CHAPITRE XI

Du flux et reflux de la Mer.

Newton a donné le premier, la vraie théorie du flux et du reflux de la mer, en la rattachant à son grand principe de la pesanteur universelle. Kepler avait bien reconnu la tendance des eaux de la mer vers les centres du soleil et de la lune; mais ignorant la loi de cette tendance, et les méthodes nécessaires pour la soumettre au calcul, il n'a pu donner sur cet objet, qu'un aperçu fort vraisemblable. Galilée dans ses dialogues sur le Système du Monde, exprime son étonnement et ses regiets de ce que cet aperçu qui lui semblait ramener dans la philosophie naturelle, les qualités occultes des anciens, eût été présenté par un homme tel c[ue Kepler. Il expliqua le flux et le reflux, par les changemens diin-nes que la rotation de la terre, combinéeavec sa révolution autour du soleil, produit dans le mouvement absolu de chaquemolécule de la mer. Son explication lui parut tellement incontestable, qu'il la donna comn)e l'une des preuves principales du système de Copernic, dont la défense lui suscita tant de persécutions. Les découvertes ultérieures ont confirmé l'aperçu de Kepler, et détruit l'explication de Galilée , qui répugne aux lois de l'équilibre et du mouvement desfluides.

La théorie de Newton parut en 1687, dans son ouvrage des Principes mathématiques de la Philosophie naturelle. Il y considère la mer comme un fluide dc^ mrme densité (jue la terre qu'il i-ecouvrc totalement, et (pii prend à chaque instant, la figure où il seraiten équilibre sous l'action du soleil. En supposant ensuite que cette figure est celle d'un ellipsoïde de révolution, dont le grand axe est dirigé vers le soleil; il détermine le rapport des deux axes, par le même procédé qui lui avait donné le rapport des axes de la terre aplatie par la

force centrifuge de son mouvement de rotation. Le grand axe de l'ellipsoïde aqueux étant dirigé constamment vers le soleil , la plus grande hauteur de la mer dans chaque port, quand le soleil est à l'équateur, doit arriver à midi et à minuit : le plus grand ahaissement doit avoir lieu au lever et au coucher de cet astre.

Développ ons la manière dont le soleil agit sur la mer pour trouble son équilibre. Il est visible que si le soleil animait de forces égales et parallèles, le centre de gravité de la terre et toutes les molécules de la mer; le système entier du sphéroïde terrestre et des eaux qui le recouvrent, obéirait à ces forces, d'un mouvement commun, et l'équi- Hbre des eaux ne serait point troublé; cet équilibre n'est donc altéré que par la différence de ces forces, et par l'mégalité de leurs directions. Une molécule de la mer, placée au-dessous du soleil, en est plus attirée que le centre de la terre: elle tend ainsi à se séparer de sa surface; mais elle y est retenue par sa pesanteur que cette tendance diminue. Un demi-jour après, cette molécule se trouve en opposition avec le soleil qui l'attire alors plus faiblement que le centre de la terre; la surface du globe terrestre tend donc à s'en séparer; mais la pesanteur de la molécule l'y retient attachée; cette force est donc encore diminuée par l'attraction solaire, et il est facile de s'assurer que la distance du soleil à la terre, étant fort grande relativement au rayon du globe terrestre, la diminution de la pesanteur dans ces deux cas, est à très peu près la même. Une simple décomposition de l'action du soleil sur les molécules delà mer, suffit pour faire voir que dans toute autre position de cet astre par rapport à ces molécules, son action pour troubler leur équilibre, redevient la même après un demijour.

La loi suivant laquelle la mer s'élève et s'abaisse, peut se déterminer ainsi. Concevons un cercle vertical dont la circonférence représente un demi-jour, et dont le diamètre soit égal à la marée totale, c'est-à-dire, à la différence des hauteurs de la pleine et de la basse mer ; supposons que les arcs de cette circonférence, à partir du point le plus bas , expriment les temps écoulés depuis la basse mer; les sinus verses de ces arcs seront les hauteurs de la mer, qui correspondent à ces temps : ainsi la mer en s'élevant , baigne en temps égal , des arcs égaux

de cette circonférence.

à 76 EXPOSITION

Plus une mer est vaste, plus les phénomènes des marées doivent être sensibles. Dans une masse fluide, les impressions que reçoit chaque molécule, se communiquent à la masse entière : c'est par là que l'action du soleil , qui est insensible sur une molécule isolée , produit sur l'Océan, des effets remarquables. Imaginons un canal courbé sur le fond de la mer , et terminé à l'une de ses extrémités , par un tube vertical qui s'élève au-dessus de sa surface, et dont le prolongement passe par le centre du soleil. L'eau s'élèvera dans ce lube, par l'action directe de l'astre qui diminue la pesanteur de ses molécules , et surtout par la pression des molécules renfermées dans le canal, et qui toutes font un effort pour se réunir au-dessous du soleil. L'élévation de l'eau dans le tube, au-dessus du niveau naturel de la mer, et l'intégrale de ces efforts infiniment petits : si la longueur du canal augmente, cette intégrale sera plus grande, parce qu'elle s'étendra sur un plus long espace, et parce qu'il y aura plus de différence dans la direction et dans la quantité des forces dont les molécules extrêmes seront animées. On voit par cet exemple, l'influencede l'étendue des mers sur le phénomène des marées, et la raison pour laquelle le flux et le reflux sont insensil)les dans les petites mers , telles que la mer Noire et la mer Caspienne.

l^a grandeur des marées dépend beaucoup des circonstances locales : les ondulations de la mer, resserrées dans un détroit, peuvent devenir fort grandes; la réflexion des eaux par les côtes opposées, peut les augmenter encore. C'est ainsi que les marées généralement fort petites dans les îles de la mer du Sud , sont très considérables dans nos ports.

