CHAPITRE VIIÏ

De la figure de la terre et des planètes , et de la loi de la pesanteur a leur surface.

Nous avons exposé dans le premier livre, ce que les observations ont appris sur la figure de la terre et des planètes : comparons ces résultats, avec ceux de la pesanteur universelle.

La gravité vers les planètes, se compose des attractions de toutes leurs molécules. Si leurs masses étaient fluides et sans mouvement de rotation ; leur figure et celles de leurs différentes couches seraient spbériques , les couches les plus voisines du centre étant les plus denses. La pesanteur à la surface extérieure et au dehors à une distance quelconque, serait exactement la même que si la masse entière de la planète était réunie à son centre de gravité; propriété remarquable en vertu de laquelle le soleil, les planètes, les comètes et les sateUites agissent à très peu près les uns sur les autres, comme autant de points matériels.

A de grandes distances , l'attraction des molécules d'iui corps de figure quelconque, les plus éloignées du point attiré, et celle des molécules les plus voisines, se composent de manière que l'attraction totale est à peu près la même que si ces molécules étaient réunies à leur centre de gravité; et si l'on considère comme une très petite quantité du premier ordre, le rapport des dimensions du corps à sa distance au point attiré ; ce résultat est exact aux quantités près du second ordre. Mais il est rigoureux pour la sphère; et pour un sphéroïde qui en diffère très peu, l'erreur est du même ordre que le produit de son excentricité, par le carré du rapport de son rayon à sa distance au jioint qu'il attire.

La propriété dont jouit la sphère , d'attirer comme si sa masse était

réunie à son centre, contribue donc à la simplicité des mouvemens célestes. Elle ne convient pas exclusivement à la loi de la nature : elle appartient encore à la loi de l'attraction proportionnelle à la simple distance et elle ne peut convenir qu'aux lois formées par l'addition de ces deux lois simples. Mais de toutes les lois qui rendent la pesanteur nulle à une distance infinie, celle de la nature est la seule dans laquelle la sphère a cette propriété.

Suivant cette loi , un corps placé au dedans d'une couche sphérique partout de la même épaisseur, est également attiré de toutes parts; en sorte qu'il resterait en repos au milieu des attractions qu'il éprouve. La même chose a lieu au dedans d'une couche elliptique dont les surfaces intérieure et extérieure sont semblables et semblablement situées. En supposant donc que les planètes soient des sphères homogènes, la pesanteur dans leur intérieur diminue comme la distance à leur centre ; car l'enveloppe extérieure au corps attiré, ne contribue point à sa pesanteur qui n'est ainsi produite que par l'attraction d'une sphère d'un rayon égal à la distance de ce corps, au centre de la planète ; or cette attraction est proportionnelle à la masse de la sphère, divisée par le carré de son rayon , et la masse est comme le cube de ce même rayon; la pesanteur du corps est donc proportionnelle à ce rayon. Mais les couches des planètes étant probablement plus denses à mesure qu'elles sont plus près du centre ; la pesanteur au dedans diminue dans un moindre rapport, quedansle cas de leurhomogénéité.

Le mouvement de rotation des planètes, les écarte un peu de la figure sphérique : la force centrifuge due à ce mouvement, les renfle à l'équateur et les aplatit aux pôles. Considérons d'abord les effets de cet aplatissement dans le cas très simple où la terre étant une masse fluide homogène, la gravité serait dirigée vers son centre et réciproque au carré de la distance à ce point. Il est facile de prouver qu'alors le sphéroïde terrestre est un ellipsoïde de révolution ; car si l'on conçoit deux colonnes fluides se communiquant à son centre et aboutissant, l'une au pôle, el l'autre à un point quelconque de sa surface; il est clair que ces deux colonnes doivent se faire nuituellement équilibre. La force centrifuge n'altère point le poids de la colonne dirigée au pôle : elle diminue le poids de l'autre colonne. Cette force est nulle au centre de la terre: à la surface, elle est proportionnelle au

rayon du parallèle terrestre , ou à fort peu près , au cosinus de la latitude; raais elle n'est pas employée tout entière à diminuer la gravité. Ces deux forces faisant entre elles un angle égal à la latitude, la force centrifuge décomposée suivant la direction de la gravité, est affaiblie, dans le rapport du cosinus de cet angle, au rayon; ainsi à la surface de la terre, la force centrifuge diminue la gravité sur un parallèle quelconque, du produit de la force centrifuge à l'équateur, par le carré du cosinus de la latitude; la valeur moyenne de cette diminution dans la longueur de la colonne fluide est donc la moitié de ce produit; et comme la force centrifuge est -^ de la gravité à l'équateur, cette valeur est jyg de la gravité multipliée par le carré du cosinus de la latitude. Il faut pour l'équilibre, que la colonne par sa longueur, compense la diminution de sa pesanteur; elle doit donc surpasser la colonne du pôle, d'un 578'' de sa grandeur multipliée par le carré du même cosinus. Ainsi les accroissemens des rayons terrestres, du pôle à l'équateur, sont proportionnels à ce carré; d'où il est facile de conclure que la terre est alors un ellipsoïde de révolution dans lequel l'axe des pôles est à celui de l'équateur, comme 677 est à 678.

Il est visible que l'équilibre de la masse fluide subsisterait encore, en supposant qu'une partie vienne à se consolider, pourvu que la force de la gravité reste la même.

Pour déterminer la loi de la pesanteur à la surface de la terre; nous observerons que la giavité à un point quelconque de cette surface, est plus petite qu'au pôle, à raison du plus grand éloignement du centre : cette diminution est à très peu près le double de l'accroissement du rayon terrestre; elle est donc égale au produit d'un 289" de la gravité, par le carré du cosinus de la latitude. La force centrifuge diminue encore la pesanteur, de la même quantité; ainsi, par la réunion de ces deux causes, la diminution de la pesanteur du pôle à l'équateur, est égale à 0,00694 multiplié par le carré du cosinus de la latitude; la gravité à l'équateur, étant prise pour unité.

