S,IS
a,oo
pour entretoiaer les murs, suppléer à leur défaut d'épaisseur et les empêcher de boucler.
Le tableau suivant ne contient qu» des voûtes en plein ciotre, les autres pouvant toujours être évitées et ayant le désavantage de nécessiter des culées plus fortes.
Pont du renipaM (Ori^sna i Tours)
— de Sainl-Hjlarioû (Paris ï Chartres)
— da Tertre (Pariai Chartres),
— de la Tuilerie, id, , , ,
— des Voisins
— dés Basses-Granges (OrlËana i. Tours)
860. Méthode graphique donnée par M. Méry, ingénieur des ponls el chaussées, pour calculer la stabilité de» voûtes [873, 913).
Par ce procédé, très-pratique, ou peut obtenir les divers élémenls principaux nécessaires pour déterminer les épaisseurs des voûtes cyliBdriques de toutes les formes et de leurs pieds-droits.
Lorsqu'une voûte est en équilibre, de quelque manière que, sur chaque joint, la pression se répartisse entre les différents points, l'ensemble des pressions partielles donne une résultante unique appliquée en un point du joint; ainsi, par exemple, pour le joint ab, fig. 3t, PI. III, cette résultante, que nous désignerons par p, sera appliquée au point g, et la voûte devra être tenue en équilibre par cette pression p et par la poussée horizontale P qui agit au sommet de la voûte. Sur chacun des autres joints a'6', «"6", etc., il existe des points g', g", elc, analogues à g. loua ces points déterminent une courbe, que M. Htrj' appelle cowbe de pression, qui est très-propre à éclairer sur l'équilibre de la Toflle.
Si cette courbe passe au sommet C de la voûte, au point b de l'intrados et au point extérieur A, cela indique que la voûte tend à s'ouvrir à l'intrados au joint C, à l'extrados au joint ab, et que le pied-droit tend à toamer autour de l'arête extérieure A.
La courbe de pression n'atteignant pas les points C, b et A, mais s'en rapprochant comme l'indique la figure, elle montre encore que ces points sont les plus faibles de la voûte.
La résultante de toutes les pressions qui s'exercent sur le joint ab passant par le point g où la courbe de pression rencontre ce joint, la moitié des composantes de p agissent sur la portion bg, qui doit y ré*
PONTS EN MERRE. 1*^1
sîster sans s'écraser; il en est de même de chacune des portions «A, Wg'
Nous disons que hg doit être capable de supporter la moitié de la pression qui s'exerce sur le joint ha\ mais remarquons que la pression allant en augmentant depuis le point g jusqu'en 6, l'arête 6 s'écraserait si l'on s'en tenait pour hg à la limite exigée par une demi-pression répartie uniformément.
On n'a rien de bien positif sur la manière dont la pression se répartit sur un Joint, mais on admet généralement qu'étant à son maximum en 6, elle décroît proportionnellement à la distance à ce point ; de sorte que la pression étant moyenne en gp, elle est nulle au point h qui donne hg = %gh (la pression totale étant représentée par la surface d'un triangle dont hh est la hauteur, g le centre de grayité, et dont la base, que nous représenterons par R, est proportionnelle à la pression maximum en b (858, 872) ; en tout autre point, la pression est représentée par la parallèle menée en ce point k la base du triangle).
Cela posé, comme il est évident qu'au point 61a pression R nedoit pas
dépasser la limite que comporte la pierre, il en résulte que la partie hg
doit être capable^de supporter une charge représentée par R x bg^ et
comme la pression totale sur le joint ah est Rx- hg, on voit que hg
doit être capable de supporter les 2/3 de la charge totale du joint, et non la moitié.
La pression s'exerçant suivant la tangente à la courbe de pression, cette courbe, par son inclinaison sur les divers joints, sert encore à faire connaître les joints oii le glissement est k craindre, a étant l'angle que fait la direction de la pression avec le joint du voussoir, l'effort qui agit suivant la direction du joint pour produire le glissement est pcosa, TefFort normal au joint est psina, et 0,76 étant le coefficient de frottement ordinairement adopté, on doit avoir, pour qu'il y ait stabilité, pcosa<psinax0,76, ou cosa<sinax0,76(n" 58 et 74).