Si l'Océan recouvrait un sphéroïde de révolution , et s'il n'éprouvait dans ses mouvemens, aucune résistance; l'instant de la pleine mer serait celui du passage du soleil au méridien supérieur ou inférieur; mais il n'en est pas ainsi dans la nature, et les circonstances locales tout varier considérablement l'heure des marées, dans des ports même fort voisins. Pour avoir une juste idée de ces variétés, imaginons un large canal communi(juant avec la mer, et s'avançant fort loin dans les terres : il est visible que les ondulations (jui ont lieu à son enibourhure, se propageront successivement dans toute sa longueur, en sorte (|ue la figure de sa surface sera formée d'une suite de grandes ondes (Il luouvemeut, (pii se renouvelleront sans cesse, et qui parcourront

leur longueur, dans l'intervalle d'un demi-jour. Ces ondes produiront à chaque point du canal, un flux et un reflux qui suivront les lois précédentes; mais les heures du flux retarderont, à mesure que les points seront plus éloignés de l'embouchure. Ce que nous disons d'un canal, peut s'appliquer aux fleuves dont la surface s'élève et s'abaisse par des ondes semblables, malgré le mouvement contraire de leurs eaux. On observe ces ondes, dans toutes les rivières près de leur embouchure : elles se propagent fort loin dans les grands fleuves; et au détroit de Pauxis dans la rivière des Amazones, à quatre-vingts myriamètres de la mer, elles sont encore sensibles.

L'action de la lune sur la mer y produit un ellipsoïde semblable à celui que produit l'action du soleil; mais il est plus allongé, parce que l'action lunaire est plus puissante. Le peu d'excentricité de ces ellipsoïdes permet de les concevoir superposés l'un à l'autre, en sorte que le rayon de la surface de la mer soit la demi- somme des rayons correspondans de leurs surfaces. ■

De là naissent les principales variétés du flux et du reflux de la mer. Dans les syzygies, les deux grands axes coïncident, et la plus grande hauteur de la mer arrive aux instans de midi et de minuit : le plus grand abaissement a lieu au lever et au coucher des astres. Dans les quadratures, le grand axe de l'ellipsoïde lunaire et le petit axe de l'ellipsoïde solaire coïncident; la pleine mer a donc lieu au lever et au coucher des astres, et elle est le minimum des pleines mers : la basse mer arrive aux instans de midi et de minuit, et elle est \e maximum des basses mers. En exprimant donc l'action de chaque astre, par la différence des deux demi-axes de son ellipsoïde, qui lui est évidemment proportionnelle; on voit que si le port est situé à l'équateur, l'excès de la plus haute mer syzygie sur la basse mer syzygie, exprimera la somme des actions lunaires et solaires, et l'excès de la plus haute mer quadrature sur la plus basse mer quadrature, exprimera la différence de ces actions. Si le port n'est pas à l'équateur, il faut multiplier ces excès, par le carré du cosinus de sa latitude. On peut donc par l'observation des hauteurs des marées syzygies et quadratures, déterminer le rapport de l'action de la lune à celle du soleil. Newton conclut de quekpies observations faites à Bristol , que ce rapport est celui de quatre et demi à l'unité. Les distances des astres au centre delà terre influent sur tous

ces effets ; l'action de chaque astre étant réciproque au cube de sa

distance.

Quant à l'intervalle des pleines mers d'un jour à l'autre, Newton observe qu'il est le plus petit dans les syzygies; qu'il croît en allant d'une syzygie à la quadrature suivante; que dans le premier octant, il est égal à un jour lunaire, et qu'il est à son maximum dans la quadrature; qu'ensuite il diminue , qu'à l'octant suivant, il redevient égal au jour lunaire, et qu'enfin dans la syzygie, il reprend son minimum. Sa valeur moyenne est un jour lunaire, en sorte qu'd y a autant de pleines mers, que de passages de la lune au méridien supérieur et inférieur.

Tels seraient suivant la théorie de Newton, les phénomènes des marées, si le soleil et la lune se mouvaient dans le plan de l'équateur. Mais l'observation a fait connaître que les plus hautes mers n'arrivent point au moment même de la syzygie, mais un jour et demi après. Newton attribue ce retard, au mouvement d'oscillation de la mer, qui se conserverait encore quelque temps , si l'action des astres venait à cesser. La théorie exacte des ondulations de la mer produites par cette action, fait voir que sans les circonstances accessoires, les plus hautes pleines mers coïncideraient avec la syzygie , et que les pleines mers les plus basses coïncideraient avec la quadrature. Ainsi leur retard sur les instans de ces phases, ne peut être attribué à la cause que Newton lui assigne : il dépend ainsi que l'heure de la pleine mer dans chaque port, des circonstances accessoires. Cet exemple nous montre combien on doit se défier des aperçus même les plus vraisemblables, quand ils ne sont point vérifiés par une rigoureuse analyse.

Cependant la considération de deux ellipsoïdes superposés l'un à l'autre, peut encore représenter les marées, pourvu que l'on dirige le grand axe de l'ellipsoïde solaire vers un soleil fictif toujours également éloigné du vrai soleil. Le grand axe de l'ellipsoïde lunaire doit être pareillement dirigé vers une lune fictive toujours également éloignée de la véritable, mais à une distance telle que la conjonction des deux astres ficlils, n'arrive qu'un jour et demi après la syzygie.