On a vu dans le premier livre, cpie les mesures des degrés des méridiens donnent à la terre, un a[)latissement plus grand que ^g ; et que les mesures du pendule indiquent une diminution dans la pesanteur, des pôles à l'équateur, moindre (|ue 0,00694 et égale à

25o EXPOSITION

0,00 54 ; les mesures des degrés et du pendule concourent donc à faire voir que la gravité n'est pas dirigée vers un seul point; ce qui confirme à posteriori , ce que nous avons démontré précédemment, savoir, qu'elle se compose des attractions de toutes les molécules de la terre.

Dans ce cas, la loi de la gravité dépend de la figure du sphéroïde terrestre, qui dépend elle-même de la loi de la gravité. Cette dépendance mutuelle des deux quantités inconnues, rend très difficile, la recherche de la figure de la terre. Heureusement, la figure elliptique, la plus simple de toutes les figures rentrantes, après la sphère , satisfait à l'équilibre d'une masse fluide douée d'un mouvement de rotation , et dont toutes les molécules s'attirent réciproquement au carré des distances. Newton se contenta de le supposer, et en partant de cette hypothèse et de celle de l'homogénéité de la terre, il trouva que les deux axes de cette planète sont entre eux, comme 229 est à 23o.

Il est facile d'en conclure la loi de la variation de la pesanteur sur la terre. Pour cela , considérons différens points situés sur un même rayon mené du centre, à la surface d'une masse fluide homogène en équilibre. Toutes les couches elliptiques semblables qui recouvrent l'un quelconque (l'entre eux, ne contribuent point à sa pesanteur; et la résultante des attractions qu'il éprouve, est uniquement due à l'attraction d'un sphéroïde elliptique semblable au sphéroïde entier , et dont la surface passe par ce point. Les molécules semblables et semblablement placées, de ces deux sphéroïdes, attirent respectivement ce point, et le point correspondant de la surface extérieure, proportionnellement aux masses divisées par les carrés des distances; les masses sont comme les cubes des dimensions semblables des deux sphéroïdes, et les carrés des distances sont comme les carrés des mêmes dimensions; les attractions des molécules semblables sont donc proportionnelles à ces dimensions; d'où il suit que les attractions entières des deux sphéroïdes, sont dans le même rapport, et leurs directions sont parallèles. Les forces centrifuges des deux points (]ue nous considérons, sont encore proportionnelles aux mêmes dimensions; leurs pesanteurs (jui sont les résultantes de toutes les forces, sont donc comme leurs distances au centre de la masse fluide.

DU SYSTÈME DU MONDE. aSi

Maintenant, si l'on conçoit deux colonnes fluides dirigées du centre du sphéroïde, l'une au pôle , et l'autre à un point quelconque de la surface ; il est clair que si le sphéroïde est très peu aplati, les pesanteurs décomposées suivant les directions de ces colonnes, seront à très peu près les mêmes que les pesanteurs totales ; en partageant donc les longueurs des colonnes, dans le même nombre de parties infiniment petites proportionnelles à ces longueurs, les poids des parties correspondantes seront entre eux, comme les produits des longueurs des colonnes par les pesanteurs aux points de la surface , ou elles aboutissent; les poids entiers de ces colonnes fluides seront donc dans le même rapport. Ces poids doivent être égaux pour l'équilibre; les pesanteurs à la surface , sont par conséquent, réciproques aux longueurs des colonnes. Ainsi, le rayon de l'équateur surpassant d'un i?>o\ celui du pôle ; la pesanteur au pôle doit surpasser d'un lio" , la pesanteur à l'équateur.

Cela suppose que la figure elliptique satisfait à l'équilibre d'une masse fluide homogène : c'est ce que Maclaurin a démontré par une très belle méthode de laquelle il résulte que l'équilibre est alors rigoureusement possible, et que si l'ellipsoïde est très peu aplati, l'ellipticité est égale à cinq quarts du rapport de la force centrifuge à la pesanteur, à l'équateur.

Au même mouvement de rotation, répondent deux figures différentes d'équilibre ; mais l'équilibre ne peut pas subsister avec tous ces mouvemens. La plus petite durée de rotation d'un fluide homogène en équilibre, de même densité que la moyenne densité de la terre, est de o',ioo9; et cette limite varie réciproquement à la racine carrée de la densité. Quand la rotation est plus rapide , la masse fluide s'aplatit à ses pôles; par là, sa durée de rotation devient moindre et tombe dans les limites convenables à l'état d'éciuilibre. Après un grand nombre d'oscillations, le fluide en vertu des frottemens et des résistances qu'il éprouve, se fixe à cet état qui est unique et déterminé par le mouvement primitif; et quelles que soient les forces primitives des molécules, l'axe mené par le centre de gravité de la masse fluide, et par rapport auquel le moment des forces était un maximum à l'origine, devient l'axe de rotation.

Les résultats précédens fournissent un moyen simple de vérifier

aSa EXPOSITION

l'hypothèse de l'homogénéité de la terre. L'irrégularité des degrés mesurés des méridiens, laisse trop d'incertitude sur l'aplatissement de la terre, pour reconnaître s'il est tel à peu près, que l'exige cette hypothèse; mais l'accroissement assez régulier de la pesanteur, de l'équateur aux pôles, peut nous éclairer sur cet objet. En prenant pour unité la pesanteur à l'équateur; son accroissement au pôle esto,oo435, dans le cas de l'homogénéité de la terre : par les observations du pendule, cet accroissement est o,oo54 ; la terre n'est donc point homogène. 11 est en effet, naturel de penser que la densité de ses couches augmente de la surface au centre : il est même nécessaire pour la stabilité de l'équilibre des mers, que leur densité soit plus petite que la moyenne densité de la terre; autrement, leurs eaux agitées par les vents et par d'autres causes, sortiraient souvent de leurs limites, pour inonder les continens.