861 . Tracé de la courbe de pression. Une voûte exigeant, pour sa stabilité, que son épaisseur et celle de ses pied»-droits soient plus considérables que ne l'exige l'équilibre statique, on conçoit que la courbe de pression peut y prendre une infinité de positions diflFé rentes sans qu'il soit possible de préciser celle qui se réalisera, cette position dé pendant du tassement, que l'on ne peut prévoir exactement, et des surcharges accidentelles auxquelles la voûte peut être soumise.
Prenons, ^^. 31, PL III, sur le plan des naissances le point m paraissant, par ses distances aux points h et a, devoir appartenir k la courbe de pression (les parties hm et am doivent chacune pouvoir supporter sans s'écraser les 2/3 de la charge du joint ah) (860) ; prenons égalemen t sur le joint vertical cd le point n paraissant, par sa distance au point c, appartenir à la courbe de pression, et proposons-nous de tracer cette courbe passant par m et n, c'eçt- à-dire de trouver les points où elle rencontre les joints e/, hi^ etc.
On calcule le poids du voussoir cdha^ et l'on détermine la position de
son centre de gravité ; soit KG la verticale passant par ce centre de gravité; prolongeons cette verticale jusqu'à l'horizontale wX, joignons Km, prenons KS proportionnel au poids trouvé, et terminant le parallélogramme KSRP, KP est proportionnel à la poussée horizontale, et la diagonale KR à la pression totale p sur le joint ab. Gela fait, soit kg la verticale passant par le centre de gravité du voussoir cdfe ; prenons ks proportionnel au poids de ce voussoir, et kp égal à la poussée horizontale KP; construisons le parallélogramme À*^p; la diagonale kr représente rintensité et la direction de la pression sur le joint ef, et le point o, où elle rencontre ce joint, est un des points de la courbe de pression. Opérant sur le voussoir cdih comme sur cd/e, on détermine le point q où la courbe rencontre le joint hi, et par la même marche on déterminerait tous les autres points de cette courbe.
Si les points m et n ont été mal choisis, on ne tarde pas à s'en apercevoir ; la courbe qu'on obtient sort des limites convenables ou confluit aune épaisseur démesurée de pieds-droits; on fait alors une nouvelle hypothèse sur la position de ces points, et l'on construit une nouvelle courbe, en se servant évidemment des poids et des positions des centres de gravité des voussoirs qui ont été déterminés pour la première courbe.
Supposant que la voûte est construite en matériaux assez résistants pour que la pression puisse s'exercer sur les arêtes des voussoirs sans les écraser, il est évident qu'il y aura équilibre tant que la courbe de pression ne dépassera en aucun point la limite des voussoirs ; mais qu'aussitôt cette limite dépassée, l'équilibre sera rompu si la voûte n'est pas coQsolidée par des armatures ou des mortiers d'une résistance supérieure a l'effort qui tend à rompre l'équilibre. Avec les matériaux ordinairement employés, les distances de la courbe aux extrémités de chaque joint doivent être telles, que chacune d'elles soit capable de supporter une charge uniformément répartie égale aux 2/3 de la charge totale qui repose sur le joint. Lorsque deuï voûtes opposées s'appuient sur un même pied-droit, on peut s'en tenir à l'épaisseur statique, c'està-dire à celle où la courbe de pression passe aux extrémités des joints de la clef, des reins et du plan des naissances; parce que, outre que les poussées contraires rendent tout mouvement du pied-droit impossible, la maçonnerie qui relie les deux voûtes au-dessus du plan des naissances rend impossibles le glissement et le renversement de la partie de voûte comprise entre les naissances et les reins. Il est évident que le massif de maçonnerie qui reliera les deux voûtes doit être construit au moins jusqu'aux joints de rupture des voûtes avant le décintrement et le chargement.
86â. M. Petit, capitaine du génie, a donné les tableaux suivants des valeurs des angles de rupture, c'est-à-dire des angles que forment avec la verticale les rayons menés du centre de la voûte aux joints de rupture. (Extraits du n* 12 du Mémorial de V officier du génie,)
PONTS BN PIBRRB.
1* Tabie des angles de rupture, des pousiées et des épaisseurs^limites des piedsdroits des voûtes en plein cintre à extradée parallèle, sans aucune maçonnerie ni wrcharge sur la voûte.
TALBUi;
•AFPOmT
TAUm RAPPCM G
BAPPORT V 2G
du
de la poufite an
eané dn rayon r
de l'éoaisseur-
uu
da
de
de rintradoe.
llIIlltlS
da pied-droit
rapport
diimètre
Paai^
an rayon de l'intrados.
