ET LES VOLUMES DES CINQ POLYÈDRES RÉGULIERS
Des plans, ou surfaces.
On nomme plan, ou surface, l'étendue qui a deux dimensions, longueur et largeur; les surfaces sont planes ou non planes.
Les surfaces planes sont celles sur lesqueles un e ligne droite peut s'appliquer exactement dans tous les sens ; telle est la surface d’une table ou d’un plancher. Les surfaces non planes sont celles sur lesquelles une ligne droite ne peut pas s'appliquer exactement dans tous les sens; telle est la surface latérale d’un cylindre, d’un cône, d’un globe, ou d'un ballon.
Remarque. Il est possible qu’une ligne droite s’applique exactement suivant une certaine direction sur une surface non plane, mais elle ne s’y appliquera
Le
pas dans toutes les directions; c'est ce qui a lieu pour un cylindre ou un cône : sur chacun d’eux une ligne droite s'applique exactement suivant une génératrice; mais dans toute autre direction la coïncidence n'aura plus lieu.
Des angles de deux plans, ou angles diedres. *
Quand deux plans se rencontrent, 1ls ontentre eux une certaine inclinaison à laquelle on donne le nom d'angle dièdre, c'est-à-dire d'angle à deux faces; les côtés de l'angle dièdre sont des plans indéfinis que l'on nomme faces, le sommet de l’angle dièdre est l'intersection des faces, à laquelle on donne le nom d'arete. |
à à , À x Des angles solides, ou angles polyedres. *
L’angle formé par plusieurs plans se nomme angle polrèdre , angle à plusieurs faces, ou angle solide; cette dernière dénomination est maintenant peu en usage. Le point de réunion des plans est le sommet de l'angle polyèdre; on nomme faces les plans qui composent l'angle polyèdre; les intersections de ces faces, deux à deux, sont les arètes de l’angle polyèdre.
Les angles polyèdres sont distingués par le nombre de leurs faces : on nomme angle trièdre celui qui a trois faces, angle tétraèdre celui qui en a quatre; puis
* Le mot dièdre est composé de deux mots grecs, dont le premicr signifie deux, et le second, face, ou base.
** Le mot polyëdre est formé de deux mots grecs, dont l’un signifie plusieurs, et l’autre, face, ou base.
angle pentaëdre, angle hexaëdre, angle heptaèdre, et en général, angle polyédre.
Nous allons maintenant faire connaître quelles sont les figures planes régulières qui peuvent former des angles polyèdres réguliers. Il est démontré dans les élémens de géométrie que la somme des angles plans qui forment un angle polyèdre est toujours moindre que quatre angles droits; 1l ne peut y avoir, par conséquent, que cinq angles polyedres réguliers , savoir : trois dont Îles faces sont des angles de triangle équilatéral , un dont les faces sont des angles de quarré, enfin un dont les faces sont des angles de pentagone régulier.
1° Trois angles de triangle équilatéral font un angle polyèdre régulier; en effet, chaque angle d’un triangle équilatéral vaut 60 degrés, les trois angles formant l'angle polyèdre valent seulement trois fois Go degrés, ou 180°, moindre que 360 degrés, ou quatre angles droits; la réunion de trois de ces angles forme un angle triedre régulier. |
2° Case sr Esd de triangle équilatéral peuvent aussi former un angle polyèdre, car les quatre angles qui le composent valent quatre fois Go degrés, ou 240°; ce qui est moindre que quatre angles droits; ainsi, quatre de ces angles font un angle tétraëdre régulier.
3° Cinq angles de triangle équilatéral produisent un angle polyèdre régulier, car les angles plans dont il est composé font cinq fois 60 degrés, ou 300°; moin; dres que 360 degrés, ou quatre angles droits, et L l'on obtient un angle pentaëdre régulier.
Mais six angles de triangle équilatéral ne peuvent former un angle polyèdre, parce que la réunion de
ces six angles plans vaut six fois 60°, ou 360°, qui égalent la somme de quatre angles droits; il s'ensuit qu 1l ne peut pas y avoir d'angle polyëd re formé avec six angles de triangle équilatéral, et à plus forte raison avec sept, huit, etc.
4° Trois angles de quarré forment un angle polyèdre, car leur somme vaut trois fois 90°, ou 270 degrés, ce qui est moindre que quatre angles droits; c'est pourquoi trois angles de quarré font un angle trièdre régulier.
On ne peut concevoir aucun autre angle polyèdre formé avec des angles de quarré, parce que quatre angles de quarr é ne peuvent former d'angle polyèdre, et'encore moins cing, six , etc.
5° Trois angles de pentagone régulier forment un angle polyèdre, puisque trois does de pentagone régulier valent 524 degrés, leur somme est donc moindre que quatre angles droits; l'angle polyèdre que l’on obtient est encore un angle trièdre régulier.
On ne peut, avec plus de trois angles de pentagone régulier, former d’angle polyèdre, attendu que quatre angles de pentagone régulier valent 432 degrés, ce qui fait une somme plus grande que dur angles droits,
Trois angles d’hexagone ne peuvent non plus former un angle polyèdre régulier; car chaque angle d'hexagone régulier vaut 120 degrés, trois de ces angles font 360 degrés, ou quatre angles droits; donc avec trois angles d’hexagone régulier on ne peut pas former d'angle polyèdre. Les polygones réguliers d'un plus grand nombre de côtés, dont les angles réu-
Ko) nis puissent produire un angle polyèdre, sont des pentagones réguliers. Si trois angles d’hexagone régulier ne peuvent former un angle pol yèdre régulier, il n’est pas possible que trois angles d'heptagone ré- gulier, et à plus forte raison trois angles d'octogone régulier, puissent former un tel angle.