L'homogénéité de la terre étant ainsi exclue par les observations; il faut pour déterminer sa figure, considérer la mer comme recouvrant un noyau dont les couches diminuent de densité, du centre à la surface. Clairaut a démontré dans son bel ouvrage sur la figure de la terre, que l'équilibre est encore possible, en supposant une figure elliptique, à sa surface et aux couches du noyau intérieur. Dans les hypothèses les plus vraisemblables sur la loi des densités et des ellipticités de ces couches; l'aplatissement de la terre est moindre que dans le cas de l'homogénéité , et plus grand que si la gravité était dirigée vers un seul point : l'accroissement de la pesanteur de l'équateur aux pôles, est plus grand que dans le premier cas, et plus petit que dans le second. Mais il existe entre l'accroissement total de la pesanteur prise pour unité à l'équateur, et l'ellipticité de la terre , ce rapport remarquable ; savoir , que dans toutes les hypothèses sur la constitution du noyau que recouvre la mer, autant l'ellipticité de la terre entière est au-dessous de celle qui a lieu dans le cas de l'homogénéité, autant l'accroissement total de la pesanteur est au-dessus de celui qui a lieu dans le même cas, et léciproqueiTient; en sorte que la somme de cet accroissement et de rellij)ticité est toujours la même et égale à cinq fois la moitié du rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur, ce qui pour

la terre, revient à — ?— .

Il5,2

En supposant donc la figure des couches du sphéroïde terrestre , elhptique; l'accroissement de ses rayons et de la pesanteur, et la diminution des degrés des méridiens, des pôles à l'équateur, sont proportionnels au carré du cosinus de la latitude; et ils sont liés à l'ellipticité de la terre, de manière que l'accroissement total des rayons est égal à cette elhpticité; la diminution totale des degrés est égale à l'ellipticité multipliée par trois fois le degré de l'équateur; et l'accroissement total de la pesanteur est égal à la pesanteur à l'équateur , multipliée par

l'excès de — l — sur cette ellipticité. Ainsi , l'on peut déterminer l'el-

Il5,2 '

lipticité de la terre , soit par les mesures des degrés, soit par les observations du pendule. L'ensemble de ces observations donne o,oo54 pour l'accroissement de la pesanteur de l'équateur aux pôles, en retranchant cette quantité de — ? — on a ^ pour l'aplatissement de la

terre. Si l'hypothèse d'une figure elliptique est dans la nature, cet aplatissement doit satisfaire aux mesures des degrés ; mais il y suppose , au contraire, des erreurs considérables; et cela joint à la difficulté d'assujettir toutes ces mesures à un même méridien elliptique, semble indiquer luie figure de la terre plus composée qu'on ne l'avait cru d'abord ; ce qui ne paraîtra point étonnant , si l'on considère l'irrégularité de la profondeur des mers , l'élévation des continens et des îles au-dessus de leur niveau, la hauteur des montagnes, et l'inégale densité des eaux des diverses substances qui sont à la surface de cette planète.

Pour embrasser avec la plus grande généralité , la théorie de la figure de la terre et des planètes ; il fallait déterminer l'attraction des sphéroïdes peu différens de la sphère, et formés de couches variables de figure et de densité suivant des lois quelconques; il fallait encore déterminer la figure qui convient à l'équilibre d'un fluide répandu à leur surface; car on doit imaginer les planètes, recouvertes comme la terre, d'un fluide en équilibie; autrement, leur figure serait entièrement arbitraire. D'Alembert a donné pour cet objet, une méthode ingénieuse qui s'étend à un grand nombre de cas; mais elle manque de cette simplicité si désirable dans des recherches aussi compliquées, et qui en fait le principal mérite. Une équation remarquable aux di fiérences

partielles, et relative aux attractions des sphéroïdes, m'a conduit sans le secours des intégrations, et uniquement par des différentiations, aux expressions générales des rayons des sphéroïdes, de leurs attractions sur des points quelconques placés dans l'intérieur , à leur surtàce ou au dehors, des conditions de l'équilibre des fluides qui les recouvrent, de la loi de la pesanteur et de la variation des degrés à la surface de ces fluides. Toutes ces quantités sont liées les unes aux autres, par des rapports très simples, et il en résulte un moyen facile de vérifier les hypothèses que Ton peut faire pour représenter , soit les variations observées de la pesanteur, soit les mesures des degrés des méridiens. Ainsi Bouguer, dans la vue de représenter les degrés mesurés en Laponie, en France et à l'équateur, ayant supposé que la terre est un sphéroïde de révolution sur lequel l'accroissement des degrés du méridien, de l'équateur aux pôles, est proportionnel à la quatrième puissance du sinus de la latitude; on trouve que cette hypothèse ne peut pas satisfaire à l'accroissement de la pesanteur, de l'équateur à Pello, accroissement qid , suivant les observations, est égal a quarante-cinq dix-millièmes de la pesanteur totale, et qui n'en serait que vingt-sept dixmillièm.es, dans cette hypothèse.

Les expressions dont je viens de parler , donnent une solution directe et générale du problème qui consiste à déterminer la figure d'une masse fluide en équilibre, en la supposant douée d'un mouvement de rotation, et composée d'une infinité de fluides de densités quelconques, dont toutes les molécules s'attirent en raison des masses, et réciproquement au carré des distances. M. Legendre avait déjà résolu ce problème par une analyse fort ingénieuse, en supposant la masse homogène. Dans le cas général , le fluide prend nécessairement la figure d'uu ellipsoïde de révolution dont toutes les couches sont elliptiques et diminuent de densité, tandis que leur ellipticité croît du centre à la surface. Les limites de l'aplatissement de l'ellipsoïde entier sont| et ^du rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur ; la première lunite étant relative à l'homogénéité de la masse, et la seconde se rapportant au cas où les couches infiniment voisines du centre étant infiniment denses, toute la masse du sphéroïde peut être considérée comme étant réunie à ce point. Dans ce dernier cas, la pesanteur serait dirigée vers un seul point, et réciproque au carré des distances ;

la figure de la terre serait donc celle que nous avons déterminée cidessus : mais dans le cas général, la ligne qui détermine la direction de la pesanteur, depuis le centre jusqu'à la surface du sphéroïde, est ime courbe dont chaque élément est perpendiculaire à la couche qu'il traverse.

