Lorsque trois paires de points correspondants A, A

B, Bi, C, Cl situés sur une droite sont en involution, il existe entre ces points les égalités suivantes

126 SYSTÈMES PBIMAIBES

(AB)(ABO (A^B)(A,BO (AC)(AC,) (AiC)(A,C,) (BC)(BCO (B,C)(B,CO

(BA)(BAO (B,A)(B,A,)

(CA)(CA,) (cm^d

(CB)(CBO (C,B)(C,B,) (ABO(BCO(CA,) = -(AiB)(BiC)(CiA) (AB,)(BC)(CjAO= — (AiB)(BiCO(GA) (AB)(B,C,)(CAt) = — (AiBi)(BC)(CiA)

(AB)(B,C)(C,A,) (AiBi)(BCi)(CA)

et réciproquement l'une quelconque de ces égalités exprime l'tnvolution des six points.

En effet, chacune de ces expressions se ramène à une égalité entre deux biquotients formés d'une manière analogue avec les éléments correspondants. Ainsi la première est équivalente à

' (ABCAi) = (AiBiCiA).

et ta quatrième à

(AAiBxC) = (AiABCi).

Or ces égalités sont une conséquence de l'involution et vice-

Tersâ : ce qu'il fallait démontrer.

166. Quand deux lignées sont en involution, le rapport de double section (EXXiF) du segment des points doubles

E X F Xi

par deux points correspondants quelconques X, Xi est tou-

■1-1 i' / (EX) (EXi) ,

jours égal a — 1 ; car le rapport ) f : '![ est,

comme nous Tavons vu (v. 98), toujours égal à — -^r=- et,

par conséquent, à — 1, puisque le point J est au milieu de (EF).

Lorsque le biquotient (EXXiF) de quatre points E,X, X^ F est égal à — 1, on dit que ces points forment une division harmonique ou bien que les deux points X, Xi partagent harmoniqmment le segment (EF) des deux autres.

De ce qui précède résulte le théorème suivant : Dans deux lignées involutoires, le segment des points doubles est divisé harmoniquement par deux points correspondants quelconques X, Xi.

167. Réciproquement, deux lignées superposées dont les points se correspondent un à un, seront en involution, lorsqu'un segment (EF) est divisé harmoniquement par toutes les paires de points correspondants X, Xi.

En effet de l'égalité

(EX) . (EXO

(XF) • (XiF)

on déduit que

(EXi) (EX) ^^

(X,F) (XF) d'où • (EXXiF) = (EXiXF)

donc il y a involution (v. 164), et les points E, F en sont les éléments doubles.

Propriétés des lignées involutoires a points doubles IMAGINAIRES. — 168. Lorsque les points doubles de deux lignées involutoires sont imaginaires^ il existe deux points d'où l'on voit sous des angles droits formés dans un même sens les segments (XXi) compris entre les points conjugués.

Sur une parpendiculaire élevée au point central J prenez une longueur (JS) dont le carré soit égal au rectangle

Al Bi Xi J A B X

(AJ)(AiJ). Le rectangle (XJ)(XiJ) étant constant et par suite égal à (AJ)(AiJ) ou a (JS)S Tangle XSXi sera toujours droit et formé dans un même sens (v. 143).

169. Réciproquement, lorsqu'un angle droit XSXi tourne dans un plan autour de son sominet, les deux côtés déterminent sur une droite fixe deux lignées involutoires X, X^ dont les points doubles S07it imaginaires.

En effet, soit J le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet S sur la droite des lignées. On aura

(XJ)(X,J) = (SJ)^ = (AJ)(AiJ)

donc les deux lignées sont involutoires et, de plus, les points doubles seront imaginaires, puisque les paires A, Ai, X, Xi se séparent.

Equation de l'involution sur une droite. — 170. Nous avons vu qu'entre les segments (KX) ou x et (KXi) ou xi de deux lignées projectives superposées, il existe, une relation de la forme

mxxi + nx + pxi + q =

S'il y a involution, il faut qu'un point considéré successivement comme appartenant aux deux lignées ait chaque fois le même point correspondant ; en d'autres termes, il faut que les valeurs de x et de x^, déduites de l'équation précédente.

soient égales, quand on remplace dans les deux cas la variable indépendante par une même quantité. On en conclut que les coefficients n et p doivent être égaux. Donc

Lorsque deux lignées sont en involution, il existe entre les segments x, Xi formés par chacun des points correspondants X, Xj avec un point fixe de la même droite une relation symétrique par rapport aux deux variables et qui est de la forme

mxXj + n(x + Xi) + q ==

La proposition réciproque se démontre facilement. 171. Si nous prenons pour origine des segments le point central, où se trouvent réunis les points limites J, Ii, l'équation ci-dessus doit être satisfaite par les valeurs suivantes

X = 0, Xi = oo

X = ^, Xi =

On en conclut que, dans ce cas, la relation entre les deux

lignées involutoires est exprimée par une équation de la

forme

mxxi + q =

Division harmonique sur une droite. — 172. Quatre points E, F, X, Xi situés sur une droite t forment une division harmonique, lorsque le rapport de double section du

E X F Xi

segment (EF) par les points X, Xi est égal à — 1, c'est-àdire, lorsque

^^ (XF) • (XiF) ~

Cette égalité est équivalente avec les sept suivantes : ^ ^ (EX,) • (FXi)

^ ^ (X,F) • (XF) "

(EX) jEîg

(XF) (X,F)

m^ — C^E) + (KX) — (KE) + (KX,) '^ ^ — (KX) + (KF) ■ — (KXi) + (KF)

Xi F X J K E

OÙ K est un point quelconque de t (v. 86),

(34)* (XJ)(XaJ) = (EJ)2

où J est le milieu du segment (EF),

(EX) ' (EXO (EF)