Iix-è- Jj -== i65; jp=io
(5) De deux messagers partis en même temps, le premier fait lo parasanges chaque jour, le second successivement i , 2 , 3 parasanges , etc. En combien de jours atteindra-t-il le premier?
4j^r*, iH- 1-4-3 H- -HJF= lor; JF= 19.
(6) Si le premier fait 1 1 parasanges chaque jour, étant parti 5 jours avant le second , quand sera-t-il atteint par celui-ci?
= llJF-»-55, «• = 1I4P-I-I10;
(y) Partis le même joiu*, ils font, Tun successivement i , 3 , 5 . . . para- 49 v% sanges, Tautre 10 parasanges chaque jour. En combien de jours se rencontreront-ils?
«*= io«; x= 10.
(8) Les mêmes choses étant supposées, mais le premier faisant successivement 2, il, 6 parasanges, on aura
(g) lo-h i5-h ao-+-... (x termes) =335.
5or^. |io-h (5x-h 5)>- = 3a5; x= 10.
(10) On a le mithkàl à 5 , à 7, et à 9 dirhems. On prend quelque chose de chaque sorte, en tout 1 mithkàl à 8 dirhems. Combien a-t-on pris de chaque sorte?
Posons ce qu*on a pris de la première sorte , et également ce qu'on a pris de la seconde , = x. On aura
(il) On achète pour 20 dirhems de froment à q dirhems le kafiz, et pour 5 dirhems un certain nombre [x) de kafiz de millet à un prix inconnu. En vendant le firoment au prix du millet, et le millet au prix du froment, on gagne 5 dirhems.
io:(3o — aar)=j?:5, 5ov*.
«»-i-a5 = i5x; « = 7î — y/Si J.
(12) Un journalier reçoit 1 o dirhems par mois, s*il travaille; mais s*il ne travaille pas, il est obligé de payer 6 dirhems par mois. Il a passé un mois de sorte qu'il ne reçoit ni ne doit rien. Combien [x) de jours a-t-il travaillé?
(1 3) S'il reçoit U dirhems â la fin du mois, combien de jours a-t-il travaillé?
( 1 k) S'il est obligé de rendre 1 dirhems , combien de jours a-t-il travaillé? 5i r^.
la--l-2=l(3o — x); x = 'jI.
(i5) Trois fontaines versent de l'eau dans un réservoir; la première le remplit en 1 jour, la seconde en 2 , et la troisième en 3 jours; toutes ensemble en quel temps?
x-^{x-\-jx=i-, « = 17 d'un jour.
(16) Toutes ensemble combien de fois le remplissent-elles en 5 jours?
(5-+-2i-+-iî) fois*.
(1 7) La nourriture de 1 o pièces de bétail est de 4oo par mois; de combien [x) est celle pour 3 pièces en 7 jours?
^x==^.4oo; jF=a8. 5^^.
(18) La nourriture étant par mois cinq fois égale au nombre {x) des pièces, celle de 5 pièces a été, en 6 jours, un quart de leur nombre.
j^x: b = {x:x\ x=io.
* Résolu sans cidcal, par un simple raison- insérées par Bachet à la fin du V* livre de son nement. Comparer, relativement anx énoncés édition de Diophante, n** a3-36, a 8 et 43 , de ce problème et du précédent , les épigruumes p. 36o-36 a , 363 , 369. LUtufod, S gi .
84 EXTRAIT D€ FAKHRL
(19) D'un c^ertain iHMnbre (x) de vêtements, le premier vaut 1 dirhem, le second 2 , le troisième 3 dit h^ns , etc. La racine de leur prix total ajoutée à leur nombre donne 1 A.
(20) Un journalier reçoit par mois un salaire inconnu; ayant travaillé 5 jours, il reçut 1 y de la racine de ce salaire.
3o : JP = 5 : {1 -H f ) y/jc; « == loo.
(a 1) Un journalier reçoit un certain salaire pour un certain nombre de jours. Il a travaillé le quart de ce temps, et a reçu la racine de ce salaire.
En posant le salaire = x",
on aura Ax = jc*; x*=i6.
Quant au nombre de jours , on pourra le poser ^al à tout ce qu'on veut.
Posons ^==j:-+-,,
on aura j:*-i-5 = jc*-Hijf-t-i;
donc x = a, x"^4.
Posons V = X — 1 ,
5«v*. on aura x"— io = x*-f- 1 — 2x; x==5^, jc^^aol.
(24) ac" -\-bx=y*.
Posons y = nx,
disons =3x;
on aura x'h-5x = 9x»; x = i, x* = 7j.
