EXTRACTION DES RACINES
Règles et applications, 1" Extraction de la racine carrée de 67081 :
j/6.70.81 Carré.... 4
1" reste..
2* reste. .
259 racine
On sépare le nombre 67081 en tranches de deux chiffres à partii de la droite ; il devient alors 6,70,81 ; on cherche le plus grand carré contenu dans la tranche de gauche 6, qui peut se composer d'un ou de deux chiffres; ce carré 4 se place au quotient; on en extrait la racine 2 qui se place à la droite du trait vertical ; on retranche le carré 4 de la tranche 6 qui l'a donné et on écrit à la droite du reste 2, la tranche suivante (70); on sépare par un point le 1" chiffre de droite, 0, et on divise la partie à gauche 27 par 4 qui est le double du 1" chiffre trouvé de la racine; le quotient 5 se place à la droite du 1" chiffre, 2, de la racine et du 1" quotient 4 ; on multiplie par 5 tout le quotient 45 ; on retranche le produit 225 du dividende partiel 270, et on obtient un reste 45, à la droite duquel on abaisse la 3* tranche 81 ; on a ainsi le 2® dividende partiel 4581 ; on sépare par un point le dernier chiffre de droite 1 , on divise la partie à gauche 458 par 50 qui est le double de la racine 25 pour obtenir à la racine un nouveau chiffre 9, lequel se place à la droite de la racine et du double de la racine ; on multiplie 509 par 9, le produit se soustrait de 4581, et le reste indique que le nombre 67081 est un carré parfait et que sa racine est exactement 259.
Un chiffre porté à la racine est bien lorsque le reste est inférieur au double de la racine + 1 ; il est trop faible lorsque le reste n'est pas moiudre que le double de la racine -f 1 .
S'il s'agit d'extraire la racine carrée d'un nombre décimal, il faut toujours rendre pair le nombre de chiffies de la partie décimale et opérer comme pour un nombre entier; on complétera, s'il le faut, par des la partie décimale pour former autant de tranches que l'on veut obtenir de chiffres à la racine, selon que Ton doit approcher à 1/10, à 1/100, à 1/1000 près.
2° Extraction de la racine cubi(iue du nombre 3723875 :
3 triple carré de 1
1" reste..
675 triple carré de 15
2« reste...
Cube de 15 — 3375 Cube de 155 = 3723875
3" reste. . .
On sépare le nombre 3723875 de droite à gauche en tranches de 3 chiffres, on cherche le plus grand cube 1 contenu dans la tranche de gauche 3 qui peut avoir un, deux ou trois chiffres. Sa racine cubique 1 se place à la droite de la verticale. On place le cube 1 sous la i'« tranche 3, on retranche 1 de 3, et à côté du premier reste 2 on abaisse la V tranche 723, dont on sépare par un point les deux derniers chiffres de droite. On divise alors la partie de gauche 27, par le triple carré 3 de la racine 1 ; le quotient 5 vérifié forme le deuxième chiffre de la racine. On cube la racine 15 dont le produit 3375 se soustrait du nombre 3723 formant les deux tranches de gauche du nombre donné.
Le nouveau reste 348 se place comme dividende partiel ; on pose à la droite de ce dernier la tranche suivante 875; on sépare par un point les deux derniers chiffres à la droite de ce dividende. On divise la partie à gauche 3488 par 675 qui est le triple carré de la racine 15, le quotient 5 forme le 3° chiffre de la racine; on cube 155, dont le produit se retranche du nombre proposé 3723875 ; le reste prouve que le nombre est un cube parfait et que sa racine cubique est exactement 155.
La racine cubique d*un nombre décimal s'extrait de même, mais en ayant soin de compléter le nombre des décimales pour former des tranches de trois chiffres.
On reconnaît que la racine est trop faible lorsque le reste de la
DE l'ingénieur-constructeub. 11
soustractioD n*est pas moindre que le triple carré de cette racine augmenté du triple de cette racine + 1.
Nota. Voir 'à l'appendice du lormulairela table des calculs faits.
FORMULES ALGEBRIQUES.
L'algèbre, qui est l'expression simplifiée et généralisée des formules mathématiques, a pour objet principal la résolution des équations pour en tirer les valeurs des inconnues.
