CHAPITRE XIV

De la précession des équinoxes , et de la vutatiori de l'axe

de la terre.

Tout est lié dans la nature, et ses lois générales enchaînent les uns aux autres, les phénomènes qui semblent les plus disparates : ainsi la rotation du sphéroïde terrestre l'aplatit à ses pôles; et cet aplatissement combiné avec l'action du soleil et de la lune, donne naissance à la précession des équinoxes, qui , avant la découverte de la pesanteur universelle, ne paraissait avoir aucun rapport au mouvement diurne de la terre.

Imaginons que cette planète soit un sphéroïde homogène renflé à son équateur : on peut alors la considérer comme étant formée d'une sphère d'un diamètre égal à l'axe des pôles, et d'un ménisque qui recouvre cette sphère, et dont la plus grande épaisseur est à l'équateur du sphéroïde. Les molécules de ce ménisque peuvent être regardées comme autant de petites lunes adhérentes entre elles, et faisant leurs révolutions dans un temps égal à celui de la rotation de la terre; les noeuds de toutes leurs orbites doivent donc rétrograder par l'action du soleil , comme les nœuds de l'orbe lunaire ; et de ces mouvemens rétrogrades, il doit se composer, en vertu de la liaison de tous ces corps, un mouvement dans le ménisque, qui fait rétrograder ses points d'intersection avec l'écliptique : mais ce ménisque adhérant à la sphère qu'il recouvre, partage avec elle son mouvement rétrograde qui, par là, est considérablement ralenti; l'intersection de l'équateur avec l'écliptique , c'est-à-dire , les équinoxes doivent donc, par l'actioji du soleil, avoir un mouvement rétrograde. Essayons d'en approfondie les lois et la cause.

3o2 EXPOSITION

Pour cela, considérons l'action du soleil sur un anneau situé dans le plan de l'équateur. Si l'on imagine la masse de cet astre, distribuée uniformément sur la circonférence de son orbe supposé circulaire ; il est visible que l'action de cet orbe solide représentera l'action moyenne du soleil. Cette action sur chacun des points de l'anneau, élevés audessus de l'écliptique, étant décomposée en deux, l'une située dans le plan de l'anneau, et l'autre perpendiculaire à ce plan, il est facile de voir que la résultante de ces dernières actions relatives à tous ces points, est perpendiculaire au même plan, et placée sur le diamètre de l'anneau, perpendiculaire à la ligne de ses nœuds. L'action de l'orbe solaire sur la partie de l'anneau, inférieure à l'écliptique, produit semblablement une résultante perpendiculaire au plan de l'anneau, et située dans la partie inférieure du même diamètre. Ces deux résultantes tendent à rapprocher l'anneau de l'écliptique en le faisant mouvoir sur la ligne de ses nœuds; son inclinaison à l'écliptique diminuerait donc par l'action moyenne du soleil, et ses nœuds seraient fixes, sans le mouvement de rotation de l'anneau que nous supposons ici tourner en même temps que la terre. Mais ce mouvement conserve à l'anneau, une inclinaison constante à l'écliptique, et change l'effet de l'action du soleil, dans un mouvement rétrograde des nœuds: il fait passer à ces nœuds, une variation qui, sans lui, serait dans l'inclinaison; et il donne à l'inclinaison, la constance qui serait dans les nœuds. Pour concevoir la raison de ce singulier changement, faisons varier infiniment peu la situation de l'anneau, de manière que les plans de ses deux positions se coupent suivant le diamètre perpendiculaire à la ligne des nœuds. On peut décomposer à la fin d'un instant quelconque, le mouvement de chacun de ses points, en deux, l'un qui doit subsister seid, dansl'instant suivant; l'autre perpendiculaire au plan de l'anneau, et qui doit être détruit: il est clair que la résultante de ces seconds mouvemens relatifs à tous les points de la partie supérieure de l'anneau, sera perpendiculaire à son plan, et placée sur le diamètre que nous venons de considérer; ce qui a également lieu par rapport à la partie inférieure de l'anneau. Pour que cette résultante soit détruite par l'action de l'orbe solaire, et afin que l'anneau, en vertu de ces forces , soit en équilibre autour de son centre; il faut qu'elles soient contraires, et que leurs momens par rapport à ce point , soient égaux. La première de ces