Cette considéiation de deux ellipsoïdes, étendue au cas où les astres se meuvent dans des orbes inclinés à l'équateur, ne peut se concilier avec les observations. Si le port est situé à l'équateur, elle donne vers le maximum des marées, les deux pleines mers du matin et

DU SYSTÈME DU MONDE. àr^

du soir, à 1res peu près égales, quelle que soit la déclinaison des astres; seulement l'action de chaque astre est diminuée dans le rapport du carré du cosinus de sa déclinaison à l'unité. Mais si le port a une latitude, ces deux pleines mers pourraient être fort différentes, et quand la déclinaison des astres est égale à l'obliquité de l'écliptique, la marée du soir à Brest serait environ huit fois plus grande que celle du matin. Cependant les observations très multipliées dans ce port font voir qu'alors , ces deux marées y sont presque égales , et que leur plus grande différence n'est pas un trentième de leur somme. Newton attribue la petitesse de cette différence , à la même cause par laquelle il avait expliqué le retard de la plus haute mer, sur l'instant de la syzygie, savoir au mouvement d'oscillation de la mer, qui, suivant lui, reportant une grande partie de la marée du soir sur la haute mer suivante du matin, rend ces deux marées piesque égales. Mais la théorie des ondulations de la mer, fait voir encore que cette explication n'est pas exacte, et que sans les circonstances accessoires, les deux marées consécutives ne seraient égales, que dans le cas où la mer aurait partout la même profondeur.

En 1738, l'Académie des Sciences proposa la cause du flux et du reflux de la mer, pour le sujet du prix de mathématiques qu'elle décerna en 1740. Quatre pièces furent couronnées : les trois premières, fondées sur le principe de la pesanteur universelle, étaient de Daniel Bernouilli, d'Euler et de Maclaurin. Le jésuite Cavalleri, auteur de la quatrième, avait adopté le système des tourbillons. Ce fut le dernier honneur rendu à ce système, par l'Académie qui se remplissait alors de jeunes géomètres dont les heureux travaux devaient contribuer si puissamment au progrès de la mécanique céleste.

Les trois pièces qui ont pour base la loi de la pesanteur universelle, sont des développemens de la théorie de Newton. Elles s'appuient nonseulement sur cette loi, mais encore sur l'hypothèse adoptée parce grand géomètre, savoir que la mer prend à chaque instant, la hgure où elle serait en équilibre sous l'astre qui l'attire.

La pièce de Bernouilli est celle qui contient les développemens les plus étendus. Bernouilli attribue comme Newton, le retard des maxima et minima des marées, sur les instans des syzygies et des quadratures, à l'inertie des eaux de la mer, et peut-être, ajoute-t-il, une

28o EXPOSITION

partie de ce retard dépend du temps que l'action de la lune emploie à parvenir à la terre. Mais j'ai reconnu que l'attraction universelle se transmet entre les corps célestes avec une vitesse qui , si elle n'est pas infinie, surpasse plusieurs millions de fois la vitesse de la lumière; et l'on sait que la lumière de la lune parvient en moins de deux secondes à la terre.

D'Alembert, dans son traité sur la cause générale des vents, qui remporta en 1746, le prix proposé sur cet objet par l'Académie des Sciences de Prusse, considéra les oscillations de l'atmosphère, produites par les attractions du soleil et de la lune. En supposant la terre privée de son mouvement de rotation , dont il jugeait la considération inutile dans ces recherches, et supposant l'atmosphère partout également dense et soumise à l'attraction d'un astre en repos, il détermina les oscillations de ce fluide. Mais lorsqu'il voulut traiter le cas où l'astre est en mouvement , la difficulté du problème le força de recourir, pour le simplifier, à des hypothèses précaires dont les résultats ne peuvent pas même être considérés comme des approximations. Ses formules donnent imvent constant d'orient en occident, mais dont l'expression dépend de l'état initial de l'atmosphère; or les quantités dépendantes de cet état ont dû disparaître depuis long-temps, par toutes les causes qui rétabliraient l'équilibre de l'atmosphère, si l'action des astres venait à cesser ; on ne peut donc pas expliquer ainsi les vents aUsés. Le Traité de D'Alembert est remarquable par les solutions de quelques problèmes sur le calcul intégral aux différences partielles, solutions dont il fit, un an après, l'application la plus heureuse au mouvement des cordes vibrantes.

Le mouvement des fluides qui recouvrent les planètes était donc un sujet presque entièrement neuf, lorsque j'entrepris en 1772 de le traiter. Aidé par les découvertes que l'on venait de faire sur le calcul aux différences partielles et sur la théorie du mouvement des fluides, découvertes auxquelles D'Alembert eut beaucoup de part, je publiai dans les Mémoires de l'Académie des Sciences pour l'année 1773, les équations différentielles du mouvement des fluides qui recouvrant la terre, sont attirés par le soleil et lai luie. J'appli([uai d'abord ces équations au problème que D'Alembert avait tenté inutilement de résoudre, celui des oscillations d'tin (Inide qui recouvrait la terre supposée sphérique

