CHAPITRE PRExMIER

LES FIGURES POLYGONALES ET CURVITALES

§ t. — Les llfnres rectUls^nes et curTlltsnes.

28. Les figures les plus simples de toutes sont les trois traits élémentaires ; puis viennent les figures binaires, c'est-à-dire les traits composés et les conjugaisons. On passe des figures binaires rectilignes articulées aux figures binaires curvilignes articulées ou raccordées par la substitution des traits curvilignes aux traits rectilignes.

Avec plus de deux traits articulés bout à bout, on aies figures polygonales qui sont rectilignes ou curvilignes. Avec deux ou plusieurs traits curvilignes raccordés, on a les figures curvilignes proprement dites. Si Ton tenait à plus de précision, il faudrait appeler curvitales les figures curvilignes composées de traits raccordés sans coude ni jarret ; mais le terme est peu usité, et Tusage nous prescrit d'employer le mot curviligne aussi bien pour les figures [polygonales composées de traits curvilignes articulés que pour les figures curvilignes dont le trait est continu.

On passe des figures rectilignes à contours anguleux et heurtés aiax figures curvilignes à contours également anguleux par la substitution des traits curvilignes aux traits rectilignes. On passe des figures polygonales à contours anguleux prononcés aux figures polygonales à contours plus suivis, et de là aux

figures curvilignes à contours doux et coulants, et multipliant les traits dans un même espace, c'est-à-dire en effaçant les angles.

A Finverse, on passe des figures curvilignes aux figures rectilignes, d'abord en substituant des arcs circulaires, dont la courbure est uniforme, aux arcs dont la courbure est déclinée, puis en substituant des traits rectilîgnes, c'est-à-dire des cintres polygonaux, aux arcs circulaires. Par la substitution des arcs circulaires, on maintient la continuité du trait, mais on rompt la continuité de la courbure et l'on ramène la figure sous le joug du compas. Enfin, par la substitution des traits cintrés ou angulaires aux arcs, on rompt la continuité du trait, et l'on y substitue des angulations, des coudes ou des jarrets.

29. On va d'un point à un autre par une droite, et c'est le chemin le plus court et le plus direct, puisqu'on ne s'écarte ni d'un cô^é ni de l'autre de la direction, ou par deux chemins égaux ouânégaux et plus ou moins écartés : il se fait alors au sommet du chevron ou du crochet ainsi produits un changement brusque de direction ; ou enfin par trois ou un plus grand nombre de chemins égaux, inégaux ou variés : on a alors des cintres polygonaux. En multipliant sensiblement dans un même espace les traits ou les chemins, on multiplierait les changements de direction, et enfin, à la limite, le nombre des traits étant devenu infiniment grand alors que chacun d'eux est devenu infiniment petit, le changement de direction est incessant et continu, et l'on va d'un point à un autre par une ligne courbe.

La courbure est donc la déviation continue de la direction rectiligne ; c'est pour cela que toute ligne courbe implique en tous ses points une droite tangente qui indique le chemin que suivrait le point s'il ne subissait aucun changement de direction. La figure curviligne la plus simple de toutes est le cercle dont la courbure est uniforme, parce que le changement de direction est uniforme, étant réglé par un point fixe et un rayon invariable, par rapport auquel la circonférence est toujours perpendiculaire. Le cercle est donc la limite d'un polygone rectiligne dont le nombre des côtés est devenu infiniment grand lorsque chacun d'eux est devenu infiniment petit. En suivant la série des chiffres à partir du trigone, les angles des polygones s'ouvrent de plus en plus et, à la limite, disparaissent dans un contour doux et coulant : l'articulation fait place à la courbure.

LES FIGURES POLYGONALES ET CURVITALES

29. La figure ou rarticulation la plus simple est Tangle rectiligne. L'angle obtus (fig. 1) est inscrit dans un arc moindre que

le demi-cercle : les côtés sont alors des cordes ; et il inscrit un arc moindre qu'un quartier : les côtés sont alors des tangentes. L'angle droit (fig. 2) est inscrit dans une demi-circonférence, et il inscrit un quartier. Enfin Tangle aigu (fig. 3) est inscrit dans un arc outrepassé, et il inscrit un arc moindre que le demi-cercle. D'après cela, on voit que les deux arcs méplats de l'angle obtus sont peu différents l'un de l'autre, et qu'en outre ils l'approchent d'assez près pour qu'il s'ensuive l'idée de leur substitution mutuelle. Les deux arcs de l'angle aigu sont fort différents l'un de l'autre et aussi éloignés que possible de la figure du chevron qui est tout en angle lorsque les arcs sont tout arrondis. La figure 2 est intermédiaire aux deux autres. • Les chevrons obliques ou les crochets sont inscrits respectivement dans les mêmes arcs que les chevrons droits, mais ils inscrivent non plus des arcs, mais des recourbées. En effet, inscrivons un arc de cercle dans un carré suivant la diagonale (fig. 4),

'-'r.tffi

et prenons un système quelconque de coordonnées parallèles^ aux côtés. Si nous supposons que le carré s'allonge dans son à-plat, il deviendra un rectangle (fig. 6), dans lequel les coordonnées garderont leurs distances pour le côté invariable, et s'écarteront proportionnellement à l'allongement pour l'autre côté ; il en résulte que l'arc se transforme en une recourbée dont les tangentes extrêmes sont d'équerre. Si maintenant on déverse le rectangle à gauche (fig. 8) , on transformera la recourbée d'équerre en une recourbée moins cintrée, ou, ce qui revient au même, plus méplate, et dont les tangentes extrêmes formeront

un angle obtus. En déversant le rectangle à droite (fig. 7), on aura, au contraire, une recourbée plus cintrée et dont les tangentes extrêmes formeront un angle aigu. Si une droite traversait Tangle en étant tangente à la recourbée, il s'ensuivrait un cintre de trois traits à la place du crochet et qui inscrirait la recourbée de plus près. En coupant ainsi et successivement tous les angles, on aurait des cintres composés d'un nombre de plus en plus grand de traits devenant de plus en plus petits. A la limite, le cintre se confondrait avec la recourbée.

% %. — Les AguTe» polys^onales.

Des traits en nombre quelconque étant articulés bout à bout en tournant dans le même sens, sous des angles obtus, droits ou aigus, on obtient un grand nombre de figures polygonales. Suivant que les côtés et les angles sont égaux ou variés, ces figures peuvent se ranger dans les quatre catégories suivantes :

1** Si les traits sont égaux et les angles égaux, on a des figures à la fois équilatérales et équiangles.

2® Si les traits sont égaux et les angles variés, on a des figures qui sont seulement équilatérales.

30 Si les angles sont égaux et les traits variés, on a des figures qui sont seulement équiangles.

¥ Enfin, si les angles sont variés et les traits variés, on a des figures variées.

La variation des traits et des angles est la plus régulière quand elle a lieu par déclination, c'est-à-dire quand la suite des traits ou la suite des angles forment une progression régulière, croissant ou décroissant par degrés réguliers.