DU SYSTÈME DU MONDE. 3u3

condilions exige que le changement de position supposé à l'anneau, soit rétrograde : la seconde condition détermine la quantité de ce changement, et par conséquent la vitesse du mouvement rétrograde de ses noeuds. Il est aisé de voir que cette vitesse est proportionnelle à la masse du soleil, divisée par le cuhe de sa distance à la terre, et multipliée par le cosinus de l'obliquité de l echptique.

Le plan de l'anneau , dans deux positions consécutives , se coupant suivant un diamètre perpendiculaire à la hgne des nœuds; il en résulte que l'inclinaison de ces deux plans à l'écliptique, est constante; l'inclinaison de l'anneau ne varie donc point par l'action moyenne du soleil.

Ce que l'on vient de voir relativement à un anneau , l'analyse le démontre par rapport à un sphéroïde quelconque peu différent d'ime sphère. L'action moyenne du soleil produit dans les équinoxes, un mouvement proportionnel à la masse de cet astre , divisée par le cube de sa distance, et multipliée par le cosinus de l'obliquité de l'écliptique. Ce mouvement est rétrograde, quand le sphéroïde est aplati à ses pôles; sa vitesse dépend de l'aplatissement du sphéroïde; mais l'inclinaison de l'équateur à l'écliptique, reste toujours la même.

L'action de la lune fait pareillement rétrograder les nœuds de l'équateur terrestre sur le plan de son orbite; mais la position de ce plan et son inchnaison à l'équateur variant sans cesse par l'action du soleil, et le mouvement rétrograde des nœuds de l'équateur sur l'orbite lunaire, produit par l'action de la lune, étant proportionnel au cosinus de cette inclinaison; ce mouvement est variable. D'ailleurs en le supposant uniforme, il ferait varier, suivant la position de l'orbite lunaire, le mouvement rétrograde des équinoxes, et l'inclinaison de l'équateur à l'écliptique. Un calcul assez simple suffit pourvoir que de l'action de la lune, combinée avec le mouvement du plan de son orbite, il résulte, 1° un moyen mouvement dans les équinoxes , égal à celui que cet astre produirait, s'il se mouvait sur le plan même de l'écliptique; 2° une inégalité soustractive de ce mouvement rétrograde, et proportionnelle au sinus de la longitude du nœud ascendant de l'orbite lunaire; 3° une diminution dans l'oblicpiité de récli|'*tique, proportionnelle au cosinus du même angle. Ces deux inégalités sont représentées k la fois, par le mouvement de l'extrémité de l'axe terrestre prolongé jusqu'au ciel, sur une petite ellipse , conformément aux lois opposées dans le cha-

3o4 EXPOSITION

pitre XII du premier livre ; le grand axe de cette ellipse étant à son petit axe, comme le cosinus de l'obliquité de l'écliptique , est au cosinus du double de cette obliquité.

On conçoit, par ce qui vient d'être dit, la cause de la précession des équinoxes et de la nutation de l'axe terrestre ; mais un calcul rigoureux et la comparaison de ses résultats avec les observations, sont la pierre de touche d'une théorie. Celle de la pesanteur est redevable à D'Alembert ,'de l'avantage d'avoir été ainsi vérifiée relativement aux deux phénomènes précédens. Ce grand géomètre a déterminé le premier, par une très belle méthode, le mouvement de l'axe de la terre , en supposant aux couches du sphéroïde terrestre , une figure et une densité quelconque ; et non-seulement il a trouvé des résultats conformes aux observations ; il a de plus fait connaître les vraies dimensions de la petite ellipse que décrit le pôle de la terre , sur lesquelles les observations de Bradley laissaient quelque incertitude. Son traité de la précession des équinoxes, qui parut un an et demi après la découverte de Bradley, sur la nutation de l'axe terrestre, n'est pas moins remarquable dans l'histoire de la Mécanique, que cette découverte dans les annales de l'Astronomie.

