GE: GF:: G'E: G'F

Des raisonnemens analogues montreraient que sur la transversale BG',

et que sur la transversale AG,

G"c:g"a:: gc.ga.

90. Lorsque deux points G, G' (P. III, F. 28), placés l’un sur une droite EF, l’autre snr le prolongement, sont tels qu’on a la proportion GE : GF : : G'E : G'F , ils sont dits conjugués: ce nom signifie que ces deux i>oints dépendent l’un de l’autre, de manière que si l’on marque G arbitrairement sur EF, la position de G' est tout-à-fait déterminée.

C’est qu’en effet il n’y a qu’une seule position du point G' qui puisse rendre le rapport de G'E à G'F égal au rapport de GE à GF. Si vous prenez, par exemple, la position g plus voisine de E, vous retranebez la même longiicur G'g à G'E et .à G'F; une position g' plus éloignée de E que G', .ajouterait une même longueur G' g' à G'E et <i G'F. Or, on change uii rapport, lorsqu’on diminue , ou qu’on augmente d’un même nombre les deux termes : par exemple le rapport | n’est pas égal au rapport ou ni au rapport ou |. Le rapport de gE à gF ou celui de g'E à g'F ne serait donc pas le même que le rapport de G'E .à G'F, et par conséquent , il n’y a que le point G', concours des deux transversales BG', FG', dont les distances aux extrémités de EF soient proportionnelles aux parties GE, GF.

Ainsi , i/eu.x points conjugués sont placés l'un sur une droite et Vautre sur le prolongement , de telle façon que le rapport des distances du premier aux deux extrémitéji de la droite , égale le ' rapport des distances du second aux mêmes extrémités.

Bien entendu que , si la plus petite des deux distances de l’un des points, forme le premier terme d’un rapjtort, le preutiee tenue de

COMBIKAISOXS C^!»BRALF.S DES DROITES.

l’autre rapport doit être formé aussi par la plus petite des deu.v dislaiires de l’autre point.

Il s’ensuit que le conjugué d’un point situé plus prés de F que de E , serait placé du côté de F, à l’oppositc de G'. Le conjugué tf un point se trouve toujours du côté de la plus petite des deux parties que forme ce point sur la droite donnée.

Du reste, il est visible que le point milieu G d’une droite AC n’a pas de conjugué (P. 111, F. a5); car tant loin qji’on aille du côté de A ou de C , on ne trouvera jamais un point dont les distances à A et à C soient égales , comme celles de G : elles différeront toujours de toute la longueur AC.

Faisons observer enfin que, d’après ce tpii précède , G' est aussi le conjugué de G" (F. 28); que les points G, G", sont conjugués entre eux, et qu’il en est de même des points E, F, pour la droite GG', des j: ■ ■ B , D , pour la droite G'G", des points A , C , pour la droite

Probl. (a) : Trouver le conjugué d" un point G donné sur une droite EF (P. 111 , F. a8).

Des extrémités E , F et du point donné G , tirez trois concourantes quelconques EA , GA, FA; des mêmes extrémités E, F, menez deux autres concourantes qui se croisent sur G.\ , celle du milieu ; puis joignez les points B, D où les concourantes extrêmes EA , FA sont rencontrées par les concourantes croisées. L’intersection G' de EF et de IID prolongées, sera le conjugué cherebé.

Enelfet, la figure faite ainsi, présentera toujours quatre droites AB, BC , CD , D.\ qui seront dans le cas du n" 89, et par conséquent, on aura toujours la proportion

Probl. (ft) : Prolonger une droite EF au-delà tPun obstacle qui lie permet pas de s'aligner sur deux points de celle droite (V ,\\\ ,'

L’opération consiste à faire d’abord deux fois le tracé précédent , pour un point G, afin d’obtenir deux droites qui, passant parle conjugué de G, concourent précisément en un point du prolungcincnt de EF ; puis à faire deux fois encore le même tracé , pour un point de EF autre que G, afin d’avoir deux nouvelles droites tpii concourent aussi en un second point du prolongement de EF.