L'analyse dont je viens de parler , suppose le sphéroïde terrestre entièrement recouvert par la mer : mais ce fluide laissant à découvert , une partie considérable de ce sphéroïde , cette analyse, malgré sa généralité, ne représente pas exactement la nature , et il est nécessaire de modifier les résultats obtenus dans l'hypothèse d'une inondation générale. A la vérité , la théorie mathématique de la figure de la terre présente alors plus de difficultés ; mais le progrès de l'analyse, surtout dans cette partie, fournit le moyen de les surmonter et de considérer les continens et les mers , tels que l'observation les présente. En se rapprochant ainsi de la nature, on entrevoit les causes de plusieurs phénomènes importans que l'Histoire naturelle et la Géologie nous offrent; ce qui peut répandre un grand jour sur ces deux sciences, en les rattachant à la théorie du système du monde. Voici les principaux résultats de mon analyse. L'un des plus intéressans est le théorème suivant , qui établit incontestablement l'hétérogénéité des couches du sphéroïde terrestre. i

« Si à la longueur du pendule à secondes, observée sur un point » quelconque de la surface du sphéroïde terrestre, on ajoute le pro- » duit de cette longueur, par la moitié de la hauteur de ce point « au-dessus du niveau de l'Océan déterminée par l'observation du ba- » romètre, et divisée par le demi-axe du pôle ; l'accroissement de cette » longueur ainsi corrigée sera , de l'équateur aux pôles , dans l'hypo- » thèse d'une densité de la terre , constante au-dessous d'une pro- » fondeur peu considérable , le produit de cette longueur à l'équateur, » par le carré du sinus de la latitude, et par cinq quarts du rapport » de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur, ou par 43 dix- » millièmes. »

Ce théorème auquel j'ai été conduit par une équation différentielle du premier ordre, qui a lieu à la surface des sphéroïdes homogènes peu différens de la sphère, est généralement vrai, quelles que soient la densité de la mer et la manière dont elle recouvre en partie la terre.

Il est remarquable, en ce qu'il ne suppose point la connaissance de la figure du sphéroïde terrestre, ni celle de la mer, figures qu'il serait impossible d'obtenir.

Les expériences du pendule, faites dans les deux hémisphères; s'accordent à donner au carré du sinus de la latitude, un coefficient plus grand que /^3 dix-millièmes, et à fort peu près à 54 dix-millièmes de la longueur du pendule à l'équateur. Il est donc bien prouvé par ces expériences, que la terre n'est point homogène dans son intérieur. On voit de plus, en les comparant à l'analyse, que les densités des couches terrestres vont en croissant de la surface au centre.

La régularité avec laquelle la variation observée des longueurs du pendule à secondes suit la loi du carré du sinus de la latitude, prouve que ces couches sont disposées régidièrement autour du centre de gravité de la terre, et que leur forme est à peu près elliptique et de révolution.

L'ellipticité du sphéroïde terrestre peut être déterminée par la mesure des degrés du méridien. Les diverses mesures que l'on a faites, comparées deux à deux , donnent des ellipticités sensiblement différentes; en sorte que la variation des degrés ne suit pas aussi exactement que celle de la pesanteur, la loi du carré du sinus de la latitude. Cela tient aux secondes différentielles du rayon terrestre, que renferment les expressions des degrés du méridien et du rayon osculateur; tandis que l'expression de la pesanteur ne contient que les premières différentielles de ce rayon dont les petits écarts d'un rayon elliptique, s'accroissent par lesdifférentiations successives. Mais si l'on compare des degrés éloignés, tels que ceux de France et de l'équateur; leurs anomalies doivent être peu sensibles sur leur différence; et l'on trouve par cette comparaison , l'ellipticité du sphéroïde terrestre

égale à 3^.

Mais un moyen plus précis d'avoir cette ellipticité, consiste comme on l'a vu précédemment , à comparer avec un grand nombre d'observations, les deux inégalités lunaires dues à l'aplatissemont de la terre, l'une en longitude, et l'autre en latitude. Elles s'accordent à donner

l'aplatissement du sphéroïde terrestre, à 1res peu près égal à ^-^ ; et

ce qui est tligne de remarque, chacune des deux inégalités conduit à ce résultat qui, comme on voit, diffère très peu de celui que donne la comparaison des degrés de France et de l'équateur.

La densité de la mer n'étant qu'un cinquième à peu près , de la moyenne densité de la terre ; ce fluide doit avoir peu d'influence sur les variations des degrés et de la pesanteur, et sur les deux inégalités lunaires dont je viens de parler. Son influence est encore diminuée par la petitesse de sa profondeur moyenne que l'on prouve ainsi. En concevant le sphéroïde terrestre dépouillé de l'Océan , et supposant que dans cet état, sa surfoce devienne fluide, et soit en équilibre; on aura son ellipticité, en retranchant de cinq fois la moitié du rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur, le coefficient que les expériencesdonnentau carré du sinus delà latitude, dans l'expression de la longueur du pendule à secondes, cette longueur à l'équateur étant prise

pour l'unité. On trouve par là j^ pour l'aplatissement du sphéroïde

terrestre , en négligeant la petite influence de l'action de la mer sur la variation de la pesanteur. Le peu de différence de cet aplatissement, à ceux que donnent les mesures des degrés terrestres et les inégalités lunaires, prouve que la surface de ce sphéroïde, serait à fort peu près celle de l'équilibre, si elle devenait fluide. De là, et de ce que la mer laisse à découvert de vastes continens, on conclut qu'elle doit être peu profonde, et que sa profondeur moyenne est du même ordre que la hauteur moyenne des continens et des îles au-dessus de son niveau, hauteur qui ne surpasse pas mille mètres. Cette profondeur est donc une petite fraction de l'excès du rayon de l'équateur sur celui du pôle , excès qui surpasse vingt mille mètres. Mais de même que de hautes montagnes recouvrent quelques parties des continens, de même il peut y avoir de grandes cavités dans le bassin des mers. Cependant , il est naturel de penser que leur profondeur est plus petite que l'élévation des hautes montagnes ; les dépôts des fleuves et les dépouilles des animaux marins, entraînés par les courans, devant remplir à la longue, ces cavités.

