du système : la même somme est nulle par rapport à tout plan qui passant par le centre de gravité , est perpendiculaire à celui dont nous venons de parler ; et les carrés des trois sommes semblables relatives à trois plans quelconques menés par le centre de gravité, et perpendiculaires entre eux, sont égaux au carré de la somme qui est un maximum. Le plan correspondant à cette somme, jouit encore de cette propriété remarquable, savoir que la somme desproj ections des aires tracées par les corps , les uns autour des autres , et multipliées respectivement par le produit des masses des deux corps que joint chaque rayon vecteur, est un maximum sur ce plan, et sur tous ceux qui lui sont parallèles. On peut donc ainsi retrouver à tous les instans, un plan qui passant par l'un quelconque des points du système, consente toujours une situation parallèle; et comme en y rapportant le mouvement des corps, deux des constantes arbitraires de ce mouvement disparaissent -, il est aussi naturel de choisir ce plan , pour celui des coordonnées, que d'en fixer l'origine, au centre de gravité du système.