V'oici au reste , en détail , comment il faut procéder. Plantez verticalement des jalons en E , G, F, et deux autres eu D , B , points pris arbitrairement, mais plus rapprochés que E, F et tels que l’alignement BD passe de quehpte peu au-delà de l’obstacle; placez ensuite un sixième jalon au concours A de ED, FB, et un septième au croisement C de EB, FD. L’alignement AC coupera EF eu un point G dont le conjugué se trouvera à la rencontre de BD et du prolongement de EF.

ge:gf;;G'E:G'F.

Oit. .,(lib\.’Cooglc

lo8 COMBlNAISOflS UÉNKB^U.ES DES UBOITES.

Mais , pour déterminer le conjugué de G , par le tracé du problème précédent, on peut faire le croisement en un point quelconque de AG. Plantez donc un huitième jalon en C', par exemple, un neuvième à la rencontre B' des alignemens EC', BF, et un dixième à la rencontre D' des alignemens FC', DE; l’alignement B'D' passera par le conjugué de G , et comme ce conjugué doit être aussi sur BD, il sera au concours G' de BD , B'D'. Si donc vous placez un onzième jalon en G', il se trouvera nécessairement sur le prolongement de EF.

Maintenant , faites absolument les mêmes opérations de l’autre côté de EF, en choisissant deux points 6, d plus rapprochés que E,F et tels que leur alignement passe au-delà de G'. Vous obtiendrez un second point g' du prolongement de EF, et par conséquent, ralignemcnl G'g' sera ce prolongement.

Il est à remarquer tpte le procédé qui vient d’être exposé , convient également au cas où E , F, sont des objets remarquables dont on ne peut approcher; il serait même possible de remplacer le jalon A, par un arbre, un clocher, etc. inaccessible aussi.

Phobl. (c) : Trouver un point de l'alignement des deux points invisibles où iraient concourir deux à deux, quatre droites données , si elles étaient prolongées.

Soient les droites AB, CD qui concourraient au point invisible Tt (P. III , F. 3o), et les droites EF, CH qui concourraient eu un autre point invisible Z. Il s’agit de déterminer la position d’un point qui se trouve sur l’alignement ^ Z.

PI antez verticalement des jalons aux quatre autres intersections A, B, I, K des droites données. L’alignement KB ira couper le prolongement de YZ , au conjugué de L, rencontre de cette droite et de l’alignement AI : cela résulte du problème (n). Mais ce conjugué l’est aussi de M (90). Il reste donc à trouver sur le prolongement de RB, le conjugué du point 31 de cette droite. 3'ous l’obtiendrez en plaçant un cinquième jalon au point N , pris arbitrairement sur AI ,

• un sixième en 0 , rencontre des alignemens BV, IK, un septième en P, rencontre des alignemens IvV , Bï , et un huitième en Q, concours de OP et de RB. Le point Q ainsi déterminé se trouvera nécessairement sur ralignement \Z des deux concours invisibles.

Pnom, (d) ; Tracer par un point A , une droite qui, prolongée , aille concourir en un point invisible, avec deux droites données

BC, DE (P. III, F. 5t).

Pl.anlez des jalons verticalement et en ligne droite, au point A , au point quelconque F de BC, au point G de DE et au point II choisi arbitrairement. Plantcz-en aussi au point quelconque I de DE , au point R , rencontre des alignemens BC, IH , au croisement L des alignemens BI , GR , à l’inlcrseciion M des alignemens LU , AR , et enfin à la rencontre N des alignemens RH, FM. Le point V déterminera la droite AN de telle manière que, prolongée, elle p.ajserait nécessairemeul par le concours invisible 0 de BC, DE.

C0MBINAI80SS CÉSÉlV.aES DES DUOITES. I °9

En oflct, 0 est le conjugué de d’après le problème (a),

P elQ m.t le même conjugué, d'après le n»9o; conséquemment,

O est aussi le conjugué de Q, et AN doit passer par O

Si F DE AN étaient le point et les droites données , il laïulrait ,

après avoir, planté les jalons A, F, G, H, I, N,

croisement de AI, GN , pour déterminer 1 alignement QH. L. point M serait donné par la rencontre deQU, FN, le pomlK, par celle

de AM, NU, et KF serait la droite demandée.

