IÎ740U
382. Observations sur le tableau précédent. Charge d'un poteau rectangulaire. Le tableau précédent a été calculé d'après la règle de Rondelet, déduite de ses expériences. On doit remarquer que la charge par centimètre carré d'un poteau ou d'une pièce de bois à section rectangulaire soumise à la compression ne dépend (à part l'essence
considérée) que du rapport - de la longueur de la pièce au plus petit
côté de sa section transversale. Par conséquent, si l'on double les dimensions d'un poteau (hauteur et côtés), la charge par centimètre carré reste la môme; mais la charge totale a quadruplé comme la section transversale elle-même. On peut vérifier cette loi dans le tableau précédent, en comparant les charges de deux poteaux dont les dimensions sont dans le rapport de 1 à 2. Nous retrouverons cette loi pour les solides (fonte et fer) soumis à la compression (388).
383. Lois de Navier et Duleau sur la compression des bois. Expériences d'Hodgkinson sur les poteaux en bois.
Navier et Duleau ont établi que, théoriquement, la résistance à l'écrasement est proportionnelle à :
ou
ou
selon que la section de la pièce est carrée, ou rectangulaire, ou circulaire d'un diamètre d,
E. Hodgkinson a fait quelques expériences sur des poteaux en bois dont la longueur a varié de 30 à 45 fois le côté ou le plus petit côté de la section transversale, et il a reconnu que ses résultats étaient assez bien représentés, suivant que la section est carrée ou rectangulaire, par la formule :
P = K^;, ou P = K^'.
P résistance èi la rupture du poteau, en kilogrammes ;
K coefficient constant, que Hodgicinson a trouvé égal k 2565 pour le chêne de Dantzick ;
à côté de la section carrée ou petit côté de la secUon rectangulaire du poteau, en centimètres ;
a grand côté de la section rectangulaire, en centimètres ;
/ hauteur du poteau, en décimètres.
Dans les formules précédentes on fera :
fk = 2565 pour le ckéne fort;
K = 1800 pour le chêne faible;
K=:2142 pour le sapin rouge^ le sapin blanc fort et le pin résineux;
K = 1660 pour le sapin blanc faible et le pin Jaune,
Pour ne faire travailler les pièces qu'au dixième de la charge de rupture, il suffit de diviser par 10 les valeurs précédentes de K.
Le produit a6' étant maximum lorsque a = 6, les formules précédentes
JK-'
montrent que, pour une même hauteur / et une même section ab, le poteau à section carrée est le plus résistant.
Le général Morin, en appliquant la formule précédente d'Hodgkinson à un poteau en chêne fort de 0",15 d'équarrissage , et en faisant K = 256,5, a obtenu les charges suivantes, en kilog. par centim. carré:
Rapport r. . .
Charge . • . .
Ce tableau peut être considéré comme étant d'accord avec celui de la page 434, déduit des expériences de Rondelet, pour les valeurs de r comprises entre 30 et 45, c'est-à-dire pour les valeurs qui ont servi à HodgkinsoD dans l'établissement de sa formule; mais hors de ces limites il y a un désaccord notable, surtout pour les petites valeurs de r.
Quand il s'agit d'une matière aussi altérable que le bois, et en considération de ce que les expériences d'Hodgkinson sont trop peu nombreuses, et qu'elles ont été faites sur des échantillons de choix, nous conseillons de ne pas atteindre les charges de ce dernier tableau hors des limites r = 30 à 45, qui ne comprennent pas les valeurs r = 12 à 30, les plus ordinaires de la pratique. Dans tous les cas, il convient de suivre la règle de Rondelet ou d'adopter les charges permanentes qui en sont déduites et consignées au tableau page 435.