Gai
Cas
itabiUtè
àr^isiear.
damptare.
de la rotation.
dn glissement.
de lÀkire.
SIKIÈUB PAMIB.
VAtEUm
RAPPORT
YALEUR
' bappottG
Rànowet \f^
da rapport R
mm m
du diamètre
de l'angle
de la poussée au de l'im
Ga&
carré 4«rvy Ml r trados.
de YéfaSmmt-
limite du pied-droit
«s rayon de l'intrados.
à Féptiiseor.
de raptate.
delà rotation.
du glissement.
de Laàire,
0,448fnf
♦ .Of
InfiDÎ.
Observations sur la ûabie précédenfe et nsags de <etie table.
R rayon 6e Textraitos; r rayon de Tintradcf; G rapport de la poussée horizontale maiimam agissant à la clef a« carré da rayoa r.
Pour obtenir la Talcnr de la povssée horizontale ei kilogrammes, par mètre coaraat de longoeiir de Yoùte, il suffit de BiuUipher le preduit Cr* par le poids d'un mètre cube de maçonnerie, qui est ordinairement de 2250 kilogrammes pour le moellon.
L'auteur de cette table remarque qoe la rupture des voûtes en plein cintre à extrades parallèle n'a lieu qae par rotation à rintérienr autour d'un joint des reins, on par glttsèment à rintèrîeor sur un des joints.
Les iralenrs du rapport C sont caleoLècs^ dans les cas de glissement, en supposant Je coefficient de frottement égal à 0,577; c'est la veleor donnée par Rondelet pour lis parallélipipëdes en pierre de liais, équarris et dressés au grès, glissant sur un plan de même pierre et dressé de même. De ses expériences, Boistard conclot qu*il fant faire ee coefficMotégal à 0,76 pour la maçonnerie (58).
L'examen des yalenrs de G fait Toir que dès que le rapport - descend à 4^44 , la
poussée horizontale detîetft plus faible pour p rodrâre le glissement que peur produire ia
rotation; par conséfoenl, pour les ve&ten donnairt — supérieur à 4,44, on atfeplera ks
yaleurs de G dues an glissement, et pour celles dont les yaleurs de — sont de 4 ,44 et
au-dessous^ on adoptera les valeurs de C daes à la rotation. Un interligne horizontal placé dans les colonnes de la taUe indique la limite où Tune des valeurs de C coamenoe à surpasser rautru*
POMTS Eut nCRIlE.
L'épaisseur-limite da pied-droit dont il est question dans la 6* colonne de la table cet répttiseor qiiil faudrait adopter si la hauteur du pted-droit était tnfinie. Dans tes cas «rdioaires de la pratique, quand ea n'a pas besoin d'une trés-grajide stabilité, on pe«t réduii» cette épaisseur-limite de 4/40 enfiron.
Soit à déterminer, par exemple, Tépaisseur-limite à donner anx pieds-droits d'une Toûte À extrados paîaUèle^ de 5 mètre» de diamètre» ea iaisant usage de la table précédente.
On commence par déterminer fépaisseur de la voûte d'après ht formule de PeireaBOt, ce qui émne
e = 0,03tW + 0;325 = 0,0047 K 5 + 0,325 = 0^,498. («58)
On a doue r = a^jSO, R = 2-,99«. et far auite,
Ce rapport étant moindre q^ 4|44, la poussée par nitation est etpérieare à eelle par glissement, et l'on doit prendra
C = Ojl44IK).
La poussée par mètre courant est alors
0,44440 X r« X 2250 = 9,4 4440 X%60 X 2^» X 2S50 = 4566 kilog.
L'épaiisoiir-limite des piedo-droits est, en adoptant la stabilité de Lahire,
Si les pieds-droits, au lieu d'être supposés aroir une hauteur infinie, n'ayaiont que 3 mètres de hauteur, on pourrait d*après nne application d'une formule de M. Petit, réduire l'épaisseur 4->,626 à 4-,iS7.
2* Table des angles de rupture, des poussées et des épaisseurs-limites des pieds^roHs des voûter en plein cintre extradossées en chape à 45<*. Ce sont des voûtes en plein cinir* exiradossées parallèlement^ tnai» couvertes d'une chape en maçonnerie dont le pian supérieur est incliné 4 46^ à Vhorizon et tangent à Vextrados de la voûte.
YAUOa
du rapport
RAPPORT
du
diamètre
à réf aissenr.
