Dessiner une pyramide irrêgulière
Le plan comprend toujours un polygone ABCD égal ou semblable h la base (P. IV, F. 3G). Si, "h l'aide d'un fd-à-plomb, vous avez pris les distances horizontales du sommet de la pyramide h deux sommets D , 1) de la hase, vous pourrez, avec ces longueurs, marquer le sommet S sur le plan horizontal. Les droites AS, liS, es, DS y représenteront les arêtes concourantes.
Pour faire l'élévation, abaissez de tous les points /du plan, des perpendiculaires sur la ligne de terre; prenez S'S" égale à la hauteur de la [)yramidc, et joignez le point S' aux points A', B',
C, D'. Les droites que vous tirerez ainsi, représenteront les arêtes concourantes, sur le plan vertical; mais il est possible qu'aucune ne soit représentée dans sa vraie grandeur. Cependant, comme je vous l'ai annoncé (35o) , le dessin complet d'un corps peut toujours en donner exactement les dillércntes dimensions.
Voulez-vous, par exemple, avoir la vraie longueur de l'arête qui va de C au sommet? il suffira de porter sur Ia ligne de terre, de S' en E, la droite GS du plan , et de tirer S"K ; celte hypothénuse du triangle rectangle ES'S" donnera la longueur cherchée. Pour les autres vous agiriez d'une manière analogue.
433. Dessiner un tronc de pyramide régulière, à bases parallèles. Le-f)lan se compose de deux polygones réguliers, concentriques,
égaux ou semblables aux bases ^ et de droites Aa, B6, etc. (P. IV, F. 37), qui joignent les sommets correspondants des polygones. Ces droites représentent les arêtes concourantes, sur le plan horizontal.
L'élévation doit offrir un trapèze dont les côtés parallèles soient éloignés l'un de l'autre autant que les bases du tronc de pyramide. On détermine ce trapèze en abaissant des perpendiculaires sur la ligne de terre, des points A, C jusqu'à cette droite, et des points a, c, jusqu'à sa parallèle de. Si, comme dans la figure, deux côtés AF, Cf) de la grande base sont perpendiculaires à la ligne de terre, les droites Aa', Ce' représentent chacune deux arêtes concourante.^, sur le plan vertical. Par le même moyen, on trace la droite B'6' qui représente les deux autres. Le dessin n'a aucune ligne pointillée, attendu que toutes les lignes cachées de l'c'lévation se confondent avec des lignes vues, par suite de la position donnée arbitrairement au tronc de pyramide.
166 COMPARAISOîJ DES PYRAMIDES,
Comparaison des Pyramides.
454, Deux pyramides triangulaires sont égales, si leurs arêtes correspondantes ont même longueur.
Plaçons la base ABC de l'une sur la base ABC de l'autre (P. IV, F. 58). A cause de l'égalité de leurs côtés correspondants, ces deux triangles peuvent se couvrir avec exactitude. Concevons ensuite une surface splicrique dont A soit le centre et A'S' le rayon ; elle prendra le sommet S et devra contenir le sommet S', Il en serait de même d'une seconde surface sphérique qui aurait B pour centre, B'S' pour rayon, et d'une troisième surface sphérique dont C serait le centre, et C'S' le rayon. Or, ces trois surfaces ne peuvent avoir, au-dessus du plan ABC de leurs centres, qu'un seul point commun qui est S, car elles se coupent deux h deux selon une circonférence (382). Donc, S', devant se trouver à la fois sur chacune, se place nécessairement sur S, et si S'A'B'C était creuse, SABC s'appliquerait exactement sur les parois.
435. Deux pyramides régulières sont égales, lorsquil y a égalilè entre leurs bases et entre leurs hauteurs , ou leurs arêtes concourantes (430).
Les bases ABCD, A'B'C'D', étant des polygones égaux , peuvent se couvrir (P. IV, F. 59). Les centres 0, 0' de ces polygones réguliers se trouvent alors confondus; il en est de même des axes OS, O'S', et comme l'égalité des hauteurs les rend égaux, le sommet S' se place sur S.
Si, au lieu des hauteurs, ce sont deux des arêtes concourantes AS, A'S' qu'on a mesurées et reconnues égales, il est clair qu'une suifîice sphérique, qui aurait A pour centre et A'S' pour rayon , ne pourrait couper OS, au-dessus du plan ABCD, qu'au sommet S. Or, elle devrait, ainsi que OS, contenir le sommet S'. Donc , dans ce cas encore , les deux sommets se confondraient en même temps que les î^ases.
430. Deux pyramides irrégulières sont égales , s'il y a égalité entre leurs bases, et si trois arêtes comouranles de l'une ont même longueur que leurs correspondantes dans l'autre.
Ce principe se démontre absobunent comme celui du n" 434.