Les valeurs précédentes de K, que Hodgkinson a déduites de ses expériences, étant sensiblement entre elles dans le rapport des nombres 60, 42, 50 et 37,4, si des expériences n'ont pas fait connaître la résistance du bois qu'on veut employer, on obtiendra des résultats pratiquement satisfaisants en multipliant les valeurs de p et de P, données page 435 pour le chêne fort, d'après la règle de Rondelet,
42 7 50 5 37,4 , rx. ^ n i •
respectivement par ^ = 77^» ïïn ~ ïï» "â^ P^**^ ^ chêne faible y le sapin
Jorty le sapin faible. Ainsi 60 kilog. étant la charge de sécurité par centimètre carré de la base d'un cube de chêne fort, 42,50 et 37,4 kilog. sont respectivement les charges pour les bois précédents.
384. Formule donnant la charge des bois soumis à la compression. La règle de Rondelet suffit à la rigueur pour le calcul des bois soumis à la compression; cependant, il est utile d'avoir une formule générale . qui donne les résultats pour divers rapports de leur longueur à leur équarrissage. Aussi depuis longtemps , d'après la règle de Rondelet , avons-nous établi la relation suivante : (*)
Ks
dans laquelle
P =z charge totale en kilogrammes; S = section en centimètres carrés;
(*) Cette formule a été proposée, en 1870, par M. L.-A. Barré, dans ses Éléments de charpenterie métalliqtie (p. 7).
RËSISTilNCE DES MATËtlUUX A LA COMPRESSION.
h hauteur du poteau;
e le plus petit côté de la section transversale rectangulaire du poteau o
pièce soumise à ia compression; B charge de rupture d'un poteau dont la hauteur ne dépasse pas 1 ai
plus petit côté de ia section transversale.
En appliquant la formule ri-dessus, et en prenant pour coe: de sécurité le 1/7 de la charge de rupture ou 420 kilog. : 7 = 60 on obtient, pour s = i centimètre carré, des charges qui s'dcarte des expériences de Rondelet et des chiffres du général Morin, rapprochons dans le tableau suivant tous ces résultats :
Rapport -. .
ao
Rondelel. . .
se
Movia
Fonaule (A).
Au delà du rapport - = 40, notre formule (A) donnerait des \
un peu plus grandes que la règle de Rondelet; mais dans les coi (ions le rapport 40 est raremenlatleint. On peut donc adopter la (c ci-dessus (A) pour représenter les expériences de Rondelet, Da charpentes, les arbalétriers, les contre-fiches et les poinçons supp des efforts de compression, et il est indispensable dans le cale pièces de charpente de tenir compte de leur longueur. Les tronçons d'un arbalétrier peuvent être considérés, le plus so comme des pièces encastrées par les assemblages.
On peut donc appliquer à chaque tronçon les résultats du t suivant, qui fera connaître la cliarge par centimètre carré qu'on r pas dépasser suivant la qualité des bois et le rapport — (*|.
Nous donnons ci-après le tableau pour les bois très forts, les h qualité moyenne et les bois médiocres.
Nous avons pris les coefficients suivants de sécurité ou de cot sion:
Bois /oTts {ehéjie et sapin) ^=~ = 60 kilog. par centimètre ca
Bois de qualité moyenne ^^- = 60 kilog. par centimètre ce
Bois médiocre —=—=^10 kilog. par centimètre carré.
C) Noas rappelons, en passant, qne souvent les artialétriers portent des pani saÎTimt leurs situations, tendent h produire la fluîon. Dans ce cas, la seci l'arbalétrier, qui doit Ëlre calculée pour résister à la flexion et à la compresa donnée par le formule connue :
R coerSeienl de sécurité ; a = seeti section ; y. moment Séduisant (V. i
385. Charges par centimètre carré des pièces de bois ou des poteaux
soumis à la compression.
BAPPORT
COEFFICIENT
COEFFICIENT
COEFFICIENT
lAPPOET
COEFnCIENT
COEFFICIENT
COEFFICIENT
AAk 2®^'
kilog.
kilog.
kllog.
kilog.
kilog.
kilog.
Application du tableau précédent. Soit un arbalétrier de sapin fort dont réquarrissage est 0",20 de hauteur sur 0",i5 et dont le tronçon le plus chargé de 3",60 de longueur supporte un effort de compression de 6400 kilog. Pour vérifier la section, on cherchera le rapport de la longueur 3",60 au plus petit côté 0",15 de la section transversale, ce qui donne 24. Pour ce rapport, le tableau précédent donne 30 kilog. par centimètre carré pour la charge pratique de Farbalétrier. D'autre part, la section transversale étant de :
0'»,15 X 0"^,20 = 300 centimètres carrés^
il en résulte que l'arbalétrier supporte seulement un effort de :
= 21 kilog. par centimètre carré.
