LIVRE SECOND

43. Maintenant on pourra, quand on voudra , avec quatre compas seulement, ou quatre ouvertures du même compas , et avec les deux seuls point a et b pris hors de la circonférence , diviser la circonférence du cercle en cent vingt parties égales. En effet, après avoir, avec le point a, et avec trois compas, divisé la circonférence en vingt-quatre parties ( problème du numéro 32) , et ayant trouvé le point b (40) , qu’on fasse, avec le quatrième compas, à A b — BP = P Q — QR = RS, et par conséquent aussi = SE (41). Ensuite, pour diviser l’arc N G en cinq parties égales, dont chacune soit la cent-vingtième de la circonférence, qu’on fasse à A.b = Lq — qp = ItT = 0/ = f w = a <p. L’arc N G sera divisé en cinq parties égales , et l’on pourra diviser de la même manière tous les autres arcs GC, Cl, etc.

Démonstration. Puisqu’on aBQ=RE,BF = FE, 1F = FL, on aura aussi IQ = LR; et comme hq — QR, on aura aussi Qq =LR = QI. De même QP étant égal à qp, Qp sera aussi égal à Pp, et àQI. Pareillement, à cause de I-îC = QP, on aura <7rP = QI; et comme on a Ofio = BQ, 01 = IB, on aura encore Ia> QI. De plus, à cause de a><p — It r, on a Ico 3= <P7T = QI : puis, comme on a

géométrie ud compas.

0^^0fH-^+ a( p==BP+PQ4-QR=BR,

eu retranchant de part et d’autre les arcs égaux OG, BL , on aura pour reste G<p = LR = QI.

Enfin , à cause de B I = LN , si on retranche les aies égaux BQ, L p, on aura pour reste QI ==N p. Donc on aura divisé l’arc N G en cinq arcs N p, pP, P-7T, 7rcp, pG égaux chacun à l’arc Q I , et par conséquent égaux entre eux ; et puisque l’arc N G est un vingt-quatrième de la circonférence (32), sa cinquième partie en sera le cent-vingtième.

44. Nous avons donc jusqu’à présent fait, sans aucun autre instrument que le compas, les mêmes divisions en parties égales de la circonférence, que celles que faisaient les anciens en inscrivant au cercle les cinq polygones réguliers, savoir : le triangle, le carré, le pentagone, l’hexagone et le décagone, et enjoignant l’usage de la règle à celui du compas, tandis que l’on y est parvenu d’une manière commode, en prenant seulement deux points hors de la circonférence , et en n’employant que quatre ouvertures d’un seul compas, ou bien quatre compas (45 , H)- En comparant celte méthode avec la méthode connue , on poniTa juger de sa sim-

, B R S ECOM I). ' (, ■ ) 55

plicité, de sa brièveté et de sa précison dans la pratique.