Les influences d'un astre sur le mouvement de l'axe terrestre et sur celui des mers, sont proportionnelles à la masse de l'astre, divisée par le cube de sa distance à la terre. La nutation de cet astre étant uniquement due à l'action de la lune, tandis que la précession moyenne des équinoxes est le résultat des actions réunies de la lune et du soleil ; il est visible que les quantités observées de ces deux phénomènes doivent donner le rapport de ces actions. En supposant avec Bradley, la précession annuelle des équinoxes, de ï5/i",/[, et l'étendue entière de la nutation, égale à 55",6; on trouve l'action de la lune, à très peu près double de celle du soleil. Mais une légère différence dans l'étendue de la nutation, en produit une considérable dans le rapport des actions de ces deux astres. Les observations les plus précises donnent 58",03

pour cette étendue, d'où résulte -^ pour le rapport de la masse de

la lune à celle de la terre.

TjCs phénomènes de la précession et de la nutation, répandent une jiouvelle lumièresur la constitution du sphéroïde terrestre : ils doiuicnt

DU SYSTEME DU MONDE. 3o5

une limite de l'aplatissement de la terre supposée elliptique , et il en

résulte que cet aplatissement n'est pas au-dessus de —^, ce oui est

conforme aux expériences du pendule. On a vu dans le chapitre VII, qu'il existe dans l'expression du rayon du sphéroïde terrestre, des termes qui peu sensibles en eux-mêmes et sur la longueur du pendule, écartent très sensiblement les degrés des méridiens, de la figure elliptique. Ces termes disparaissent entièrement des valeurs de la précession et de la nutation, et c'est pour cela , que ces phénomènes sont d'accord avec les expériences du pendule. L'existence de ces termes concilie donc les observations de la parallaxe lunaire, celles du pendule et des degrés des méridiens, et les phénomènes de la précession et de la nutation.

Quelles que soient la figure et la densité que l'on suppose aux diverses couches de la terre ; qu'elle soit ou non , un solide de révolution, pourvu qu'elle diffère peu d'une sphère; on peut toujours assigner un solide elliptique de révolution, avec lequel la précession et la nutation seraient les mêmes. Ainsi , dans l'hypothèse de Bouguer, dont on a parlé dans le chapitre VII, et suivant laquelle les accroissemens des degrés sont proportionnels à la quatrième puissance du sinus de la latitude, ces phénomènes sont exactement les mêmes que si

la terre était un ellipsoïde d'une ellipticité égale à -^ et l'on vient de voir que les' observations ne permettent pas de lui supposer une ellipticité plus grande que -^ — ; ces observations concourent donc

avec celles du pendule, à faire rejeter cette hypothèse.

On a supposé dans ce qui précède, que la terre est entièrement solide; mais cette planète étant recouverte en grande partie, par les eaux de la mer, leur action ne doit-elle pas changer les phénomènes de la précession et de la nutation? c'est ce qu'il importe d'examiner.