On en conclut que la section adoptée est plus que suffisante. Nous rappelons que dans un tel calcul il faut compter largement les sections des bois, afin de tenir compte des assemi)lages«
386. Poteaux à section circulaire. Jusqu'à ce que la résistance de ces poteaux ait été déterminée par expérience, on peut la supposer égale à celle des poteaux de même hauteur et de section carrée équivalente. Du reste, on emploie rarement les poteaux à section circulaire, si ce n'est dans les travaux de mines, et à moins qu'on ne fasse usage d'arbres sensiblement écorcés pour certaines constructions provisoires.
Les pilots enfoncés complètement en terre se chargent à 30 et 35 kilog., et même quelquefois plus, par centimètre carré de section.
387. Fonte soumise à la compression. E. Hodgkinson a soumis à la compression des barres de fonte de 3",0o de longueur sur 6""**i,45 de section; toutes les précautions étaient prises pour les empêcher de fléchir, et des résultats obtenus il résulte que, jusque vers la charge de 17^,41 par millimètre carré de section, les compressions totales sont sensiblement proportionnelles aux charges, et que, jusqu'à la charge de 23^,27, les compressions élastiques, c'est-à-dire les compressions totales moins les compressions permanentes, sont exactement proportionnelles aux charges. Les compressions permanentes sont tellement faibles jusque vers les charges de 10 à 12 kilogr. par millimètre carré, qu'elles sont négligeables dans la pratique.
Le coefficient ou module d'élasticité par compression a été en moyenne, jusqu'à la charge de 17'',41 (en le rapportant au millim. carré) :
Comme on a pour l'extension E = 9096,070000 (page 422), on peut donc supposer que, dans les limites de charges de la pratique, la fonte résiste également à l'extension et à la compression, et prendre pour E la moyenne des deux valeurs précédentes, c'est-à-dire 8950,417000.
Des expériences antérieures à celles de E. Hodgkinson avaient conduit à faire E = 12000,000000 pour les fontes grises à grains fins (page 412) {par millim, carre).
Charge de rupture de la fonte par compy'ession. Des expériences de E. Hodgkinson, il résulte que la résistance à la rupture est sensiblement constante pour des hauteurs de pièces variant de 1 à 5 fois la plus petite dimension de la section transversale; en deçà la résistance est plus grande, et au delà elle diminue rapidement à mesure que ce rapport augmente. Des expériences sur 18 espèces de fonte ont donné une résistance moyenne à la rupture de 6321 kilog. par centimètre carré, pour les pièces dont la hauteur varie de 1 à 5 fois la plus petite dimension de la section transversale; mais comme cette résistance a varié de 3965 à 11153 d'une fonte à une autre, il y a donc lieu, dans la pratique, d'essayer les fontes qu'on veut employer. La résistance généralement admise est de 10 000 kilog., nombre qu'il paraît convenable de réduire à 8000 kilog., et même à 7500 kilog.
E. Hodgkinson a soumis à des efforts de rupture par compression des piliers en fonte provenant des forges de Low-Moor (Yorkshire) de bonne qualité, à grains gris assez serrés et de dureté moyenne, d'une résistance maximum de 8133 kilog. par centimètre carré. De ses expériences il a conclu que pour les colonnes dont la hauteur varie de 30 à 120 fois le diamètre^ on a respectivement pour les colonnes pleines et les colonnes creuses, à bases planes et perpendiculaires à l'axe,
P = 10676 yj^ et P = 10676Η -yj^f— .
V effort de rupture en kilogrammes;
W diamètre de la colonne pleine ou diamètre extérieur de la colonne creuse, en centimètres ;
il*:.
d' diamètre intérieur de la colonne creuse, en centimètres ; / hauteur de la colonne, en décimètres.