Ce résultat est impf)rtant j^our l'Histoire naturelle et pour la Géologie. On ne peut douter que la mer n'ait recouvert une grande partie de nos continens sur lesquels elle a laissé des traces incontestables de son séjour. Les affaisseniens successifs des îles d'alors et d'une partie

fies continens, suivis d'affaissemens étendus du bassin des mers, qui ont découvert les parties précédemment submergées, paraissent indiqués par les divers phénomènes que la surface et les couches des continens actuels nous présentent. Pour expliquer ces affaissemens, il suffit de supposer plus d'énergie à des causes semblables à celles qui ont produit les affaissemens dont l'histoire a conservé le souvenir. L'affaissement d'une partie du bassin de la mer, en découvre une autre partie d'autant plus étendue , que la mer est moins profonde. Ainsi de vastes continens ont pu sortir de l'Océan sans de grands changemens dans la figure du sphéroïde terrestre. La propriété dont jouit cette figure, de différer peu de celle que prendrait sa surface en devenant fluide, exige que l'abaissement du niveau de la mer, n'ait été qu'une petite fraction de la différence des deux axes du pôle et de l'équateur. Toute hypothèse fondée sur un déplacement considérable des pôles à la surface de la terre, doit être rejetée, comme incompatible avec la propriété dont je viens de parler. On avait imaginé ce déplacement, pour expliquer l'existence des éléphans dont on trouve les ossemens fossiles en si grande abondance dans les climats du nord où les éléphans actuels ne pourraient pas vivre. Mais un éléphant que l'on suppose avec vraisemblance , contemporain du dernier cataclysme, et que l'on a trouvé dans une masse de glace, bien conservé avec ses chairs et dont la peau était recouverte d'une grande quantité de poils, a prouvé que cette espèce d'éléphans était garantie par ce moyen , du froid des climats septentrionaux qu'elle pouvait habiter et même lechercher. La découverte de cet animal a donc confirmé ce que la théorie mathématique de la terre nous apprend , savoir que dans les révolutions qui ont changé la surface de la terre, et détruit plusieurs espèces d'animaux et de végétaux, la figure du sphéroïde terrestre et la position de son axe de rotation sur sa surface, n'ont subi que de légères variations.

Maintenant, quelle est la cause qui a donné aux couches du sphéroïde terrestre, des formes à très peu près elliptiques et de densités croissantes de la suiface au centre; qui les a disposées régidièrement autour de leur centre commun de gravité, et qui a rendu sa surface très peu différente de celle qu'il eût prise, si elle avait été primitivement fluide? Si les diverses substances qui composent la terre, ont eu primitivement, par l'effet d'une grande chaleur, l'état fluide;

DU SYSTÈME DU MONDE. ^Sg

les plus denses ont dû se porter vers le centre : toutes ont pris des formes elliptiques, et la surface a été en équilibre. En se consolidant, ces couches n'ont changé que très peu de figure, et alors la terre doit offrir présentement les phénomènes dont je viens de parler. Ce cas a été amplement discuté par les géomètres. Mais ia terre homogène dans le sens chimique , ou formée d'une seule substance dans son intérieur, pourrait encore nous présenter ces phénomènes. On conçoit, en effet, que le poids immense des couches supérieures peut augmenter considérablement la densité des couches inférieures. Jusqu'ici les géomètres n'ont point fait entrer dans leurs recherches sur la figure de la terre , la compressibilité des substances dont elle est formée; quoique Daniel Bernouilli, dans sa pièce sur le flux et le reflux de la mer, eût déjà indiqué cette cause de l'accroissement de densité des couches du sphéroïde terrestre. L'analyse que j'ai appliquée à cet objet dans le onzième livre de la mécanique céleste, m'a fait vonqu'il est possible de satisfaire à tous les phénomènes connus, en supposant la terre formée d'une seule substance dans son intérieur. La loi des densités que la compression donne aux couches de cette substance, n'étant pas connue; on ne peut faire à cet égard, que des hypothèses.

On sait que la densité des gaz croît proportionnellement à leur compression, lorsque la température reste la même. Mais cette loi ne paraît pas convenir aux corps liquides et sofides : il est naturel de penser que ces corps résistent d'autant plus à la compression , qu'ils sont plus comprimés. C'est, en effet, ce que les expériences confirment; en sorte que le rapport de la différentielle de la pression, à la différentielle de la densité, au lieu d'être constant, comme dans les gaz, croît avec la densité. L'expression la plus simple de ce rapport supposé variable, est le produit de la densité par une constante. C'est la loi que j'ai adoptée, parce qu'elle réunit à l'avantage de représenter de la manière la plus simple , ce que nous savons sur la compression des corps, celui de se prêter facilement au calcul , dans la recherche de la figure de la terre; mon objet ilans ce calcul, n'étant que de montrer que cette manière de considérer la constitution intérieure de la terre, peut se concilier avec tous les phénomènes qui dépendent de cette constitution, du moins si le

a6o EXPOSITION

sphéroïde terrestre a été primitivement fluide. Dans l'état solide, l'adhérence des molécules diminue extrêmement leur compression mutuelle , et elle empêcherait la masse entière de prendre la figure régulière qu'elle aurait dans l'état fluide, si elle s'en était primitivement écartée. Ainsi , dans cette hypothèse même sur la constitution de la terre, comme dans toutes les autres, la fluidité primitive de la terre me paraît nécessairement indiquée par la régulaiité de la pesanteur et de la figure de sa surface.