et sans rotation, en consiflérant l'astre attirant, en mouvement autour de cette planète. Je donnai la solution générale de ce problème, quelle que soit la densité du fluide et son état initial , en supposant même que chaque molécule fluide éprouve une résistance proportionnelle à sa vitesse; ce qui me fit voir que les conditions primitives du luouvement sont anéanties à la longue par le frottement et par la petite viscosité du fluide. Mais l'inspection des équations différentielles me fit bientôt reconnaître la nécessité d'avoir égard au mouvement de rotation de la terre. Je considérai donc ce mouvement , et je m'attachai spécialement à déterminer les oscillations du fluide, indépendantes de son état initial, et les seules qui soient permanentes. Ces oscillations sont de trois espèces. Celles de la première espèce sont indépendantes du mouvement de rotation de la terre, et leur détermination offre peu de difficultés. Les oscillations dépendantes de la rotation de la terre, et dont la période est d'environ un jour, forment la seconde espèce; enfin la troisième espèce est composée des oscillations dont la période est à peu près d'un demi-jour. Elles surpassent considérablement les autres , dans nos ports. Je déterminai ces diverses oscillations , exactement dans les cas où cela se peut , et par des approximations très convergentes , dans les autres cas. L'excès de deux pleines mers consécutives l'une sur l'autre, dans les solstices, dépend des oscillations de la seconde espèce. Cet excès très peu sensible à Brest, y serait fort grand , suivant la théorie de Newton. Ce grand géomètre et ses successeurs attribuaient, comme je l'ai dit, cette différence entre leurs formules et les observations, à l'inertie des eaux de la raér. Mais l'analyse me fit voir qu'elle dépend de la loi de profondeur de la mer. Je cherchai donc la loi qui rendrait nul cet excès, et je trouvai que la profondeur de la mer devait être pour cela constante. En supposant ensuite la figure de la terre, elliptique, ce qui donne pareillement à la mer, luie figure elliptique d'équilibre, je donnai l'expression générale des inégalités de la seconde espèce; et j'en conclus cette proposition remarquable, savoir que les mouvemens de l'axe terrestre sont les mêmes que si la mer formait une masse solide avec la terre; ce qui était contraire à l'opinion des géomètres, et spécialement de D'Alembert qui dans son important ouvrage sur la précession des équinoxes , avait avancé que la fluidité de la mer lui ôtait toute

influence sur ce phénomène. Mon analyse me fit encore reconnaître la condition générale de la stabilité de l'équilibre de la mer. Les géomètres, en considérant l'équilibre d'un fluide placé sur un sphéroïde elliptique, avaient remarqué qu'en aplatissant un peu sa figure, il ne tendait à revenir à son premier état, que dans le cas où le rapport de sa densité à celle du sphéroïde, serait au-dessous de |; et ils avaient fait de cette condition, celle de la stabilité de l'équilibre du fluide. Mais il ne suffit pas dans cette recherche , de considérer un état de repos du fluide , très voisin de l'état d'équilibre : il faut supposer à ce fluide un mouvement initial quelconque très petit, et déterminer la condition nécessaire pour que le mouvement reste toujours contenu dans d'étroites limites. En envisageant le problème, sous ce point de vue général , je trouvai que si la densité moyenne de la terre surpasse celle de la mer, ce fluide dérangé par des causes quelconques, de .son état d'équilibre, ne s'en écartera jamais que de quantités très petites; mais que les écarts pourraient être fort grands, si cette condition n'était pas rempHe. Enfin , je déterminai les oscillations de l'atmosphère sur l'Océan qu'il recouvre; et je trouvai que les attractions du soleil et de la lune ne peuvent produire le mouvement constant d'orient en occident , que l'on observe sous le nom de vents alises, i^es oscillations (le l'atmosphère produisent dans la hauteur du baromètre, de petites oscillations dont l'étendue à l'équateur est d'un demi-millimètre, et qui méritent l'attention des observateurs.

Les recherches précédentes, quoique fort générales, sont encore loin de représenter les observations des marées, dans nos ports. Elles supposent la surface du sphéroïde terrestre, régulière et recouverte entièrement par la mer; et l'on sent que les grandes irrégularités de cette surface doivent modifier considérablement le mouvement des eaux dont elle n'est qu'en partie recouverte. L'expérience montre en effet, que les circonstancesaccessoires produisent des variétés considérables dans les hauteurs et dans les heures des marées des ports même très rapprochés. Il est impossible de soumettre au calcul ces variétés, l)arce (jue les circonstances dont elles dépendent, ne.sont pas coiuiues; et quand même elles le seraient, l'extiènie difficulté du problème empêcherait de le résoudre. Opendant au milieu des modifications nombreuses du mouvement rie la mer. dues aux circonstances, ce

mouvement conserve avec les forces qui le produisent, des rapports propres à indiquer la nature de ces forces , et à vérifier la loi des attractions du soleil et de la lune sur la mer. La recherche de ces rapports des causes à leurs effets, n'est pas moins utile dans la philosophie naturelle, que la solution directe des problèmes, soit pour vérifier l'existence de ces causes, soit pour déterminer les lois de leurs effets : on peut en faire souvent usage; et elle est, ainsi que le calcul des probabilités , un heureux supplément à l'ignorance et à la faiblesse de l'esprit humain. Dans la question présente, je suis parti du principe suivant, qui peut être utile dans d'autres occasions.