Les eaux de la mer cédant en vertu de leur fluidité, aux attractions du soleil et de la lune; il semble au premier coup d'oeil, que leur réaction ne doit point influer sur les mouvemens de l'axe de la terre ; aussi D'Alembert et tous les géomètres qui se sont occupés après lui, de ces mouvemens, l'ont entièrement négligée; ils sont même partis

3o6 exposition;

de là, pour concilier les quantités oiiservées de la précessioii et de la mitation, avec les mesures des degrés terrestres. Cependant, un plus profond examen de cette matière, nous montre que la fluidité des eaux n'est pas une raison suffisante poin- négliger leur effet sur la précession des équinoxes; car si d'un côté, elles obéissent à l'action du soleil et de la lune ; d'un autre côté, la pesanteur les ramène sans cesse vers l'état d'équilibre, et ne leur permet de faire que de très petites oscillations; il est donc possible que par leur attraction et leur pression sur le sphéroïde qu'elles recouvrent, elles rendent, au moins en partie, à l'axe delà terre, les mouvemens qu'il en recevrait, si elles venaient à se consolider. On peut d'ailleurs, s'assurer par un raisonnement fort simple , que leur réaction est du même ordre que l'action directe du soleil et de la lune, sur la partie solide de la terre.

Imaginons que cette planète soit homogène et de même densité que. la mer; supposons de plus que les eaux prennent à chaque instant, la figure qui convient à l'équilibre des forces qui les animent. Si dans ces hypothèses, la terre devenait tout-à-coup, entièrement fluide, elle conserverait la même figure, et toutes ses parties se feraient mutuellement équilibre; l'axe de rotation n'aurait donc aucune tendance à se mouvoir, et il est visible que cela doit subsister encore , dans le cas où une partie de cette masse formerait en se consolidant, le sphéroïde que recouvre la mer. Les hypothèses précédentes servent de fondement aux théories de Newton sur la figure de la terre, et sur le flux et le reflux de la mer : il est assez remarquable , que dans le nombre infini de celles que l'on peut faire sur les mêmes objets, ce grand géomètre en ait choisi deux qui ne donnent ni précession, ni nutation ; la réaction des eaux détruisant alors , l'effet de l'action du soleil et de la lune sur le noyau terrestre, quelle que soit sa figure. Il est vrai que ces deux hypothèses et surtout la dernière, ne sont pas conformes à la nature; mais on voit a priori, que l'effet de la réaction des eaux, (pioi(]ue différent de celui qui a lieu dans les hypothèses •de JNewton, est cependant du même ordre.

Les recherches que j'ai faites sur les oscillations de la mer, m'ont donné le moyen de déterminer cet effet de la réaction des eaux , dans les véritables hypothèses de la nature : elles m'ont conduit à ce théorème remar(juabie, savoir rpuj quelles que soient la lui de laprofondeur

de la mer, et la figure du sphéroïde quelle recouvre ; les pnénomènes de la précession et de la natation sont les mêmes que si la mer formait une masse solide, avec ce sphéroïde.

Si le soleil et la lime ngissaienl seuls sur la terre, l'inclinaisuu moyenne de l'écliptique à l'équnteur serait constante; mais on a vu que l'action des planètes change continuellement la position de l'orbe terrestre, et qu'il en résulte dans son obliquité sur léquateur, une diminutiiiu confirmée par toutes les observations anciennes et modernes. La même cause donne aux équinoxes, un mouvement annuel direct de o",9G59; ainsi , la précession annuelle produite par l'action du soleil et de la lune, est diminuée de cette quantité, par l'action des planètes; et sans cette action, elle serait de i55",'j927. Ces effets de l'action des planètes sont indépendans de l'aplatissement du sphéroïde terrestre; mais l'action du soleil et de la lune sur ce sphéroïde, doit les modifier et en changer les lois.

Rapportons à un plan fixe, la position de l'orbe de la terre, et le mouvement de son axe de rotation. Il est clair que l'action du soleil produira dans cet axe, en vertu des variations de l'écliptique, un mouvement d'oscillation analogue ii la nutation , avec cette différence, que la période de ces variations étant incomparablement plus longue que celle des variations du plan de l'orbe lunaire , l'étendue de l'oscillation correspondante dans l'axe de la terre, est beaucoup plus grande que celle de la nutation. L'action de la lune produit dans ce même axe, une oscillation semblable; parce que l'inclinaison moyenne de son orbe sur celui de la terre, est constante. Le déplacement de l'écliptique , en se combinant avec l'action du soleil et de la lune sur la terre, produit donc dans son obliquité sur l'équateur, une variation très différente de ce qu'elle serait en vertu de ce déplacement seul : l'étendue entière de cette variation serait par ce déplacement, d'environ douze degrés; et l'action du soleil et de la lune la réduit à peu près à trois degrés.