Toute l'Astronomie repose sur l'invariabilité de l'axe de rotation de la terre à la surface du sphéroïde terrestre, et sur l'uniformité de cette rotation. La durée d'une révolution de la terre , autour de son axe, est l'étalon du temps; il est donc bien important d'apprécier l'influence de toutes les causes qui peuvent altérer cet élément. L'axe terrestre se meut autour des pôles de l'écliptique; mais depuis l'époque où l'application du télescope aux instruraens astronomiques a donné le moyen d'observer avec précision, les latitudes terrestres, on n'a reconnu dans ces latitudes, aucune variation qui ne puisse être attribuée aux erreurs des observations ; ce qui prouve que Taxe de rotation a, depuis cette époque, répondu à très peu près au même point de la surface terrestre; il paraît donc que cet axe est invariable. L'existence d'axes semblables dans les corps solides est connue depuis long-temps. On sait que chacun de ces corps a trois axes principaux rectangulaires, autour desquels il peut tourner luiiformément, l'axe de rotation demeurant invariable. Mais cette propriété remarquable est-elle commune aux corps cpii, comme la terre, sont recouverts en partie, d'un fluide? La condition de l'équilibre du fluide s'ajoute alors aux conditions des axes principaux : elle change la figure de la surlace, lorsque l'on fait changer l'axe de rotation. Il s'agit donc de savoir si parmi tous les changemens possibles, il en est un dans lequel l'axe de rotation et l'équilibre du fluide sont invariables. L'analyse prouve que si l'on fait passer très près du centre de gravité du sphéroïde terrestre, un axe fixe autour diicpie! il puisse tourner librement; la mer pourra toujours prendre sur la surface du sphéioïde, un état constant d'équilibre. J'ai donné dans le onzième livre cité, pour déterminer cet état, une méthode d'approximation ordonnée suivant les puissances du rapport de la densité de la mer h la moyenne densité de la

DU SYSTÈME DU MONDE. ^Gi

terre, rapport qui n'étant que g, rend l'approximation convergente.

L'irrégularité de la profondeur de la mer et de son contour, ne permet pas d'obtenir cette approximation. Mais il suffît d'en reconnaître la possibilité, pour être assuré de l'existence d'un état d'équilibre delà mer. La position de l'axe fixe de rotation étant arbitraire ; il est naturel de penser que parmi tous les changemens que l'on peut faire subir à cette position , il en est un dans lequel l'axe passe par le centre commun de gravité de la mer et du sphéroïde qu'elle recouvre, de manière que ce fluide étant en équilibre et congelé dans cet état cet axe soit un axe principal de rotation de l'ensemble du sphéroïde terrestre et de la mer : il est visible qu'en rendant à la masse cono-elée, sa fluidité, l'axe sera toujours un axe invariable de la terre entière. Je fais voir par l'analyse, qu'un tel axe est toujours possible, et je donne les équations qui déterminent sa position. En appliquant ces équations au cas où la mer recouvre en entier le sphéroïde, je suis parvenu à ce théorème :

" Si l'on imagine la densité de chaque couche du sphéroïde terrestre, » diminuée de la densité de la mer; et si, par le centre de gravité de » ce sphéroïde imaginaire, on conçoit un axe principal de rotation de » ce sphéroïde ; en faisant tourner la terre autour de cet axe la mer » étant en équilibre , cet axe sera l'axe principal de la terre entière » dont le centre de gravité sera celui du sphéroïde imaginaire. «

Ainsi, la mer qui recouvre eu partie le sphéroïde terrestre, nonseulement ne rend pas impossible l'existence d'un axe principal, mais encore par sa mobilité et par les résistances que ses oscillations éprouvent, elle rendrait à la terre, un état permanent d'équilibre, si des causes quelconques venaient à le troubler.

Si la mer était assez profonde pour recouvrir la surface du sphéroïde terrestre, en le supposant tourner successivement autour des trois axes principaux du sphéroïde imaginaire dont nous venons de parler; chacun de ces axes serait un axe principal de la terre entière. Mais la stabilité de l'axe de rotation n'a lieu, comme dans un corps solide, que relativement aux deux axes principaux pour lesquels le moment d'inertie est un maximum ou un minimum. Il y a cependant entre un corps solide et la terre, cette différence, savoir qu'en changeant d'axe

de rotation , le corps solide ne change pas de figure ; au lieu que par ce changement, la surface de la mer prend une autre figure. Les trois figures que prend cette surface, en tournant successivement avec une même vitesse angulaire de rotation, autour de chacun des trois axes de rotation du sphéroïde imaginaire, ont des rapports fort simples que je détermine; et il résulte de mon analyse, que le rayon moyen entre les rayons des trois surfaces de la mer, correspondans au même point de la surface du sphéroïde terrestre , est égal au rayon de la surface de la mer en équilibre sur ce sphéroïde privé de tout mouvement de rotation.

J'ai discuté dans le cinquième livre de la Mécanique céleste, l'influence des causes intérieures telles que les volcans, les tremblemens de terre, les vents, les courans de la mer, etc., sur la durée de la rotation delà terre; et j'ai fait voir au moyen du principe des aires , que cette influence est insensible , et qu'il faudrait pour produire im effet sensible, qu'en vertu de ces causes, des masses considérables eussent été transportées à de grandes distances; ce qui n'a point eu lieu depuis les temps historiques. Mais il existe une cause intérieure d'altération de la durée du jour, que l'on n'a point encore considérée, et qui, vu l'importance de cet élément , mérite une discussion spéciale. Cette cause est la chaleur du sphéroïde terrestre. Si , comme tout porte à le croire , la terre entière a été primitivement fluide ; ses dimensions ont diminué successivement avec sa température : sa vitesse angulaire de rotation a augmenté graduellement, et elle continuera de s'accroître, jusqu'à ce que la terre soit parvenue à l'état constant de température moyenne de l'espace où elle se meut. Pour avoir une idée juste de cet accroissement de vitesse angulaire, que l'on imagine dans un espace d'une température donnée, un globe de matière homogène, tournant sur son axe dans un jour. Si l'on transporte ce globe dans un espace dont la température soit moindre d'un degré centésimal , et si l'on suppose que sa rotation ne soit altérée, ni par la résistance d'un milieu, ni par le frottement; ses dimensions diminueront par la diminution de la température; et lorsqu'à la longue, il aura pris la température du nouvel espace, son rayon sera dimiiuié d'une quantité que je supposerai être un centmillième , ce qui a lieu à peu près pour un globe do verre, et ce que l'on peut admettre pour la terre. Le poids de la chaleur a été inap-