Pour des piliers plus courts, Hodgkinson a donné la formule ;
PR
effort de rupture, en kilogrammes ;
effort calculé par Tune des formules précédentes ;
effort de rupture du pilier expérimenté en supposant sa hauteur égale à 1 fois 1/2
son diamètre ; R est égale èi 8 133 kilog. multiplié par la section de la colonne
en centimètres carrés.
Gomme dans la pratique il est prudent que les colonnes en fonte ne travaillent au plus qu'à 1/6 de la charge de rupture, il faudra remplacer le coefficient numérique 10 676 des formules précédentes par 1 780 environ.
Dans aucun cas la charge permanente ne doit dépasser le 1/4 ou même le 1/5 de celle de rupture, même pour des ouvrages provisoires ne présentant pas de grands risques.
En générai, on peut admettre que les fontes ne s'écrasent que sous des charges d'environ 8000 ou 7500 kilog. par centimètre carré. En employant des fontes d'une résistance sensiblement différente de 8133 kilog., il suffirait de multiplier le coefficient numérique des formules précédentes par le rapport de la résistance de fonte employée à la résistance 8133 kilog.
Formule de Love. M. G. H. Love a donné la formule suivante, plus simple que la précédente, représentant les résultats d'Hodgkinson et s'appliquant à tous les piliers en fonte dont la hauteur varie de 4 à 1210 fois le diamètre :
charge de rupture ;
comme ci-dessus, charge de rupture du pilier supposé très court ; c^est la résistance 7500 ou 8000 kilog. multipliée par la section du pilier en centimètres carrés; / et û? dimensions du pilier rapportées à la même unités le mètre par exemple»
Pour les piliers dont la hauteur / varie de 5 à 30 fois le diamètre d* M. Love a donné la formule plus simple :
Admettant la charge de rupture de la fonte égale à 7 600 kilog. par centimètre carré, en la faisant travailler à 1/6 de la rnpture, c'est-àdire à 1 230 kilog. par centimètre carré, la formule (a) donne, pour la
charge qu'on peut faire porter en toute sécurité à une colonne pleine :
icd«
5=-;- section de la colonne, en centimètres carrés.
Faisant * = 1 dans cette formule, on en tire pour P les valeurs p suivantes, qui représentent les charges permanentes qu'on peut faire porter aux colonnes en fonte, par centimètre carré:
Rapport '•=-T' .
Charge p en kilog.
ao
C'est à l'aide de la formule (a') que nous avons calculé les charges P du tableau page 447, que l'on peut faire porter aux colonnes en fonte.
Les formules (à) et (6) ne sont pas d'accord. Pour les faibles rapports les formules (a) ou (a') donnent pour les charges de compression des valeurs un peu faibles, ainsi que l'on peut le constater en examinant la charge par centimètre carré répondant au rapport 10, qui est de 700 kilog. et qui devrait se rapprocher davantage de la charge de rupture 1 250 pour une petite hauteur.
La formule (6) donne des valeurs trop fortes pour les grands rapports.
Depuis longtemps, divers auteurs ont signalé les anomalies de ces formules, et l'on pourrait les remplacer par une formule unique que M. L.-A. Barré a proposé, en 1880, dans la Semaine des Constructeurs (n** 7, vol. 5).
Voici cette formule qui fait disparaître les anomalies signalées :
Résistances comparées de la fonte à la compression et à V extension. Des expériences d'Hodgkinson ont donné 6,595 pour le rapport moyen de la résistance à la rupture d'une bonne fonte par compression à la résistance par traction, et, d'après cet auteur, il y a lieu de considérer cette moyenne comme un peu faible; il pense qu'elle est comprise entre 7 et 8 pour une même fonte. D'autres expériences ne lui ont donné cependant que 5,637 pour ce rapport moyen. G'estlà une exception.
Qu'une même fonte ait été préparée à l'air froid ou à l'air chaud, sa résistance parait être la même, soit à la traction, soit a la compression.