437. Deux pyramides qui ont des bases de même superficie et des hauteurs égales , sotit équivalentes.
Divisons les deux corps en tranches inliniment minces, au moyen de plans parallèles aux l)ases. Il y aura autant de ces élé
MCSCRACE DES PYRAMIDES. 167
tnents dans une pyraoïide que dans l'autre, puisque les deux hauteurs sont (5gaIos. Si donc nous faisons voir que deux éléments correspondants sont ('(juivalcnls, le principe sera démontré.
Je dis (r:d)ord que chaque élément abcd est un polygone scml)lal)Io à la base ABCD (V. IV, F. iO). En effet, à cause du parallélisme des plans, ah y bc sont parallèles à AIÎ, BC (i9-i); l'angle ahc.= M\C (108); a/vlAB :: S/^:SB, k:BC::S6:SB (114), ce qui donne a^lAB :: i!*c:BC; et parce que l'on dénjontrerait de la même manière l'égalité des autres angles, et la proporlionnalité des autres côtés, il y a similitude entre abcd, ABCD (20(i)-
Il s'ensuit (52G) abcd : ABCD :: ^' : a"B= :: W- : SB". Mais, l'arête SB et la perpendiculaire SO abaissée sur la base , fournissent la proportion S6:SB::So:SO (199). Par conséquent, a6a/:ABCD::Sr?:soV
Soit maintenant efg l'élément qui, dans la pyramide TEFG, correspond à abcd, c'est-à-dire qui se trouve h la même distance du sommet. Des raisonnements pareils aux précédents monireront que efg est semblable à EFG, et qu'en menant TP jusqu'à la base, on a e/'</:EFG ::Tp*:TP'. JMais, si TP est perpendiculaire au plan de EFG, T/) = So, TP = SO. En conséquence abcd'.MiCD::eftj:V.VG, et l'équivalence des bases rend nécessaire celle des éléments correspondants.
Mcsurage des Pyramides.
438. Le volume d'une pyramide triangulaire est le tiers du produit fait avec la base et la hauteur.
Nous ferons voir d'abord que, sur toute pyramide triangulaire SABG (P. IV, F. 41), peut être construit un prisme complet de même base et de même hauteur.
Menons, de B, G , parallèlement à l'arête AS, des droites BE, CD qui égalent cette arête, i)uis joignons S à E, D. Il y aura égalité et parallélisme (Jll) entre SE et AB, entre SD et AC. Ainsi, les deux angles BAC, DSE sont égaux (198); il en est de même des triangles ABC, SED (217); et comme leurs plans se trouvent parallèles (19(5), le corps ABCDES forme un prisme triangulaire complet dont la base est ABC , et la hauteur SF, celle de la pyramide.
Nous allons démontrer maintenant que SABC est le tiers de ABCDES, ou (jue pour former le prisme, le double de SABC a été ajouté à cette pyramide.
1G8 MISURAGE DKS PYRAMIDES.
Le plan CES délaclie du prisme la pyramide CDES, qui équivaut à SABC, puisque sa base DES = ABC et que les hauteurs sont égales {Aù7). Mais la pyramide restante SBCE vaut CDES, car celle-ci prend sa face CDE pour base, si on lui donne S pour sommet, cl le triangle CDE = BCE, comme moitié du parallélogramme BCDE. Par conséquent, l'addition SBCDES , faite à SABC, en est le double, et cette pyramide forme bien le tiers du prisme.
Or (425), le volume de ABCDES = ABC X SF. Donc, enfin,
ABCXSF
SABC = -.
439. Le volume de toute pyramide est le tiers du produit fait avec la base et la hauteur.
Tirons, d'un sommet A de la base (P. IV, F. 40), des diagonales à -tous les autres , et faisons passer un plan par chacune de ces droites et par le sommet S. La pyramide SABCD se trouvera divisée en pyramides triangulaires SABC, SACD, etc., qui auront toutes SO pour hauteur. Donc (458), SABCD... ABCXSO ACDXSO (ABC -4- ACD -4- etc.) SO
= -] ;: f- etc. =
ABC...XSO
Ainsi, représentant par B et par H, la base et la hauteur d'une pyramide quelconque P, on a , pour formule de raesurage ,
Supposez B = 12"°', 11 = 2°,! 3; vous trouverez que le volume
de la pyramide dont il s'agit, vaut = =8'"-%6.
440. Pour obtenir le volume d'un tronc de pyramide à deux bases, il faut multiplier la grande base par un île ses côtés, et la petite base par son côté correspondant ; prendre la différence des deux produits; (a multiplier par la hauteur du tronc, et diviser le résultat par le triple de la différence des deux côtés correspondants employés.
Soient B, b les superficies des bases ABCDEF, abcdcf, régulières ou irrégiilières (P. IV, F. 57); C, c les longueurs des côtés correspondants AF, af, par exoni|)Io, et H la hauteur du tronc, droit ou oblique. La formule du mcsurage est
(BxC — Axc)" T.P— — .
En eiïct, le tronc est l'excès d'une grande pyramide S'ABCDEF,