préciable dans toutes les expériences que l'on a faites pour le mesurer; elle paraît donc, comme la lumière, n'apporter aucune variation sensible dans la masse des corps ; ainsi , dans le nouvel espace deux choses peuvent être supposées les mêmes que dans le premier, savoir , la masse du globe , et la somme des aires décrites dans un temps donné, par chacune de ses molécules rapportées au plan de son équateur. Les molécules se rapprochent du centre du globe, d'un cent-millième de leur distance à ce point. L'aire qu'elles décrivent sur le plan de l'équateur étant proportionnelle au carré de cette distance, diminuerait donc à fort peu près d'un cinquante-millième, si la vitesse angulaire de rotation n'augmentait pas; d'où il suit que pour la constance de la somme des aires dans un temps donné, l'accroissement de cette vitesse, et par conséquent la diminution de la durée de la rotation doivent être d'un cinquante-millième : telle est donc la diminution finale de cette durée. Mais avant de parvenir à son état final, la température du globe diminue sans cesse, et plus lentement au centre qu'à la surface; en sorte que par les observations de cette diminution, comparées à la théorie de la chaleur, on pourrait déterminer l'époque où le globe a été transporté dans le nouvel espace. La terre paraît être dans un état semblable. Cela résulte des observations thermométriques faites dans des mines profondes , et qui indiquent un accroissement de chaleur, très sensible à mesure que l'on pénètre dans l'intérieur de la terre. La moyenne des accroissemens observés parait être d'un degré centésimal pour un enfoncement de 52 mètres; mais un très grand nombre d'observations fera connaître exactement sa valeur qui peut n'être pas la même dans tous les climats (i).

(i) Imaginons au-dessous d'un plateau d'une grande étendue et à la profondeur d'environ trois mille mètres , un vaste réservoir d'eau entretenu par les eaux pluviales. Elles acquièrent à cette profondeur, par la chaleur terrestre , une températui-e à peu près égale à celle de l'eau bouillante. Supposons ensuite que par la pression des colonnes d'eau , adjacentes , ou par les vapeurs qui s'élèvent du réservoir, les eaux remontent jusqu'à la hauteur de la partie inférieure du plateau d'où elles s'écoulent ensuite ; elles formeront une source d'eau chaude imprégnée des --.ubstances solubles des couches (ju'elle aura traversées : ce qui donne une explication vraisemblable des eaux thermales.

Il était nécessaire pour avoir raccroissement de la rotation de la terre, de connaître la loi de diminution de la chaleur, du centre à la surface. C'est ce que j'ai fait dans le onzième livre de la Mécanique céleste pour un globe primitivement échauffé d'une manière quelconque, et de plus soumis à l'action échauffante d'une cause extérieure. La loi dont il s'agit, que j'ai publiée en 1819 dans le recueil de la Connaissance des Tems, et que M. Poisson a confirmée depuis par une savante analyse, est représentée par une suite infinie de termes qui ont pour facteurs, des quantités constantes successivement plus petites que l'unité , et dont les exposans croissent proportionnellement au temps. La longueur du temps fait ainsi disparaître ces termes, les uns après les autres; en sorte qu'avant l'établissement de la température finale , il n'y a de sensible, qu'un seul de ces termes qui produit l'accroissement de température dans l'intérieur du globe. J'ai supposé la terre parvenue à cet état dont elle est, peut-être , encore fort éloignée. Mais ne cherchant ici qu'à présenter un aperçu de l'influence de la diminution de sa chaleur intérieure, sur la durée du jour ; j'ai adopté cette hypothèse, et j'en ai conclu l'accroissement de la vitesse de rotation. Il fallait pour réduire cet accroissement en nombres, déterminer numériquement deux constantes arbitraires dépendantes, l'une, de la faculté conductrice de la terre pour la chaleur, l'autre , de l'élévation de température de sa couche superficielle, au-dessus delà température de l'espace qui l'environne. J'ai déterminé la première constante, au moyen des variations de la chaleur annuelle à diverses profondeurs; et pour cela, j'ai fait usage des expériences de M. de Saussure, que ce savant a citées dans le n° 1422 de son J^oyage dans les Alpes. Dans ces expériences, la variation annuelle de la chaleur à la surface, a été réduite à un douzième^ à la profondeur de 9"',G. J'ai supposé ensuite, que dans nos mines, l'accroissement de la chaleur est d'un degré centésimal, pour un enfoncement de 32 mètres; et que la dilatation linéaire des couches terrestres est d'un cent millième pour chaque degré de température. Je trouve au moyen de ces données, que la durée du jour n'a pas augmenté d'un demi-centième de seconde centésimale, depuis deux mille ans ; ce qui est dû |)rincipalement à la grandeur du rayon terrestre.

A la vérité, j'ai supposé la terre homogène, et il est incontestable que les densités de ses couches croissent de la surface au centre. Mais

DU SYSTÈME DU MONDE. u65

on doit observer ici que la quantité de chaleur et son mouvement seraient les mêmes dans une substance hétérogène, si dans les parties correspondantes des deux corps, la chaleur et la propriété de la conduire étaient les mêmes. La matière peut être ici considérée comme un véhicule de la chaleur qui peut être le même dans des substances de densités diflérentes. Il n'en est pas ainsi des propriétés dynamiques qui dépendent de la masse des molécules. Ainsi, nous pouvons dans cet aperçu des effets de la chaleur terrestre sur la durée du jour, étendre à la terre hétérogène, les données sur la chaleur, relatives à la terre homogène. On trouve ainsi que l'accroissement de densité des couches du sphéroïde terrestre , diminue l'effet de la chaleur sur la durée du jour, effet qui depuis Ilipparque , n'a pas augmenté cette

durée, de 5 — .

Le terme dont dépend l'accroissement de la chaleur intérieure de la terre, n'ajoute pas maintenant un cinquième de degré, à la température moyenne de sa surface. Son anéantissement, qu'une très longue suite de siècles doit produire, ne fera donc disparaître aucune des espèces d'êtres organisés , actuellement existantes, du moins, tant que la chaleur propre du soleil et sa distance à la terre n'éprouveront point d'altération sensible.