Données usuelles :
(a + 6)2 = flî + 2 a 6 + 62 et (a — 6 )2 = a2 — 2 ai + 62
et(a — 6)3 =û3 3a26 + 3a62-. 63
Résolution des équations.
l» Équations du l*'' degré à 1 seule inconnue ; règle : chasspr les dénominateurs, par rédaction, s'il y en a. Faire passer dans le premier membre tous les termes en x. Simplifier et mettre l'inconnue en facteur commun. Diviser les deux membres par le coefficient de l'inconnue. La forme des équations du 1" degré à 1 inconnue est
ax = b d'où X = -
2° Équations du 1" degré à plusieurs inconnues ; règle : effectuer les mêmes opérations, mais observer qu'il faut autant d'équations ^u'il y a d'inconnues, sans quoi le problème est indéterminé. La forme des équations du l''' degré à deux inconnues est celle-ci :
10 ax-^by = c et 2" a'x-{- b^t/=c'
„ , cb' — bc' ca' — flc'
d*ou X = -- — T— et y = ., - . ,
ab' — ba' ab' — ba'
3° É(îuations du 2* degré. Les équations du 2^ degré peuvent être complètes ou incomplètes. Dans ce dernier cas. elles se présentent sous la forme
aa;2 = 6 d'où
Dans le cas où elles sont complètes, on a la formule
fl;c2 '\- bx -{- c =0
d ou a; =
or. en faisant
Lisant - = pet- = <7. .t = — -=t IX ^^^ n.
4* Équations du 2^ degré à plusieurs iiiconaues. Si dans un système de deux équations à deux inconnues Tune est du 1" degré, on en tire la valeur d'une des inconnues en fonction de l'autre; substituant alors cette valeur dans l'autre équation, celle-ci devient du 2" degré à une seule inconnue ; on en tire la valeur de cette inconnue et cette valeur substituée dans la première équation permet d'obtenir la valeur de l'autre inconnue.
Lorsqu'une des équations est du l" degré par rapport à l'une des inconnues seulement, ou en tire la valeur de cette inconnue ; et substituant cette valeur dans l'autre équation, on obtient une équation du 3« degré.
L'élimination d'une des inconnues entre deux équations complètes du 2* degré à deux inconnues conduit à une équation du 4* degré.
PROGRESSIONS
>aeile8. — Une progression arithmétique est une suite la raison ou différence, de l'un par rapport au précé-
Formnles usuelles.
de termes dont
dent ou au suivant, est constante.
Une progression géométrique est une suite de termes croissants ou décroissants dont la raison (ou quotient de deux termes successifs) est constante.
Soit A le premier terme d'une progression croissante ou décroissante; U le dernier terme; R la raison*; N le nombre des termes; et S la somme des termes.
On a pour progression arithmétique :
U = A-fR(N — i)etS = (A + U)^
et pour progression géométiique :
u«=AxR^^-'^ets=iIi:::^
Logarithmes. — Soit deux progressions, Tune arithmétique commençant par et ayant pour raison 1, comme 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6...; l'autre géométrique dont le premier terme est 1 et la raison 10,
comme 1 : 10 : 100 :iooo : loooo : looooo : loooooo....
Chaque terme de la progression arithmétique est dit le loga-
DE l'ingénieur-constructeur. 43
rithme du terme correspondant de la progression géométrique, ainsi :
est le logarithme de 1, et 1 celui de 10, et 2 celui de 100, etc.
On appelle base d'un système de logarithmes le nombre qui a pour logarithme 1 ; dans l'exemple précédent 1 est la base du système et
1 se nomme la caractéristique.
L'avantage des logarithmes est d'effectuer avec rapidité les multiplications, divisions et les opérations des racines carrées et puissances.
Régies usitelles.
V Le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes de chacun des facteurs. Ex. log. aô = log. a + log. b; 2° Le logarithme d'un quotient est égal au logarithme du divi'
dende moins le logarithme du diviseur. Ex. log. — = log. a — log. b.
8" Le logarithme d'une racine carrée est égal au logarithme du nombre placé sous le radical divisé par l'indice de la racine.
^ » ..^ V" log.rt Ex. Loganthme k « = " .
4° Le logarithme d'une puissance d'un nombre est égal au logarithme de ce nombre multiplié par l'exposant. Ex. Log. û» = 8 X log. a,
INTERETS
L'intérêt est le produit d'un capital ou d'une somme placée pendant un certain temps.