Il est donc rigoureusement prouvé qu’il n’y a que les triangles équilatéraux , les quarrés et les pentagones réguliers ; dont les angles puissent former des angles polyèdres réguliers, qui sont au nombre de cinq, comme nous l’avions avancé.
Des corps polyèdres.
On appelle en géométrie corps polyèdres , tout ce qui est étendu dans trois directions non situées dans un même plan, c’est-à-dire ce qui réunit les trois dimensions, que l’on nomme longueur, largeur, et hauteur ou épaisseur.
On peut concevoir un corps engendré par le concours de plusieurs plans qui, en se réunissant par leurs côtés ou arètes, forment des angles polyèdres, et in= terceptent un espace; comme 1l faut au moins trois plans pour former un angle polyèdre, etces trois plans laissant un vide qui, pour être fermé, exige au moins un quatrième plan, il s'ensuit qu'il faut au moins quatre plans pour qu'un espace ayant trois dimensions, soit limité de toutes parts.
Les corps terminés ainsi, par des Dit ou des: faces planes, portent le nom de corps polyèdres, ou simplement de polyèdres. On appelle en particulier tétraèdre le corps qui à quatre faces, hexœaedre celui
qui en a six, octaedre celui qui en huit, dodécaëèdre celui qui en a douze, icosaèdre celui qui en a vingt, etc.
On appelle polyèdres réguliers ceux dont toutes les faces sont des polygones réguliers égaux, et dont tous les angles polyèdres sont égaux entre eux.
Le nombre des polyèdres réguliers est déterminé par la combinaison des angles plans égaux qui, réunis au nombre de trois au moins, donnent un angle polyèdre dont la somme des angles plans formant les faces, est toujours moindre que quatre angles droits.
Nous avons reconnu qu'il ne pouvait y avoir plus de cinq angles polyèdres réguliers, il ne peut de même y avoir que cinq corps polyèdres réguliers , savoir : trois dont les faces sont des triangles équilatéraux égaux, un dont les faces sont des quarrés égaux, et un dont les faces sont des pentagones réguliers égaux. Nous decrirons ces polyèdres réguliers en les classant d’après le nombre de leurs faces.
Les polyèdres prennent aussi d’autres dénominations. On nomme prisme un polyèdre compris sous plusieurs plans parallélogrammes et terminé, de part et d'autre, par deux polygones égaux et parallèles. Suivant que la base du prisme est un triangle, un quadrilaière , un pentagone, un hexagone, etc., le prisme est triangulaire, quadrangulaire, pentagonal, hexagonal. (PI. 10, 11, 12 et 13.)
Le prisme qui a pour bases des parallélogrammes et dont toutes les faces sont aussi des parallélogrammes, s'appelle parallélépipède. (PI. 4 et 11.)
Un prisme est droit lorsque les faces latérales sont
des rectangles ; et que les arètes latérales sont perpendiculaires aux plans des bases.
Un prisme est régulier lorsque étant pat il a aussi pour bases des polygones réguliers.
La hauteur d’un prisme est la droite perpendiculaire à la fois aux deux bases, l’une d'elles prolongée, s’il est nécessaire.
La pyramide est un polyèdre formé par plusieurs plans triangulaires partant d’un même sommet et terminés aux différens côtés d’un même plan polygonal considéré comme base. Lorsque la base est triangulaire, quadrangulaire, pentagonale, etc. , la pyramide est triangulaire, quadrangulaire, ou pentagonale. (PL. 14, 16 et 18.)
La hauteur d'une pyramide est la perpendiculaire
abaissée du sommet sur le plan de la base, prolongé s'il est nécessaire.
… Une pyramide est régulière lorsque la base est un polygone régulier, et que les triangles composant les faces sont égaux et isocèles; 1l s'ensuit que la hauteur d’une pyramide régulière passe par le centre de la base. | |
L’apothème d'une pyramide régulière est la perpendiculaire menée du sommet sur un des côtés de la base; cette ligne mesure la hauteur de tous les triangles qui composent la surface latérale de la pyramide.
La diagonale d’un corps pol yédre est la ligne droite qui joint les sommeis de deux angles polyèdres non adjacens. .
Des corps ronds.
Dans la géométrie élémentaire, on considère trois corps ronds : la sphere, le cône et le cylindre. Lie premier de ces corps n'étant pas développable, nous ne devons pas nous en occuper; une sphère est représentée par une boule parfaitement arrondie. Quant au dernier, il est assez familier pour qu’on puisse se dispenser d’en donner le développement, car un cylindre est représenté par une colonne dont le diamètre serait partout le même. Le second de ces corps est celui dont nous nous OCCuperons.
Le cône peut être considéré comme une pyramide ayant pour base un polygone dont les côtés deviennent de plus en plus nombreux, et par conséquent très petits; alors la base de la pyramide aura pour limite une courbe fermée, qui sera la base du cône.
Un cône à base circulaire est droit, lorsque la droite menée du sommet perpéndicularementè à la base, passe par le centre du cercle.
Nous terminerons cet QUYTRDS en faisant connaître les sections d’un cône droit à base circulaire par un plan; elles sont au nombre de cinq, savoir: le 7riangle, le Cercle, Ellipse, la Parabole, et l'Hyperbole. (PL. 20, 21, 22, 25 et 24.)
Les personnes qui ne connaissent point les propriétés des polyèdres, doivent passer les explications qui “accompagnent la table suivante ; 1l leur suffira d’étudier les deux règles générales, qui sontappliquées aux cinq exemples, de la page 11, qui terminent la première partie. Il conviendra, comme objet d’exercice, de se proposer d’autres exemples.
