LIVRE VII

THÉORÈME

A tout polyèdre régulier on peut inscrire et circonscrire une sphère^ '

Soit 4B l’aréte commune à deux facei adjacentes d’un polyèdre Fig. 226. régulier, C , D leurs centres , E le milieu de Ali ; les droites CE ,

LIE sei'oiiL perpendiculaires à AB, ainsi que leur plan CED. Dans ce plan CED soieut menées les droites CO, DO respectivement perpendiculaires à CE et DEt elles se couperont en un point O, et si l’on joint les points O et E, les triangles OCE , OED seront rectangles en C et D; ils auront les côtés CE, ED égaux comme apothèmes de polygones réguliers égaux; l’hypotbénuse OE est d’ailleurs commune; donc ils sont égaux comme ayant deux côtés égaux et l’angle opposé au plus grand côté égal. Par suite CO = DO.

Soit maintenant FG un second côté de la face qui a le point D pour centre , 1 le centre d’une troisième face dont FG fait aussi partie. En ce point 1 élevons à cette face une perpendiculaire ; je dis qu’elle passera au point O. Car elle coupera DO de même que DO rencontre CO ; supposons que cette perpendiculaire soit 10', et qu’elle rencontre DO en O'. Menez les apothèmes DH, IH; joignez HO'. On prouvera que les triangles DH0‘, lilO' sont égaux, de sorte que les angles DUO', O'HI le sont aussi. Or, DHI est la mesure du dièdre GF, comme CED est celle du dièdre AB ; ces dièdres sont égaux, puisque le polyèdre est régulier; donc les angles DHO', DEO sont aussi égaux comme étant les moitiés des mesures de ces dièdres. Il s’ensuit que les triangles rectangles IIDO',

DEO ont, outre les angles droits en D, on angle aigu égal , et le côté DH = DE. Donc ils sont égaux , et le côté DO' = DO , ce qni exige que 10' se confonde avec 10. Ainsi , les perpendiculaires élevées aux centres des faces du polyèdre se coupent en un même point O et sont égales. Ce point 0 est donc le centre de la sphère inscrite et OC en est le rayon.

En second lieu les distances du point 0 aux sommets A, B, G, F sont égales, comme obliques s’écartant également de perpendiculaires égales. Donc le point 0 est aussi le centre do la sphère circonscrite, et AO est le rayon de celle sphère.

CKOMKTRIE

THÉORÈME

Le nombre det sommets d'un polyèdre, augmenté du nombre des faces, est égal au nombre des arêtes plus deux.

Prenez dans l'intérieur du polyèdre un point d’où tous mènerez des droites à tous les sommets. En ce même point on placera le centre d'une sphère qni coupera toutes ces droites; enfin, on joindra ces points d'intersection par des arcs de grand cercle, de manière qu'il en rêsolto sur la surface de la sphère des polygones qui correspondent chacun à une face du polyèdre. Soit F le nombre des faces ou des polygones sphériques; soient s, s', t", etc,, la somme des angles dans le premier, le deuxième, le troisième, etc., de ces polygones sphériques; n, n', n", etc., les nombres des côtés ; les aires de ces polygones seront en somme ( p, 32, r. 2)

» + 4 — 2n + ï'-t-4 — On' -t-s" -t-4 — 2n" +

le triangle trireclangle étant pris pour unité; mais la somme de ces aires forme Faire de la sphère qui, dans ce cas, est représentée par huit. Donc on a

s -t- i' -1- *" H- etc., — 2n — 2n' — 2n" — etc. - 1 - 4 F = 8.

Car le nombre 4 est répété autant de fois qu'il y a de polygones. Or, autour de chaque sommet il y a quatre angles droits de formés ; par conséquent, si l'on nomme S le nombre des sommets , on a

D'ailleurs n H- n' -H n" -t- est le nombre des côtés des poly-

gones sphériques, nombre qui est double do nombre des arêtes;

nommons A ce dernier nombre; on aoran + n'-4-n''>i- =2A

et la relation ci-dessus devient

4SH-4F — 4As:^8 ou S -H F = A-+-2.

Corollaire. L'hexaèdre régulier a 6 faces et 8 sommets; donc A = 12.

L’octaèdre a 8 faces et 6 sommets , d'où A = 12.

Le docécaèdre a 12 faces et 20 sommets , d'où A = 30.

Enfin , l'icosaèdre a 20 faces et 12 sommets , donc A = 30.

tlLUCMTAlRt'.

NOTE

sü« LM PBOP. 5 , 7 DU UT. 3; Pnop. 1 , uv. 4; pbop. 19, liv. 5; PROP. 11 , UT. 6; PBOP. 30, LIT. 7.

Dans CCS propositions il s'agit de passer du conimensurable à l’incommensurable. On a rédnit ce passage en principe général Cp. 4, I. 3). En faTcur des lecteurs qui préfèrent la réduction i l'absurde, on tr donner deux exemples de ce genre de démonstration.

Liv. 3, prop. 5. Supposons que les arcs BC, BD ne soient pas pjg, 227. conuneiisurables entre eux. Je dis qu'on n’en aura pas moins la proposition

anÿU BAC : angle BAD ; : BC : BD.

Car si celte proposition n'est pas vraie , un pourra la rectifier en changeant le quatrième terme. Supposons que le quatrième terme soit BO, dé sorte que