La variation du mouvement des équinoxes, produite par les mêmes causes, change la durée de l'année tropicpie dans les différeus siècles. Cette durée diminue, cpiaïul ce mouvement augmente, ce qui a lieu présentement; et l'année actuelle est plus courte d'environ i3", qu'au temps d'Hipparque. Mais cette variation dans la longueur de l'aïuiée,

3o8 EXPOSITION

a des limites qui sont encore restreintes par l'action du soleil et de la lune sur le sphéroïde terrestre. L'étendue de ces limites serait d'environ 5oo", par le déplacement seul de l'écliptique; et elle est réduite à 120", par cette action.

Enfin, le jour lui-même, tel que nous l'avons défini dans le premier livre, est assujetti par le déplacement de l'écliptique, combiné avec l'action du soleil et de la lune, à de très petites variations indiquées par la théorie, mais qui seront toujours insensibles aux observateurs. Suivant cette théorie, la rotation de la terre est uniforme, et la durée moyenne du jour peut être supposée constante; résultat très important pour l'Astronomie, puisque cette durée sert démesure au temps, et aux révolutions des corps célestes. Si elle venait à changer, on le reconnaîtrait par les durées de ces révolutions qui augmenteraient ou diminueraient proportionnellement; mais l'action des corps célestes n'y cause aucune altération sensible.

Cependant, on pourrait cioire que les vents alises qui soufflent constamment d'orient en occident entre les tropiques, diminuent la vitesse de rotation de la terre, par leur action sur les continens et sur les montagnes. Il est impos.sible de soumettre cette action à l'analyse : heureusement, on peut démontrer que son influence sur la rotation de la terre est nulle, au moyen du principe de la conservation des aires , que nous avons exposé dans le troisième livre. Suivant ce principe, la somme de toutes les molécules de la terre, des mers et de l'atmosphère, multipliées respectivement par les aires que décrivent autour du centre de gravité de la terre, leurs rayons vecteurs projetés sur le plan de l'équateur, est constante en temps égal. La chaleur du soleil n'y produit point de changement, puisqu'elle dilate également les corps dans tous les sens; or il est visible que si la rotation de la terre venait à diminuer, cette somme serait plus petite; les vents alises produits par la chaleur solaire n'altèrent donc point cette rotation. Le même raisonnement nous prouve que les courans de la mer ne doivent y apporter aucun changement sensible. Pour en faire varier sensiblement la durée, il faudrait un déplacement considérable dans les parties du sphéroïde terrestre. Ainsi, une grande niasse transportf'e des pôles à l'équateur, rendrait cette durée plus longue; elle deviendrait plus courte, si des corps denses se rappro-

chaient tlu centre , ou de l'axe de la terre. Mais nous ne voyons aucune cause qui puisse déplacer à de grandes distances, des masses assez fortes pour qu'il en résulte une variation sensible dans la durée du jour , que tout nous autorise à regarder comme l'un des élémens les plus constans du système du monde. Il en est de même, des points où l'axe de rotation de la terre rencontre sa surface. Si cette planète tournait successivement autour de divers diamètres formant entre eux, des angles considérables; l'équateur et les pôles changeraient de place sur la terre; et les mers, en se portant vers le nouvel équateur, couvriraient et découvriraient alternativement de hautes montagnes. Mais toutes les recherches que j'ai faites sur le déplacement des pôles de rotation, à la surface de la terre m'ont prouvé qu'il est insensible.

3 1 o EXPOSITION