Aï-PL. (a): Le problème (b) s’applique parfois tracé des roules. Supposez qu’une route dirigée selon M (.1 . m,

F. 20'), doive traverser un bois H qui n’est pas encore perce dans cette din-clion , et que pour aller plus vite, on veuille alla<,uer ce Ss des deux côtés^ 11 Ldra que les deux groupes de bûcherons aillcnl à la rencontre l’un de l’autre , en suivant le meme et pour diriger ceux qui travailleront à 1 opposite de Et, on ne pourra se dispenser d’avoir deux points G', g' situes sur le prolongement de cette droite. Jo,,»

Appl. (1>): Le problème (c) pent être d un grand

l’attaque des places de guerre. ’ i ire

comme une porüon de la face d’un bastion. 11 faudxa , po«r dclmire

l’artilleri^ placée sur celle face, élablir, dans la ’

balleric li^i l’enfile , et cette batterie devra .-.voir i ne de scs exlrémiU^s , en un point du prolo.i^ment ^ J’ ’

saurait déterminer ce prolongement a 1 œil seul , en «e ce

qu’on ne i>cul apercevoir de loin deux points , ni meme souvent un seul point de la face du bastion. 11 s agira donc i en gene. d de déterminer le prolongement d’une droile invisible Voici

comment on pourra le faire.

« L’officier d’artillerie chargé de l’opération , remarquera sur c terrain , deux sillons AB, CD de boulets parus d’un point V de I.i face du bastion , et deux sillons EF, GU de boulets partis d «utre point Z; puis, faisant planter des jalmis aux f yZ

îiuatre droites, il trouvera un point Q du prolongement de A Z. Pour en avoir un autre, U devra remarquer un cinquième sillon creusé par un boulet paru de Y ou de Z, et employer celte nouv^ello droite avec trois des précédentes, en répétant le piobleme (c).

Appl. rcl : Si deux allées pratiquées dans un bols , concourei vers la grille d’un château , et qu’on veuille en percer une tiwsieme qui aboutisse au même point 0 , on doit appliquer le FO^cme ^ iJfin d’avoir un alignement AN qui serve a diriger les buchei-ons

^^Âppl.’ n»cme problème est utile .aussi pour le dessin

géométrique, quand il s’agit de tracer p.ar un point donne A , une droite qid pasle par l’intersection O T*

DE , et que cette iiilersecüoii se trouve hors du l.ibleau. cas, il faut tirer une transversale quelconque AU, cl une s

transversale UK; joindre les inlcrsccüoiis F, I et G, K, «

110 TlUC^ DU CERCLE QUI COUPE DES DROITES.

HL et AK ; enfin , joindre ^ arec rintcrscclion M de lïL et de AK. Le point de rencontre N de BM cl de IIK appartient à la droite

demandée , cl il ne s’agit plus que de tracer AN. .•

TBaci DU CERCLE QUI COUPE DES DROITES.

« Aux combinaisons des droites entre elles , doit succéder, d’après le tableau de la page a i , celles des droites et du cercle. Noos avons déjà exposé ce qui concerne les sécantes isolées ; mais il arrive souvent qu’au lieu d’avoir à tracer une droite qui coupe la circonférence, il s’agit de décrire cctle courbe de manière qu’elle rencontre une droite en des points déterminés. Nous devons donc nous occuper aussi du tracé d’un cercle assujetti à couper des droites donné-es. s

91. Une droite qui est coupée au point B, par une circonféi-ence (P. III, F. 3a), entre nécessairement dans le cercle; il faut donc cpi’elle en sorte ensuite ou qu’elle coupe la courbe en un second point C pour lequel on aura ACl = AB (5). Mais , elle ne passera que par les deux points B, C de la circonférence A; car si elle pouvait passer par un troisième point de celle courbe , on pourrait mener de A, trois rayons égaux ou trois droites égales sur la droite BC, ce que nous avons démontré impossible (53). Donc, une droite et une circonférence ne peuvent aooir plus de deux points communs.