De ses expériences, Hodgkinson a conclu :
1* Que la résistance à la rupture d^un pilier est réduite au i /3 au moins quand Teffort qu*il supporte est dirigé suiyant la diagonale et non suivant Taxe ;
2'> Que la résistance des piliers longs est 3 fois plus grande quand les extrémités sont plates et perpendiculaires k Taxe et à la direction de Teffbrt, que quand elles sont arrondies. Dans le premier cas^ elles sont comme encastrées;
3<* Qu*un pilier long, de section uniforme, dont les extrémités sont solidement fixées par des disques, des embases ou de toute autre manière, présente la même résis-
tance qu*im pilier de même section et d^une longaear moitié moindre, mais dont les extrémités seraient arrondies, même si Teffort était dirigé suivant l*axe. Cela revient à dire que le bénéfice de l'encastrement des colonnes et des piliers se traduit pour des solides do même section, également chargés, par une hauteur double pour le solide encastré à ses deux extrémités (Voir n* 9S bis) ; i° Le renflement des colonnes vers le milieu dejeur longueur augmente leur résistance du 1/8 au 1/7.
Ces indications générales très importantes sont précisées par les formules n'»' 389 à 392.
Pour les colonnes creuses, on peut admettre, d'après les expériences d'Hodgkinson, que la résistance est égale à la résistance de la colonne supposée pleine, moins celle d*une colonne pleine de même hauteur ayant pour section transversale celle du vide.
Ainsi dans la pratique, conformément^à la formule (a!), on a :
i ,45 + 0,003 37 (^ * 4,45 + 0,003 ^T [jX
P charge, en kilogrammes, qu'on peut faire porter en toute sécurité à la colonne
creuse ; d diamètre extérieur de la colonne et d' diamètre du vide intérieur;
v =—— section de la colonne supposée pleine, et 5':=—-— section du vide, en centi-
mètres carrés; / hauteur de la colonne. Cette hauteur et les deux diamètres sont rapportés k la même unité, le mètre par exemple.
La table de la page 447 permettra d'apprécier, sans calcul ou par une simple interpolation, la valeur numérique du premier et du second lerme de la valeur de R, c'est-à-dire les charges qu'on peut faire porter respectivement à la colonne pleine de diamètre d et à celle de diamètre d\
Épaisseur des colonnes crèmes. Les limites inférieures des épaisseurs de la fonte des colonnes creuses sont respectivement pour des hauteurs de colonnes de :
387 bis. Fer soumis à la compression. Des expériences d'Hodgkinson,
il résulte que jusque vers la charge de 1 400 à 4 800 kilog. par centimètre
carré, la compression du fer est proportionnelle à la charge, et que
jusqu'à cette limite le coefficient d'élasticité est en moyenne, en le rap-
porlant au millimètre carré :
Cette valeur de E diffère peu de celle relative à Texleusion (p. 420). Aussi, comme pour la fonte, on pourra les supposer égaies.
Cette valeur est presque double de celle trouvée pour la fonte (p. 441). Ainsi dans les h'mites de la non-altération de l'élasticité (14 kilog. par millimètre carré de section de fer), la foule se comprime près de deux fois autant que le fer. A part le prix, il y a donc lieu de donner la préférence au fer sur la fonte au point de vue de la sécurité.'
RÉSISTANCE DES tIATÉniAUX A LA COJIPIlESSiOX.
Au delà de la limile d'élasticité, le fer se déforme beaucoup rapidement (jiîe la fonte, et il s'écrase sous des charges qui ne que la moitié et quelquefois le tiers de celles qui écrasent la fonte
Charge de rupture du, Jer. On admettait, il y a quelques années des prismes courts en fer s'écrasuient sous [des charges de 495S I par cenlimèlrê carré de section; les dernières expériences seui devoir faire réduire ce cliiifre à 4000 kilogr. pour le bon fer en b laminé, à 36O0 kilng, pour les fers de colonnes, qui sont d'un échantillon, et à 3800 kiJog. environ pour les tôles de bonne qua cassure fibreuse ou cristalline, d'une épaisseur de 1/3 à 15 milltiiii
Formules de M. Love. D'après les expériences d'Hodgkinson, M, a établi pourles colonnes en fer des formules analogues à celles dor ci-dessus pour les colonnes en foute. En conservant aux lettre mêmes significations, les formules \a) et (b) (p. 442) deviennent re: (ivement :
Pour di'S hauteurs comprises entre 10 et 180 fois le diamètr charge de rupture a pour expression :
Il étant la cbarge de rupture d'un prisme court, multipliée p section de la colonne en centimètres carrés. Pour des hauteurs comprises entre 5 et 30 fois lo diamètre, oi
Admettant que la charge de rupture du fer (prisme court) sa 300O kilog. par centimètre carré et en faisant travailler ce métal i de la charge de rupture, c'est-à-dire à 600 kilog. par cenlimèire c la formule (aj) donne la charge pratique :
s étant la section de la colonne en centimètres carrés.