» L'état d'un système de corps dans lequel les conditions primitives » du mouvement ont disparu par les résistances que ce mouvement » éprouve, est périodique comme les forces qui animent ce système. »

De là j'ai conclu que si la mer est sollicitée par une force périodique exprimée par le cosinus d'un angle qui croît proportionnellement au temps; il en résulte un flux partiel exprimé par le cosinus d'un angle croissant de la même manière, mais dont la constante renfermée sous le signe cosinus, et le coefficient de ce cosinus, peuvent être en vertu des circonstances accessoires , très différens des mêmes constantes dans l'expression de la force , et ne sont déterminés que par l'observation. L'expression des actions du soleil et de la lune sur la mer, peut être développée dans une série convergente de pareils cosinus. De là naissent autant de flux partiels qui, par le principe de la coexistence des petites oscillations, s'ajoutent ensemble pour former le flux total que l'on observe dans un port. C'est sous ce point de vue, que j'ai envisagé les marées dans le quatrième livre de la Mécanique céleste. Pour lier entre elles les diverses constantes des tlux partiels, j'ai considéré chaque flux comme produit par l'action d'un astre qui se meut uniformément dans le plan de l'équateur : les flux dont la période est d'environ un demi-jour sont dus à l'action d'astres dont le mouvement propre est fort lent par rapport au mouvement de rotation de la terre; et comme l'angle du cosinus qui exprime l'action d'un de ces astres est un multiple de la rotation de la terre ; plus ou moins un multiple du mouvement propre de l'astre , et (pie d'ailleurs les constantes des cosinus qui expriment les flux de deux astres, auraient les mêmes rapports aux constantes des cosinus qui expriment leurs actions, si les niouveniens

propres étaient égaux; j'ai supposé que les rapports varient d'un astre à l'autre, proportionnellement à la différence des raouvemens propres. L'erreur de cette hypothèse, s'il y en a une, n'a point d'influence sensible stn- les principaux résultats de mes calculs.

Les plus grandes variations de la hauteur des marées dans nos ports, sont dues à l'action du soleil et de la lune, supposés mus uniformément dans leurs orbites et toujours à la même distance de la terre. Mais pour avoir la loi de ces variations, il faut combiner les observations de manière que toutes les autres variations disparaissent de leur résultat. C'est ce que l'on obtient en considérant les hauteurs des pleines mers , au-dessus des basses mers voisines, dans les syzygies ou les quadratures prises en nombre égal vers chaque équinoxe et vers chaque solstice. Par ce moyen, les flux indépendans de la rotation de la terre , et ceux dont la période est d'environ un jour disparaissent, ainsi que les flux produits par la variation de la distance du soleil à la terre. En considérant trois syzygies ou trois quadratures consécutives, et en doublant l'intermédiaire, on fait disparaître les flux que produit la variation de la distance de la lune; parce que si cet astre est périgée dans l'une des phases, il est à peu près apogée dans l'autre phase , et la compensation est d'autant plus exacte , que l'on emploie un plus grand nombre d'observations. Par ce procédé, l'influence des vents sur le résultat des observations devient presque nulle; car si le vent élève la hauteur d'une pleine mer, il élève à peu près autant la basse mer voisine, et son effet disparaît dans la différence des deux hauteurs. C'est ainsi qu'en combinant les observations de manière que leur ensemble ne présente qu'un seul élément, on parvient à déterminer successivement tous les élémens des phénomènes. L'analyse des probabilités fournit pour obtenir ces élémens , une méthode plus sûre encore et que l'on peut désigner par le nom de méthode la plus avantageuse. Elle consiste à former entre les élémens, autant d'équations de condition, qu'il y a d'observations. On réduit par les règles de cette méthode, le nombre de ces équations, à celui des élémens que l'on détermine en résolvant les équations ainsi réduites. C'est par ce procédé, que M. Bouvard a construit ses excellentes Tables de Jupiter, de Saturne cl d'Uraims. Mais les observations des marées étant loin d'atteuidre la précision des observations astronomiques , le très grand

DU SYSTÈME DU MONDE a 85

nombre de celles qu'il faut employer pour que leurs erreurs se compensent, ne permet pas de leur appliquer la méthode la plus avantageuse. Sur l'invitation de l'Académie des Sciences, on fit au commencement du dernier siècle, dans le poi-t de Brest, des observations des marées pendant six années consécutives. C'est à ces observations publiées par Lalande, que j'ai comparé dans le livre cité, mes formules. La situation de ce port est très favorable à ce genre d'observations. Il communique avec la mer par un vaste canal au fond duquel on l'a construit. Les irrégularités du mouvement de la mer parviennent ainsi dans le port, très affaiblies, à peu près comme les oscillations que le mouvement irrégulier d'un vaisseau produit dans le baromètre, sont atténuées par un étranglement fait au tube de cet instrument. D'ailleurs, les marées étant considérables à Brest, les variations accidentelles n'en sont qu'une faible partie. Aussi l'on remarque dans les observations de ces marées, pour peu qu'on les multiplie, une grande régularité que n'altère point la petite rivière qui vient se perdre dans la rade immense de ce port. Frappé de cette régularité, je proposai au gouvernement d'ordonner que l'on fît à Brest une nouvelle suite d'observations des marées, et qu'elle fût continuée au moins pendant une période du mouvement des nœuds de l'orbite lunaire. C'est ce que l'on a entrepris. Ces nouvelles observations datent du premier juin de l'année 1806, et depuis cette époque, elles ont été continuées chaque jour, sans interruption. On a considéré celles de l'année 1807, et des quinze années suivantes. Je dois au zèle infatigable de M. Bouvard pour tout ce qui intéresse l'Astronomie, les calculs immenses que la comparaison de mon analyse avec les observations a exigés. Il y a employé près de six mille observation^:. Pour avoir les hauteurs des pleines mers, et leur variation qui près du maximum et du minimum est proportionnelle au carré du temps; on a considéré vers chaque équinoxe et vers chaque solstice, trois syzygies consécutives entre lesquelles l'équinoxe ou le solstice étaient compris, on a doublé les résultats de la syzygie intermédiaire , poin- détruire les effets de la parallaxe lunaire. On a pris dans chaque syzygie, la hauteur de la pleine mer du soir, au-dessus de la basse mer du matin, du jour qui précède la syzygie, du jour même de la syzygie et des quatre jours (jui la suivent; parce que le maximum des marées tombe à peu près au mi-