Le taux légal annuel est de 5 p. 0/0.
Le taux commercial annuel est de 6 p. 0/0.
L'intérêt est simple lorsqu'il se touche annuellement; il est com. posé lorsqu'il vient chaque année s'ajouter au capital placé.
Rentes sur FÉtat. — En désignant par S une somme à placer pour
acheter ime rente R sur l'État au cours G , et par I l'intérêt, on a la
UG formule S = — - qui permet de trouver la somme nécessaire.
Ex. Combien coûteront 150 fr. de rente à 4 1/2 p. 0/0 au cours de 95 fr., et à 3 p. 0/0 au cours de 70 fr.?
S = — — — = 3166 f.66c., capital à verser pour larenteà4 1/2 p. 0/0. 4,5
150 X 70 S = , capital à verser pour la rente à 3 p. o/O.
Intérèis glniples. — Les intérêts simples donnent lieu à 4 pro*
bltines qui se déduisent de la même formule. Celle-ci se compose de 4 quantités que l'on peut déterminer respectivement en connaissant les 3 autres.
Soit S le capital, N de la durée du placement, t le taux de Tintérét, I l'intérêt du capital.
L'intérêt s'obtient par la formule : I = : d'où Ton tire
,0 , = 1>1J1.^ 2olecapitalS = ^-^>y ; 3«laduréeN = ii^ SXN' ^ tX^ S Xt
Escompte. — L'escompte est la retenue faile sur le montant d un billet touché avant l'échéance.
Cette retenue est l'intérêt de la somme calculée pendant le temps qui devrait s'écouler jusqu'à son placement; elle est donnée par la
formule : 1 = t— .
Intérêts compofiés. — Dans les intérêts composés on n'a généralement que 3 problèmes à résoudre donnés par les formules sui-
vantas : L'intérêt I = S X ( — ) , et le capital S = ■—
V2ôj
^ suppose l'argent placé à 5 0/0.
Pour trouver maintenant le temps N pendant lequel il faudra placer le capital S pour obtenir un intérêt I, on cherche, au moyen de la première formule, ce que vaut le capital après la première, la
deuxième, la neuvième année , et on reconnaît qu'il a
rapporté un certain intérêt V < L
On sait alors qu'il y a w années; la formule suivante donne le
^ , , I — rx 36000
nombre de jours = .
-,, , „ I — rx 36000 ,
D ou N = h n.
Sx f ^
Rente viagère. — Pour déterminer la rente viagère R d'un capital S, placé par une personne âgée de n années, t étant l'intérêt de 1 franc par an, il faut connaître : le nombre d'individus p qui survivent à n années sur 1,000,000,000; p' qui survivent à n -f- 1; /?" qui survivent à n + 2; jusqu'au nombre d'années N que l'on suppose dernière année de l'âge de la personne.
Alors on déduit R de la formule suivante :
s X ,. - i X p' + jji^, X p- + jjip X F~
DE l'ingénieur-constructeur.
Règle de société. — Soient m, m\ m" les mises de 3 associés, t, V, t" les différents espaces de temps depuis lesquels ils les ont apportées, et G le gain qu'ils ont amassé; en appelant M la quantité (m X t)+ {m'Xt'] + (m"xr):
La paît du 1" = m X ^ X tj; celle du 2« = m' X t' X -^;
celle du 3e = m" X t" X
TABLE
DONNANT l'intérêt DE 1 FRANC PAR JOUR A DIFFÉRENTS TAUX, SELON QUE l'on COMPTE l'ANNÉE A 365 OU A 360 JOURS.
INTÉRÊTS
INTÉRÊTS
TAUX
correspondaiiis pour
correspondnnts pour
l'année (le 365 j.
rannée(le360j.
5 il'2 0/0
» — 164383nfî
En représentant par t dans ce tableau l'intérêt de Tunité pendant un jour, par N le nombre de jours pendant lesquels le capital ! produirait 1 d'intérêt simple, Tintérêt de s francs pendant n jours égale,
-— ] francs , car l'intérêt de 1 franc pendant
sn jours est égal à ^w qui multiplie l'intérêt de 1 franc pendant un jour. On calcule la valeur de N en nombres entiers et décimaux à Paide
j 1 I. 1 XT 36000 de la formule N = — — .
L'année est supposée de 360 jours et I est Tintéiét annuel.
FOAMULAIRB