(2 5) jc» -+- 5x -H 5 =/.
Posons y = x — 3,
on aura x*-|-5x-H5 = a:*-H9 — ôx; «==17, a:* = T^.
Posons 7 = X — 2 ,
on aura x" — (ix -♦- a) = x* -4- 4 — 4a:-, x = 3 , x* = 9.
EXTRAIT DU FARHRL 85
(27) JC — x«=/.
Posons y=znx,
disons = 2x\
on aura t — x' = 4a;^ x = \, x* = ^. 53i^.
Résolvons d abord y, -h j?,* = «iS ^, — a?,* = «,*. En posant j'j = 2^» -h 1 ,
on aura y, h- j?,' égal à un nombre carré , et j', — a;,* = 2JC| -m — a?,» = r,*;
posons '1 = 1 — a;,,
on obtient 2jp, -h 1 — x^* = x,* -h 1 — ax, ;
donc a;, = 2, -r,«=4,^, = 5. «,'=i, z,' = 9;
puis on aura ^ = î, *' = tÎ-
(2 g) jc-^jr= 10, 20-1- JP = 2*, 5o — ^ = f''.
Posons x = Xi* — 20 , r = 3o — a;,*,
on aura 20 -+- x^* = e.
Il faut choisir t de sorte qu'on obtienne a?,*>2o et «,•— 2o<:io, ou 53v^. 4 i <: a:, <: 5^"; en conséquence , posons t = a?, — 1 1 ; on aura
JC,* -f- 20 == a;»* -H 121 — 2 2a;i , x,= 4i|îa;={4iir-20.:r=«o~|(4ljr-2o|.
Posons a^ = i o — a?i*,
on aura 20-+- a;,* = 2»;
prenons z de telle sorte qu'il résulte a?,' < 10 , disons z = x» -h 3 ; on aura
20 H- ar,* = a:,' -I- 6a;, H- g,
£n8ubfttitaani,dan8laderiiièrede ces trois sous laquelle je Tai placé p. 12, n* 2. On voit
équations, la valeur dey tirée de la première, que la nouvelle variable «, introduite par Tau-
on a teur n*est autre chose que z.
20H-ar=2% ào-hx = l*; - Cela équivaut à 20 J < a:.» < 3oi au lieu
ainsi, le problème est réellement de la forme de 20 <C ar,* <: 3o.
(3l) x-+-io=j^, «-4-i5 = z*.
On a /-H 5 = 2*;
54 (^. prenons z de telle sorte qu'on obtienne j^r> lo, disons z=^H-f; on aura
Résolvons Aj', -h x^ = z,«, ^, — x^=^ e,».
En posant j, = x, -^ i ,
on aura kyx-^-xf égal à un nombre carré,
et y^ — a?,*==jr, -Hi — a?|*=f,*;
posons
tx—Xy— i;
on obtient
Enfin on aura
• 'il:* •*
,1 10» ** lOO*
On posera
j' — na?.
lO
54 V*. 10— a« = y3^ a;* -4- ioo= 4oj?; a7= 20 — y Sou.
(35) x(x-hy/5)= lox*.
(37) sjîx . \/Âï-»-5a?-»-20 = a;**".
a; = { 2 1 -^ V/^) -f- y/agï-i-v/TS.
* Comparer Libri, //»f. c/fi sciences math, en ** Gomp. ihid. p. 4o6, 1. 17.
Italie, t. H, p. 4o3, 1. 19. *'* Gomp, ibid, p. 407, 1. 20.
On obtient u5H-5a?*-i-5oa; = a;*, ce qui est impossible; mais si le second membre de Téquation proposée était ix, on aurait àjc*= ibSh-Sox, ce qu'on résout selon la règle.
(39) x-{-y=io, y — ^.ar=4o*.
On aura 6o-Ha;*=2(M;-4-y/8Î?i 55v*.
ce qu'on résout selon la règje.
(ào) X — y =5, yxTïoi ==y **,
y/iox*H- iar= 26 -H x*; a?= (5-f-v/â|) -^-l/2î-^- v/^^o, y = x — 5.
aafH-yTï? = 3o;
multiplions par \/^ , on aura
ce qu^on résout selon la règle.
(da) X* = ko -{- y/TâF.
(/l4) af-«-j'=io, j?^=4a?-H-5.
Comparer Libri, t. II, p. 4i 1 1 1. i3. *** Comp. ibid. p. /iao, 1. 18.
Gomp. ibid, p. 4i4 , 1- 15. **** Comparer Diophante , 1,4*