Faisant « = 1 dans cette formule, on en tire les valeurs p suiva i[ui sont ks charges par centimètre carré dos colonnes pleines en
Rapport r=^. . . .1 < ■'i | 10 1 20 | 30 iO 1 3U 60 70 80 90 f,liaigc p en kilog . .j 600 | 373 1 3t3 | 300 | 255 | 21* | 179 i 150 | 126 | 107
C'est à l'aide de la formule (o',) que nous avons calculé les cbarg rlu tableau page 447, qu'on peut en toute sécurité iaire porter colonnes en fer.
388. Instruction relative à l'emploi du tableau donnant les ch£
des cdonnes en fonte et en fer (p. 447). Colonnes en fonte. Ces tableaux ont été calculés avec le coefficient de sécurité égal au 1/6 de la charge de rupture, savoir :
= 1250 kilog, par centimètre carré.
Si Ton veut une sécurité plus grande, on pourra adopter, comme certains praticiens, pour coefficient de sécurité :
= 1071 kilog. par centimètre carré.
Dans ce cas, il suffira de diminuer les résultats de nos tableaux de 1/7.
Pour le coefficient de sécurité:
= 937^,5 par centimètre carré,
il faudrait prendre les 3/4 des charges données par nos tableaux.
Colonnes en fer. Les tableaux se rapportant aux colonnes en fer ont été calculés avec le coefficient de sécurité égal au 1/6 de la charge de rupture d'un prisme court, prise égale à 3600 kilog.; c'est-à-dire :
= 600 kilog. par centimètre carré.
Pour une sécurité plus grande, 1/7 ou 1/8 de 3 600 kilog., on réduira les charges de nos tableaux de 1/7 ou Ton en prendra les 3/4.
Nota, — Nous rappelons ici, pour les colonnes métalliques soumises à la compression, une loi de similitude géométrique, signalée n*» 382 à propos des poteaux en bois : La charge d'une colonne métallique (fonte ou fer) par centimètre carré dépend seulement du rapport de sa hauteur à son diamètre. Si ce rapport est constant, la charge par centimètre carré est la même. Par conséquent, si Ton double les dimensions d'une colonne (hauteurs el diamètres) la charge par centimètre carré restant la même, la charge totale a quadruplé comme la section transversale. On peut vérifier cette loi dans les tableaux suivants, en comparant les charges de deux colonnes, soit en fonte, soit en fer, dont les dimensions, hauteurs et diamètres sont dans le rapport de l à 2. Cette loi permettrait de déterminer la charge d'une colonne dont les dimensions, hauteurs et diamètres dépasseraient la limite du tableau.
Cette loi est applicable aux colonnes creuses dont les dimensions, hauteurs, diamètres et épaisseurs sont dans le même rapport.
(Voir n* 389 les formules donnant les charges de compression des supports en fonte et en fer de diverses formes,)
RÉSISTANCE DES HATÉnUlIX A LA COMPRESSION.
Taihau dtt charges toialts P qu'an peut faire supporter en toute eéairiti aux eolormei en fonit et tn fer de 1 centimèires de hauteur, et de à centimitres de diamètre ou s ceutimètret cartel déjection. Cet eharget ont été calculées à l'aide deijvrmule* {a") et ^'i).
kilM.
dei"loi
entoDt»
kilog.
kilog.