lieu de cet intervalle. Les observations de ces hauteurs, faites pendant le jour, en deviennent plus sûres et plus exactes. On a fait pour chacune des seize années, une somme des hauteurs des jours correspondans dans les syzygies équinoxiales, et une pareille somme relativement aux syzygies solsticiales ; et l'on en a conchi les inaxima des hauteurs des pleines mers , près des syzygies soit équinoxiales, soit solsticiales , et les variations de ces hauteurs près de leurs inaxima. L'inspection de ces hauteurs et de leurs variations montre la régularité de ce genre il'observations dans le port de Brest.

Dans les quadratures , on a suivi un procédé semblable, avec la seule . différence que l'on a pris l'excès de la haute mer du matin sur la basse mer du soir du jour de la quadrature et des trois jours qui la suivent. . L'accroissement des marées quadratures, à partir de leur minimum , étant beaucoup plus rapide, que la diminution des marées syzygies , à partir de ieuv maximum ; on a dû restreindre à un plus petit inter%'alle, la loi de variation proportionnelle au carré du temps.

Toutes ces hauteurs montrent avec évidence, l'influence des déclinaisons du soleil et de la lune, non-seulement sur les hauteurs absolues des marées, mais encore sur leurs variations. Plusieurs savans et spécialement Lalande avaient révoqué en doute, cette influence; parce qu'au lieu de considérer un grand ensemble d'observations, ils s'étaient attachés à quelques observations isolées où la mer, par l'effet de causes accidentelles, s'était élevée à une grande hauteur vers les solstices. Mais l'application la plus simple du calcul des probabilités, aux résultats de M. Bouvard, suffit pour voir que la probabilité de l'in- , fluence de la déclinaison des astres, est immense et bien supérieure à celle d'un grand nombre de faits sur lesquels on ne se permet aucun doute.

On a conclu des variations des marées près de leurs maxima et de •leurs minima, l'intervalle dont ces maxima et ces minima suivent les svzygies et les quadratures, et l'on a trouvé cet intervalle, d'un jour et demi à fort peu près; ce qui est parfaitement d'accord avec ce que les observations anciennes m'ont donné dans le quatrième livre de la MécauLque céleste. Le même accord a lieu relativement aux grandeurs de ces maxima {•ti\ect'smi//i/na, et par rap])ort aux variations dos hauteurs des marées à partir de ces points; en sorte que la nature , après un siècle, s'est

retrouvée conforme à elle-même. L'intervalle dont je viens de parler dépend des constantes renfermées sous les signes cosinus dans les expressions des deux flux principaux dus aux actions du soleil et de la lune. Les constantes correspondantes deTexpression des forces sont différemment modifiées parles circonstances accessoires: au momentde la syzygie, le flux lunaire précède le flux solaire, et ce n'est qu'un jour et demi après, que, le flux lunaire retardant chaque jour sur le flux solaire, ces deux flux coïncident et produisent ainsi le maximum des marées. On se formera une idée juste du retard des plus hautes maréessur l'instant de la syzygie, si l'on conçoit dans le plan d'un méridien, un canal à l'embouchure duquel la plus haute marée arrive au moment de la syzygie, et emploie un jour et demi à parvenir au port situé à l'extrémité de ce canal. Une modification semblable a lieu dans les constantes qui multiplient les cosinus , et il en résulte un accroissement dans l'action des astres sur la mer. J'ai donné dans le livre IV de la Mécanique céleste, le moyen de reconnaître cet accroissement que j'avais trouvé d'un dixième par les observations anciennes; mais quoique les observations des marées quadratures s'accordassent sur ce point avec les observatioiis des marées syzygies ; j'avais dit qu'un élémentaussi délicat exigeait un bien plus grand nombre d'observations. Les calculs de M. Bouvard ont confirmé l'existence de cet accroissement et l'ont porté à un quart à fort peu près,pour lalune. La détermination de ce rapport estnécessaire pour conclure des observations des marées, les rapports véritables des actions du soleil et de la lune dont dépendent les phénomènes de la piécession des équinoxes et de la nutation de l'axe terrestre. En corrigeant les actions des astres sur la mer, de leurs accroissemens dus aux circonstances accessoires, on trouve en secondes sexagésimales 9", 4 pour la nutation ; 6"' , 8 pour l'équation lunaire des Tables du soleil , et la masse de la lune un yS' de celle de la terre. Ces résultats sont à très peu près ceux que doime la discussion des observations astronomiques. L'aceoi-d des valeurs obteiuies par des moyens si divers , est bien remaïquable.