Au reste, je suis fort éloigné de penser que les suppositions précédentes sont dans la nature : d'ailleurs, les valeurs observées des deux constantes dont j'ai parlé, dépendent de la nature du sol qui dans diverses contrées , n'a pas les mêmes qualités relatives à la chaleur. Mais l'aperçu que je viens de présenter, suffit pour faire voir que les phénomènes observés sur la chaleur de la terre, peuvent se concilier avec le résultat que j'ai déduit de la comparaison de la théorie des inégaUtés séculaires de la lune , et des observations dos anciennes éclipses, savoir que depuis Hipparque, la durée du jour n'a pas varié d'un centième de seconde.

Mais quel est le rapport de la moyenne densité de la terre, à celle d'une sui)stance coiuuie de sa surface? L'effet de l'attraction des montagnes sur les oscillations du pendule, et sur la direction du fil-àplomb, [leut nous conduire à la solution de ce problènu' intéressant. A )a vérit:-, les plus hautes montagnes sont toujours fort petites par

rapport à la terre ; mais nous pouvons approcber fort près , du centre (le leur action, et cela joint à la précision des observations modernes, doit rendre leurs effets sensibles. Les montagnes très élevées du Pérou semblaient propres à cet objet : Bouguer ne négligea point une observation aussi importante , dans son voyage entrepris pour la mesure des degrés du méridien à l'équateur. Mais ces grands corps étant volcaniques et creux dans leur intérieur, l'effet de leur attraction s'est trouvé beaucoup moindre que celui auquel on devait s'attendre à raison de leur grosseur. Cependant, il a été sensible; la diminution de la pesanteur, au sommet du Pichincba, aurait été 0,00149, ^«^"^ l'attraction de la montagne, et elle n'a été observée que de 0,001 18 : l'effet de la déviation du fil-à-plomb, par l'action d'une autre montagne . a surpassé 20". M. Maskeline a mesuré depuis , avec un soin extrême, un effet semblable produit par l'action d'une montagne d'Ecosse : il en résulte que la moj'cnne densité de le terre est environ double de celle de la montagne, et quatre ou cinq fois plus grande que celle de l'eau commune. Cette curieuse observation mérite d'être répétée sur différentes montagnes dont la constitution intérieure soit bien connue. Cavendish a déterminé cette densité, par l'attraction de deux globes métalliques d'un grand diamètre, et qu'il est parvenu à rendre sensible, au moyen d'un procédé fort ingénieux. Il résulte de ses expériences, que la densité moyenne de la terre, est à celle de l'eau , à fort peu près dans le rapport de 11 à 2; ce qui s'accorde avec le rapport précédent, aussi bien qu'on doit l'attendre d'observations et d'expériences aussi délicates.

Je vais présenter ici quelques considérations sur le niveau de la mer et sur les réductions de ce niveau. Imaginons autour de la terre un fluide très rare, partout de la même densité, 1res peu élevé; mais qui cependant embrasse les plus hautes montagnes : telle serait à fort peu près notre atmosphère réduite à sa moyenne densité. L'analyse lail voii' que les points correspondans des deux surflicesdela mer et de ce fluide, sont séparés jiar le même intervalle. En prolongeant donc par la pensée, la surface de la mer, au-dessous des continens el de la surface du fluide, de manière que les deux surfaces soient toujouis séparées par cet intervalle ; elle sera ce que je nomme niveau de la mer. C'est l'elliplicité lie ces deux surfaces, qur les mesures des degrés déterminent :

c'est encore la variation de la pesanteur à la surface du fluide supposé,

qui ajoutée à l'ellipticité de cette surface, donne une somme constante

égaleà- du rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur.

C'est donc à cette surface, ou à la surface de la mer prolongée comme on vient de le dire, qu'il faut rapporter les mesures des degrés et du pendule, observées sur les contiiiens. Or on prouve facilement que la pesanteur ne varie sensiblement du point du continent au point correspondant de la surface du fluide supposé, qu'à raison de la distance de ces deux points, lorsque la pente jusqu'à la mer est peu considérable. On ne doit donc dans la réduction de la longueur du pendule au niveau de la mer, avoir égard alors qu'à la hauteur au-dessus de ce niveau tel que nous venons de le définir. Pour rendre cela sensible par les résultats du calcul dans un casque j'ai soumis à l'analyse (i), concevons que la terre soit un ellipsoïde de révolution recouvert en partie par la mer dont nous supposerons la densité très petite par rapport à la moyenne densité de la terre. Si l'ellipticité du sphéroïde terrestre est moindre que celle qui convient à l'équilibre de sa surface supposée fluide, la mer recouvrira l'équateur terrestre jusqu'à une certaine latitude. Les degrés mesurés sur les continens, et augmentés dans le rapport de leur distance à la surface du fluide supposé, le rayon terrestre étant pris pour unité, seront ceux que l'on mesurerait à cette surface. La longueur du pendule à secondes, diminuée suivant le double de ce rapport, sera celle que l'on observerait à cette même surface; et l'ellipticité déterminée parla mesure des degrés, sera la même que l'on

obtiendiait en retranchant de- du rapport de la force centrifuge à la

pesanteur à l'équateur, l'excès de la pesanteur polaire sur la pesanteur équatoriale prise pour unité de pesanteur.

Appliquons la théorie précédente, à Jupiter. La force centrifuge due au mouvement de rotation de cette planète, est à fort peu près -^ de la pesanteur à son équateur; du moins, si l'on adopte la distance du quatrième satellite à son centre, donnée dans le second livre. Si Jupiter était homogène, on aurait le diamètre de son équateur, en

(1) Livie XI du Traité de Mécanique céleste.

ajoutant à son petit axe pris pour unité, cinq quarts de la fraction précédente; ces deux axes seraient donc dans le rapport de lo à 9,06. Suivant les observations, leur rapport est celui de 10 à 9,43; Jupiter n'est donc pas homogène. En le supposant formé de couches dont les densités diminuent du centre, à la surface; son ellipticité doit être comprise entre ~ et -^. L'ellipticité observée tombant dans ces limites, nous prouve l'hétérogénéité de ses couches, et par analogie, celle des couches du sphéroïde terrestre, déjà reconnue par les mesures du pendule, et qui a été confirmée par les inégalités de la lune, dépendantes de l'aplatissement de la terre.