I04 COMBIHAISOKS GÉNÉRALES DES DROITES

par nn point quelconque G de AE j marquez enfin le croisement II de AF et de BG. La droite EH se trouvera perpendiculaire au milieu IdeAB.

La réciproque du n“ 87 montre d’abord que le prolongement de Eli doit passer par le milieu I de AB. Mais le point Ë est aussi également éloigné de A et de B , car BE = EA , puisque CD =DA (81). La droite EH a donc deux points E , I , situés chacun à la même , distance de A et de B ; elle est donc en effet perpendiculaire au milieu de AB (45).

Si RL était la partie choisie sur AB, vous marqueriez le point M comme il a été prescrit pour D ; vous mèneriez par A , AE parallèle à KM , et par B , BE parallèle à LM ; puis vous achèveriez comme précédemment.

Les concourantes AE, BE seraient encore égales, car l’égalité KM = 5IL donne celte autre KN = NB , et de celle-ci résulte que AE = EB.

88. Les milieux de deux parallèles AC, EF et les concours B, D des deux groupes de transversales qui en joignent les extrémités, sont toujours en ligne droite (P. III , F. u5).

D’abord , la droite BD passe par le milieu G de AC , en vertu du principe précédent. Ensuite, elle passe par le milieu de EF, puisque des parallèles sont divisées de la meme manière par des concourantes (82).

Il s’ensuit qu’on peut, d’un point de BE, mener une parallèle à EF, en tirant de E et de F, deu.v nouvelles concourantes qui se croisent surBG. Ainsi , une fois qu’on a tracé par alignemens, une parallèle à une droite donnée , il n’y a plus besoin de mesure , pour mener autant d’autres parallèles à la même droite , qu’il est nécessaire. «

Problème; Tracer par xm point A, au moyen d’’ alignemens , une parallèle à deux parallèles BC, DE données sur le terrain (P. III, F. 27).

Vous planterez verticalement un premier jalon en un point quelconque F 5 un second en A j un troisième B sur BC , dans l’alignement AF; un quatrième D sur DE, dans l’alignement BAF; un cinquième C en un pbint quelconque de BC ; un sixième £ sur DE, dans l’alignement FC; un septième G à l’intersection des alignemens BE , CD ; un huitième II à l’intersection des alignemens GF, AC ; enfin , un neuvième I à l’intersection des alignemens ECF et Bu , ce qui vous donnera l’autre extrémité de AI parallèle à BC et à DE.

Remarquez que le point A pourrait être donné entre les parallèles BC, DE, sans que le tracé. changeât.

Si la droite fiC présentait deux points remarquables B, C, et qu’un point E de DE fût aussi très-visible , on pourrait exécuter l’opération sans aller à ces points, ou quoiqu’ils ne fussent pas accessibles. Dans ce cas , vqus planteriez le jalon D sur l’alignement

COMBINAISONS CÉNÉRAI.ES DES DBOITES. Io5

BA, le jalon F à l’intcrscction des aligncmens DBAj EC, et vous termineriez eomme précédemment.

U est possible que l’angle DFE se trouve trop aigu pour qu’il soîWrès-facile dp planter exactement le jalon F, à l'iiiterseclion des aligncmens DBA , EC. Mettez alors un jalon f au point où les objets B, C eoniniencent à vous masquer le jalon 1) et l’objet E; puis un autre jalon f' au point où les mêmes objets cessent de masquer D, E ; et plantez le jalon F au milieu de ff' : il se trouvera assez exactement sur l’intersection des deux aligncmens DBA , EC. C’est ainsi qu’il faut agir toutes les fois qu’on doit placer un jalon à l’intersection de deux aligncmens qui font un angle très-aigu j mais il convient d’éviter de tels cas.

Les personnes qui ne sont pas habituées à opérer sur le terrain , trouveront peut-être quelque difficulté à planter un jalon G , dans un alignement BE dont les extrémités sont inaccessibles. Voici comment il faut s’y prendre. On place près' de l’alignement BE, deux hommes K , L qui tiennent chacun un j.vlon devant soi ; K. fait face à l’objet B, L au jalon K, et l’alignement KL passe p.vr B. Les choses ainsi disposées , l’homme L maschc vers la droite BE en regardant toujours le jalon R j l’autre suit le mouvement , de manière à rester toujours sur l’alignement BL , et tous deux s’arrêtent , dès tjuc le jalon K cache l’objet E à l’œil de l’homme L. Ils se trouvent alors l’un en L', l’autre en K', sur l’alignement BE , et s’ils y plantent leurs jalons , il devient facile de trouver l'intersection G des aligncmens CD, BE. Pour cela, un observateur se place en 1), un autre en K’, et ils dirigent par des signaux ou à la voix , l’homme qui est chargé de planter le jalon G.

Si l’on opérait seul, on planterait deux jalons auxiliaires, l’un M sur l’alignement DC, l’autre N sur l’alignement BE; puis on placerait le jalon G , par le moyen employé pour F.

89. Quatre droites illimitées AB,BC, CD, DA qui se coupent deux à deux (P. III , F. 28), fournissent en général six intersections A,B,C,D,E,F; CCS points joints deux à deux donnent trois transversales AC, BD, EF qui, suffisamment jirolongées, se rencontrent en G , G', G" ; et un pareil système jouit constamn^t de la propriété qu’e.xprimc le principe suivant :

Chacune des trois transversales fournies par les six intersections de quatre droites illimitées qui se coupent deux à deux , est divisée en quatre parties proportionnelles par les deux autres ; c’est-à-dire que , par exemple , GE C GF C ; G'E l G'F.

Considérons d’abord les trois droites AE, EF, F.V et leur transversale BG'. En vertu du principe 8Ô ,