C'est en comparant à mes formules les maxima et les minimaAas hauteurs observées desmarées,quelesactionsdusoleil et de la lune sur la nieret leurs accroissemens ont été déterminés. Les variations des hauteurs des marées près de ces points, en sont une suite nécessaire; en substituant donc les valeurs de ces actions, dans mes formifles, on doit

retrouver à fort peu près les variations observées. C'est ce que l'on retrouve en effet. Cet accord est une grande confirmation de la loi de la pesanteur universelle. Elle reçoit une nouvelle confirmation, des observations des marées syzygies vers l'apogée et vers le périgée de la lune. Je n'avais considéré dans l'ouvrage cité , que la différence des hauteurs des marées dans ces deux positions de la lune. Ici je considère de plus la variation de ces hauteurs à partir de leurs maxima ; et sur ces deux points, mes formules représentent les observations.

Les heures des marées, et leurs retards d'un jour à l'autre, offrent les mêmes variétés que leurs hauteurs. M. Bouvard en a formé des tableaux pour les marées qu'il avait employées dans la détermination lies hauteurs. On y voit évidemiuent l'influence des déclinaisons des astres, et de la parallaxe lunaire. Ces observations comparées à mes formules offrent le même accord , que les observations des hauteurs. On ferait sans doute disparaître les petites anomalies que ces comparaisons présentent encore , en déterminant convenablement les constantes de chaque flux partiel : le principe par lequel j'ai lié entre elles , ces constantes diverses , peut n'être pas rigoureusement exact. Peutêtre encore, les quantités que l'on néglige en adoptant le principe de la coexistence des oscillations, deviennent sensibles dans les grandes marées. Je me suis ici contenté de noter ces anomalies légères, afin de diriger ceux qui voudront reprendre ces calculs, lorsque les observations des marées que l'on continue à Brest, et qui sont déposées à l'Observatoire royal, seront assez nombreuses, pour donner la certitude que ces anomalies ne sont point dues aux erreurs des observations. Mais avant que de modifier les principes dont j'ai fait usage, il faudra porter plus loin les approximations analytiques.

Enfin, j'ai considéré le flux dont la période est d'environ un jour. En comparant les différences de deux hautes mers et de deux basses mers consécutives, dans un grand nombre de syzygies solsticiales , j'ai déterminé la grandeur de ce flux et l'heure de son maximum dans le port de Brest. J'ai trouvé un cinquième de mètre à fort peu près pour sa grandeur; et un dixième do jour environ, pour le temps dont il précède à Brest, l'heure du maximum de la marée semi-diurne. Quoique sa grandeur ne soit pas un trentième de la grandeur du flux semi-diurne, cependant les forces génératrices de ces deux flux sont

à peu près égales; ce qui montre combien diftéremment les circonstances accessoires influent sur la grandeur des marées. On n'en sera point surpris, si l'on considère que dans le cas même où la surface de la terre serait régulière et recouverte entièrement par la mer, le flux diurne disparaîtrait si la profondeur de la mer était constante.

Les circonstances accessoires peuvent encore faire disparaître dans un port les inégalités semi-diurnes, et rendre très sensibles les inégalités diurnes. Alors il n'y a chaque jour, qu'une marée qui disparaît , lorsque les astres sont dans l'équateur. C'est ce que l'on a observé à Batsliam , port du royaume de Tonquin , et dans quelques iles de la mer du Sud.

J'observerai relativement à ces circonstances, que les unes s'étendent à la mer entière, et se rapportent à des causes très éloignées du port où l'on observe les marées; on ne peut douter par exemple, que les ondulations de l'Océan atlantique et de la mer du Sud, réfléchies par la côte orientale de l'Américjue , qui s'étend presque d'un pôle à l'autre, n'aient une grande influence sur les marées du port de Brest. C'est principalement de ces circonstances, que dépendent les phénomènes qui sont à peu près les mêmes dans nos ports. Tel paraît être le retard de la plus haute marée sur l'instant de lasyzygie. D'autres circonstances plus rapprochées du port, telles que des côtes ou des détroits voisins, produisent les différences que l'on observe entre les hauteurs et les heures des marées , dans des ports peu dis tans entre eux. De là il suit qu'un flux partiel n'a point, avec la latitude du port, le rapport indiqué par la force qui le produit; puisqu'il dépend de flux semblables correspondans à des latitudes fort éloignées, et même à un autre hémisphère. On ne peut donc déterminer que par l'observation, le signe et la grandeur de ce flux.

Les phénomènes des marées , dont je viens de parler, dépendent des termes du développement de l'action des astres, divisés par le cube de leurs distances à la terre, les seuls que l'on ait considérés jusqu'ici. Mais la lune est assez rap[)rochée de la terre , pour que les termes de l'expression de son action , divisés par la quatrième puissance de sa distance, soient sensibles dans les résultats d'un granil nombre d'observations; car on sait par la théorie des probabilités, que le nombre des observations supplée à leur défaut de précision et fait connaître

(les inégalités beaucoup moindres que les erreurs dont chaque observation est susceptible. On peut même par cette théorie , assigner le nombre d'observations nécessaires pour acquérir une grande probabilité que l'erreur du résultat obtenu , est renfermée dans des limites données. .T'ai donc pensé que l'influence des termes de l'action de la lune , divisés pai- la quatrième puissance de sa distance à la terre, pourrait se manifester dans l'ensemble des nombreuses observations discutées par M. Bouvard. Les flux correspondans aux termes divisés parle cube de la distance ne donnent aucune différence entre les marées des nouvelles lunes et celles des pleines lunes. Mais ceux qui ont pour diviseur, la quatrième puissance de la distance, mettent une différence entre ces marées. Ils produisent un flux dont la période est d'environ un tiers de jour : les observations discutées sous ce point de vue , indiquent avec une grande probabilité, l'existence de ce flux partiel. Elles établissent encore sans aucun doute, que l'action de la lune pour élever la mer à Brest, est plus grande, lorsque sa déclinaison est australe, que lorsqu'elle est boréale; ce qui ne peut être dû qu'aux termes de l'action lunaire , divisés par la quatrième puissance de la distance.