YÂLEtR
do
Tangle
de rupture.
31ÀPP01T G
de la poussée au carré du rayon r de rintrados.
GaB de la rotation.
Cas
du glisiemeot.
RAPPORT
de rqpai&seur-limite du pied-droit
au rayon de rintrados,
staUUtè de yaubên.
▼ALlUft
RAROAf
TALEOft
AAFP6RT G
KAPPOIT ^iC 1
du
dn^
de
de la poussée au carré dn rayon r de rintradoe.
del'épaisseurJiiiiitel da pied-droit 1
rapport &
diamètre i l'épaisseur.
l'angle dempture.
Cas de la rotation.
Gtt dn f^isseaent.
an rayon de Tiotiados.
êtabUUi de Yauàan.
l,lî
Les observations de la table V s'appliquent également à celle-ci, et pour déterminer i'épaisseur-limite des pieds-droits, on suit aussi la même marche; ainsi, l'on commence par déterminer l'épaisseur de la Yoûte extradossée parallèlement, à l'aide de la formule
de Perronet; on a alors -, et le tableau donne la yaleor de G qui correspond à ce
rapport; puis de cette valeur de G on conclut la poussée horizontale, ainsi que l'épait-
seur-limite des pieds-droits. En opérant de cette manière, on trouverait, pour une voûte
de 8 mètres de diamètre & l'intrados,
La poussée horizontale par mètre courant est 0,24477 xi^X 2250 =8811 kilog., et I'épaisseur-limite des pieds droits est, en adoptant la stabilité de Yauban,
^2G xr=0,9894xr=3"',9576. Si les pieds-droits avaient 5 mètres dé hauteur, on pourrait prendre pour leur éoaisseur 3"',676.
PONTS m PIBMIB.
«• Table des angles de rupture, des poussées et des épatsteurs- limites des piedsdroits des voAtes en plein cintre extradossées horiMontalement. Ce sont des voûtes en plein cintre extradossées parallèlement, et couvertes d^un massif de maçonnerie dont le plan supérieur es* horizontal et tangent à Pextrados de la voûte.
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à répaissenr.
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du glissemeent.
8tabUitè de Lahire.
0,67Sâ
4,oa
Infini.
Les obserrations des tables 4* et S* s'appliquent également i cAle dernière, et pour une Toûte de 10 mètres de diamètre & rixntrados, la lègle de Perronnet dûnnaat
oftcoDcIat -^=1,1) et €::r0,4130a.
La povsBée horizontale par nètre eootant est alors
0,11303 X r» X 8250 = 6359 kilog.,
et répaissenr-limite des pieds-dreits, «n adoptant la stabilité de Lahise,
Si les pieds-droits n'ataient qu'une hautear de 5 môtres, on pourrait prendre pour leur épaisseur 2'»,8075.
865. M. Petit a encore considéré les voûtes en arc de cercle exêradossées parallèlement. Il convient de distinguer le cas où la moitié a de l'angle au centre correspondant à Tare de la voûte est plus grand que Tangle de rupture donné par la table r, page 1583, pour une voûte en plein cintre ettradossée perallèlement et pour une même valeur de
-* , et le cas où a est plus petit que cet angle de rupture.
E rayon de Tare d'extrados ;
r rayon de Tare d'intrados. Ayant r, on détermine l'épaissetr de la voûte à la clef, et par suite R, 4 l'aide de la règle de Perronnet (85^*
l"" Si a est plus grand que l'angle de rupture, la poussée horizontale est la mèm« que si la voûte était en plein cintre avec R et r pour rayons, et elle se détermine comme au 1* du numéro précédent. Quant àrépaisseur-limile E des pieds-droits, on la calcule à Taide de la formule
G a la valeur consignée table 1% page 1583.
poirrs en rnsmift
Dans les eas ordinaires de la pratique^ on peut dîminuer de 1/10 cette épaisseuMimite.
2* Si le demi-angle a est plus petit que Tangle de rupture donné ta-* ble l"*, page 1583, ce qui a lieu ordinairement dans la pratique, on détermine le rapport G de la poussée au carré du rayon de Fintrados à Taide de la table suivante, relative à sept valeurs différentes de a; ayant G, on calcule Tépaisseur-limite des pieds-droits à Taide de la formule
Table des poussées des voûtes en arc de cercle extradossées parallèlement (/ est Touyerture de la voûte et f la flèche de l'arc d'intrados).
TALEim
du rapport
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