Dessiner une pyramide irrégulière

Le plan comprend toujours un polygone ABCD égal ou semblable à la base (P. III , F. 59). Si, à l’aide d’un lil-à -plomb, vous avez pris les distances horizontales du sommet de' la pyramide à deux sommets B , D de la base , vous pourrez,, avec ces longueurs, marquer le sommet S sur le plan horizontal. Les droites AS, BS, CS, DS y représenteront les arêtes concourantes.

Pour faire l’élévation, abaissez de tous les points du plan , des perpendiculaires sur la ligne de terre ; prenez S'S" égale à la hauteur de la pyramide , et joignez le point S" aux points A' , B' , C' , Û'. Les droites que vous tirerez ainsi , représenteront les arêtes concourantes , sur le plan vertical; mais il est possible qu’aucune ne soit représentée dans sa vraie grandeur. Cependant , comme je vous l’ai annoncé , le dessin complet d’un corps peut toujours en donner exactement les différentes dimensions.

Voidcz-vous, par exemple , avoir la vraie longueur de l’arête qui va de C au sommet? il suffira de porter sur la ligne de terre , de S' en E , la droite CS du plan , et de tirer S"E ; celle hypothénuse du triangle rectangle ES'S" donnera la longueur cherchée. Pour les autres, vous agiriez d’une manière analogue.

224. Dessiner un tronc de pyramide régulière, à hases parallèles.

Le plan se compose de deux polygones réguliers, coj>-

centriques , égaux ou semblables aux bases , et de droites A», Bo, etc. (P. III, F. 40), qui joignent les sommets correspondans des polygones. Ces droites représentent les arêtes concourantes, sur le plan horizontal.

L’élévation doit offrir un trapèze dont les côtés parallèles soient éloignés l’un de l’autre autant que les bases du tronc de pyramide. On détermine ce trapèze en abaissant des perpendiculaires sur la ligne de terre , des points A, C jusqu'à cette droite, et des points a,c , jusqu’à sa parallèle a'c'. Si , comme dans la figure , deux côtés AF CD de la grande base sont perpendiculaires à la ligne de terre, les droites A' a' , C' c' représentent chacune deux arêtes concourantes , sur le plan vertical. Par le même moyen , on trace la droite B'ô' qui représente les deux autres. Le dessin n’a aucune ligne pointillée, attendu que toutes les lignes cachées de l’élévation se confondent avec des lignes vues , par suite de la position donnée arbitrairement au tronc de pyramide.

Comparaison des pyramides.

225. Deux pyramides triangulaires sont égales , si leurs arêtes correspondantes ont même longueur, ou bien si trois faces de Tune sont égales à trois faces de Vautre. Alors, la première étant creuse pourrait contenir exactement la seconde.

Deux pyramides régulières sont égales , lorsqu'il y a égalité entre les bases et entre les hauteurs ou deux arêtes concourantes prises chacune sur un des corps.

Deux pyramides irrégulières sont égales, s'ily a égalité entre leurs bases et si trois arêtes concourantes qui se suivent, ont dans Tune mêmes longueurs que leurs correspondantes dans Vautre.

226; Deux pyramides qui ont des bases de même superficie et des hauteurs égales, sont’ équivalentes. La démonstration est analogue à celle du n° 107.

Lorsque l’on coupe un prisme triangulaire en passant parle point D et par la droite BC (P. III, F. 53), on en détache une pyramide triangulaire DABC qui a même hauteur E'H et même base ABC que le prisme. Si ensuite on coupe le pblyèdre restant , en passant par le même point D et par la droite CE, on forme une seconde pyramide triangulaire DCEF ou CDEF qui , ayant son sommet au point C et pour base le triangle DEF, a aussi ,

même hauteur et même hase que le prisme. Le reste est une 5 e pyramide triangulaire DBCE équivalente à chacune des deux premières , car on peut la changer en une autre de même volume qui ait aussi même base et même hauteur que le prisme. En effet, DBCE équivaut à la pyramide dont A serait le sommet et BCE la base , puisque AD est parallèle à la face BCFE ; mais la pyramide ABCE étant retournée , aurait E pour sommet et ABC pour base. Par conséquent , le volume d’un prisme triangulaire égale 5 fois celui d’une pyramide triangulaire qui aurait même base et même hauteur, ou bien le volume aune pyramide triangulaire est le tiers de celui d'un prisme triangulaire de même base et de même hauteur.

227. Il s’ensuit que les pyramides triangulaires sont entre elles comme les prismes triangulaires dont elles seraient le tiers: si l’un des prismes est double, triple, etc., de l'autre , le tiers du premier se trouve nécessairement double, triple, etc., de celui du second. Par conséquent , deux pyramides triangulaires dont les bases sont de même superficie } se contiennent comme leurs luuiteurs , et deux pyramides triangulaires de. même hauteur } se contiennent comme leurs bases (200).

Ces relations s’étendent à deux pyramides quelconques, car si vous coupez ces corps en passant par le sommet et par les diagonales qui divisent la base en triangles, vous les partagerez en pyramides triangulaires, et ils seront entre eux comme les sommes de leurs parties. Or, ces deux sommes de pyramides triangulaires sont évidemment entre elles comme les sommes des bases , s’il y a égalité dans les hauteurs , ou comme les hauteurs des deux pyramides quelconques , si les sommes des bases sont égales. Ainsi , dans ces cas , il n’est pas nécessaire de mesurer les pyramides pour les comparer ; il suffit de comparer les, hauteurs , si les bases se trouvent équivalentes , ou les bases , si les hauteurs se trouvent égales.

Mesurage des pyramides.

228. Il est possible qu’on ait besoin de connaître la surface d’une pyramide. Rien n’est plus facile; l’opération consiste à mesurer successivement la base et chaque face triangulaire, et à faire la somme de toutes leurs superficies.

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