On voit par cet exposé , que la recherche des rapports généraux entre les phénomènes des marées, et les actions du soleil et de la lune sur la mer, supplée heureusement à l'impossibilité d'intégrer les équations différentielles de ce mouvement , et à l'ignorance des données nécessaires pour déterminer les fonctions arbitraires qui entrent dans leurs intégrales : il en résulte une certitude entière , que ces phénomènes ont pour unique cause, l'attraction de ces deux astres, conformément à la loi de la pesanteur universelle.

Si la terre n'avait point de .satellite, et si son orbe était circulaire et situé dans le plan lie l'écjuateur; nous n'aurions pour recoiuiaître l'action du soleil sur l'Océan, que l'heure toujours la même de la |)leine mer , et la loi suivant laquelle la marée s'élève. Mais l'action de la lune, en .se combinant avec celle du soleil , produit dans les marées, des variétés relatives à ses phases, et dont l'accord avec les observations, ajoute une grande probabilité à la théorie de la pesanteur. Toutes les Miégalités du mouvement, de la déclinaison et de la distance de ces deux astres, donnent naissance à un grand nombre de phénomènes

que l'observation a fait connaître , et qui mettent cette théorie, hors (l'atteinte : c'est ainsi que les variétés dans l'action des causes, en étalilissent l'existence. L'action du soleil et de la lune sur la mer, suite nécessaire de l'attraction universelle démontrée par tous les phénomènes célestes, étant confirmée directement par les phénomènes dos marées: elle ne doit laisser aucun doute. Elle est portée maintenant à un tel degré d'évidence, qu'il existe sur cet objet un accord unanime entre les savans instruits de ces phénomènes, et suffisamment versés dans la Géométrie et dans la Mécanique, pour en saisir les rapports avec la loi de la pesanteur. Une longue suite d'observations encore plus précises que celles qui ont été faites, rectifiera les élémens déjà connus, fixera la valeur de ceux qui sont incertains, et développera des phénomènes jusqu'ici enveloppés dans les erreurs des observations. Les marées ne sont pas moins intéressantes à connaître, c[ue les inégalités des mouvemens célestes. On a négligé pendant long-temps de les suivre avec une exactitude convenable, à cause des irrégularités qu'elles présentent; mais ces irrégularités disparaissent en multipliant les observations : leur nombre ne doit pas même être pour cela, fort considérable à Brest dont la position est très favorable à l'observation de ces phénomènes.

Il me reste à parler de la méthode de déterminer l'heure de la marée , à un jour quelconque. Chacun de nos ports peut être considère à cet égard, comme étant à l'extrémité d'un canal à Fembouchure duquel les marées partielles arrivent au moment même du passage des astres au méridien , et emploient un jour et demi, à parvenir à son extrémité supposée plus orientale que son embouchure, d'un certaui nombre d'heures : ce nombre est ce que je nomme heure fondamentale du port. On peut facilement la conclure de l'heure de l'établissement du port, en considérant que celle-ci est l'heure de la marée , loisqu'elle coïncide avec la syzygie. Le retard des marées d'un jour à l'autre, étant alors de 270')", ce retard sera de ScjSi" pour un jour et demi; c'est la quantité qu'il fautajoulerà rheurederétablissement,pour avoirl'heure fondamentale. Maintenant, si l'on augmente les heures des marées à l'embouchure, de quinze heures plus l'heure fondamentale; un aura les heures des marées correspondantes dans le port. Ainsi, le problème se réduit à déterminer les heures des marées dans un lieu dont la

aya EXPOSITION

longitude est connue, en supposant que les marées partielles arrivent à l'instant du passage des astres au méridien. L'analyse donne pour cet objet, des formules très simples, et faciles à réduire en tables.

Les grandes marées ont souvent produit dans les ports et sur les côtes , de fâcheux effets que l'on aurait prévenus, si l'on avait été d'avance, averti de la hauteur de ces marées. Les vents peuvent avoir sur ces phénomènes, une influence considérable qu'il est impossible de prévoir. Mais on peut prédire avec certitude, l'influence du soleil et de la lune; et cela suffit le plus souvent, pour se mettre à l'abri des accidens que les hautes marées doivent occasioner, lorsque l'impulsion des vents se joint à l'action des causes régulières. Pour faire jouir les départemens maritimes, de ce bienfait des sciences, le Bureau des longitudes publie, chaque année, dans ses Éphémérides, le tableau des marées syzygies, en prenant pour unité, leur hauteur moyenne dans les syzygies des équinoxes.

.Vai insisté particulièrement sur le flux et le reflux de la mer, parce qu'il est de tous les effets de l'allraction des corps célestes, le plus près de nous et le plus sensible; d'ailleurs, il m'a paru très propre à montrer conuTient on peut reconnaître et déterminer par un grand nombre d'observations, même peu précises , les lois et les causes des phénomènes (loiit il est impossible d'obtenir les expressions analytiques par la formation et l'intégration de leurs équations différentielles. Tels sont les effets de la chaleur solaire sur l'atmosphère, dans la production des vents alises et des moussons, et dans les variations régulières, soit diurnes, soit annuelles , du baromètre et du thermomètre.

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