Voilà pourquoi nous avons dit, en parlant des sécantes isolées (a i ), qu’il n’est pas possible de tracer une droite qui coupe une circonférence en trois points.

92. La perpendiculaire abaissée du centre A sur une corde BC , est toujours plus courte que le rayon du cercle (P. III , F. 3a).

Il suffit, pour le faire voir, de prouver que ni le rayon AB, ni le rayon AC ne sont perpendiculaires à BC ; car il s’ensuivra que ces rayons sont des obliques , ot conséquemment plus grands que la pcr|)endiculaire (4*>)- flfj la 'droite AB ne peut être perpendiculaire à BC; car, si elle l’était, AC serait une oblique, et il ii’y a point d’oblique qui soit égale à la perpendiculaire partie du même point. Comme le même raisonnement s’appliquerait à AC , le principe énoncé est vrai.

Il s’ensuit cet autre: Pour qu’iui cercle coupe une droite, la distance du centre à cette droite , doit être moindre que le rayon.

Probi. («): Tracer d'un point donné A, un cercle qui coupe une droite en un point B (P. III, F. 3a).

Il ne s’agit que de connailre le rayon du cercle; car, pour le tracé , on suivra ce qui est enseigné dans les numéros 4 ut G- Oe > puisque la circonférence doit passer par B , son rayon est nécessairement AB. '

TEACé DES SÉCANTES COMBINÉES.

Probe, (ft): Tracer un cercle d'un rayon connu, qui coupe une droite en deux points donnes A, IJ (P. III , F. 33).

Pour cxéculer ce tracé, il ne s’agit (juc de trouver le centre <lu cercle. Or, puisque la circonférence doit passer par A et par B , le centre doit cire aussi éloigné de l'un de ces points , que de l’autre (5), et son éloignement doit être égal au rayon donné CD (4). Si donc des points A, B, avec une ouverture de compas égale à CD, on décrit deux petits arcs qui se coupent en E , ce point sera le centre cherché.

Comme on peut décrire les arcs soit au-dessus de AB , soit audessous , il y a généralement deux cercles qui satisfont aux conditions. Il faut donc, avant de commencer le tracé , savoir de quel côté doit être placé le centre. Mais, pour que l’opération soit possible, il est nécessaire que le rayon donné soit au moins aussi grand que la moitié de AB j autrement, les deux arcs n’auraient aucun point commun.

Probe, (c) : Tracer un cercle qui passe par trois points donnes

A, B, C (P. IV, F. t).

D’après le n“ gt , il est clair que le tracé ne pourrait s’exécuter, si les trois points étaient en ligne droite. Il faut donc, qu'en les joignant deux à deux, on obtienne trois droites dilTércntes AB, AC, BC. C'est ainsi qu’on pourra toujours reconuaitre si le tracé est possible. Pour l’cflectucr, il y a deux choses à trouver : le ccutre et le rayon. Or, la circonférence devant passer par A et B, aura son centre à égales distances de ces deux points. Il sera donc sur DE perpendiculaire au milieu de AB (43). Pour les mêmes raisons , il sera sur FC perpendiculaire au milieu de BC , et , par conséquent, l’intersection II des deux perpendiculaires sera le centre cherché. Si l’on élevait une perpendiculaire au milieu de AC , elle devrait aussi passer par le centre : le tracé de cette troisième perpendiculaire est donc un moyen de vériher l’exactitude de l’opération.

Le centre H étant trouvé , il est visible que le rayon est la droite IIA, ou la droite IIB, ou IIC ; car H.\ et IIB sont ég.iles, IIB et lie sont égales, et p.ar suite lLi = IIC.

Ce tracé est d’un fréquent usage: il arrive, en effet, souvent, dans la pratique, que l’on connaît seulement quelques points de la circonférence qui doit être décrite. Il suffit alors d’employer trois quelconques de ces points , comme nous venons d’cjnployer A, B, C, pour que la circonférence passe par tous les autres. Du reste , il n’est pas nécessaire de tracer les droites AB, BC , CA.