I. — LE TRAIT ÉCARTELÉ

48. La seule figure simple de symétrie écartelée est la droite* ou le trait rectiligne. Nous supposerons, pour pli^s de commodité,, la droite inscrite au carré suivant les diagonales ;. nous auronsainsi deux positions. Tune en barre, Vautre en bande, lesquelles, groupées par quatre, déterminent seize figures qui sont les positions diverses de six motifs différents (fig. 1 à 6).

Si le trait composant était d'une obliquité différente, s'il était penché ou couché, les deux figures 5 et 6, qui sont gironnées, deviendraient écartelées; la figure 2, qui est écartelée, deviendrait diagonale ; la figure 1 resterait paire ; enfin, les figures 3 et 4, qui sont paires, deviendraient impaires et asymétriques. Dans ce cas, les quadripartitions seraient inscrites dans un rectangle ou un parallélogramme au lieu d'un carré.

La figure 1 est composée de deux fois deux traits articulés. La figure 2 est composée de trois traits dont un double. La figure 3 est composée d'un trait libre et d'un groupe de trois traits articulés en un point. La figure 4 est composée d'un trait libre et de trois, traits, articulés cintrés. La fig. 8 est composée de quatre traits articulés en un point et irradiés. Enfin la figure 6 est composée de quatre traits articulés bout à bout et orbiculés.

IL — Le TRAIT PAIR.

49. Prenant pour motif le trait circulaire inscrit suivant la diagonale d'un carré, il occupera quatre positions, lesquelles^ combinées deux à deux, donneront seize figures binaires (fig. 1 à 16) (20), qui réunissent les positions diverses de six motifs différents. Ces seize figures groupées deux à deux, ou les quatre positions du trait initial groupées quatre à quatre, détermineront deux cent cinquante-six (16 x 16 = 256) quadripartitions, qui

LES FIGUKES. QUATERNAIRES 71

réunissent les positions diverses de quarante-trois motifs différents. Ces quarante-trois motifs se répartissent en six groupes qui correspondent respectivement aux six quadripartitions du trait écartelé, desquelles, d'ailleurs, on les obtiendrait facilement en substituant un trait pair au trait écartelé.

1" groupe. 64 figures. 10 motifs.

Les motifs 1 et 2 sont pairs et suivis ; le motif 3 est impair et suivi; le motif 4 est impair et contrarié; les motifs 8 et 6 sont pairs; enfin, les motifs 7 à 10 sont impairs.

2*' groupe. 32 figures. 7 motifs.

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Les motifs 11 à 14 sont pairs;, les motifs 15 et 16 sont diagonaux; enfin le motif 17 est impair.

3« groupe. 64 figures. 8 motifs. 4e groupe. 64 figures. 8 motifs.

Jâ JS ^ ^ 26 27 ^â 2S

^£ 2Jt 24 2S ^^ ^^ '^^ '^^

Les huit motifs du 3© groupe sont impairs. — Ceux du ¥ groupe le sont également.

5* groupe. 16 figures. 4 motifs.

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-V JW ^s cp

Le motif 34 est écartelé; le motif 38 est révolvé diagonal ; le motif 36 est pair ; enfin le motif 37 est impair.

S* groupe, iâ Sguree. 6 motifs.

Les motifs 38 et 39 sont gironnés ; le motif 40 est écartelé ;

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LES FIGORES QUATERNAIRES 73

éciirtelée; la figure 6, qui est révolvée-diagonale; la figure 7, qui est paire enfin; la figure 8, qui est impaire.

Avec le trait diagonal, on n'a donc pas de motif gironné, et, en effet, le trait diagonal bien qu'il soit composé de deux parties égales et qu'il ait un centre de symétrie, n'est pas un motif pair, puisqu'il n'a point d'axe unique en ayant une infinité.

Les autres groupes ne donnent pas de résultats particulièrement intéressants.

Si le trait diagonal était inscrit suivant la diagonale d'un rectangle, on n'aurait plus de motifs révolvés, mais seulement des motifs diagonaux, des motifs pairs et des motifs impairs.

IV^ — Le trait impair.

51. — Les huit positions d'un motif impair groupées deux à deux déterminent soixante-quatre (8x8= 64) combinaisons binaires. Les soixante-quatre combinaisons binaires groupées deux à deux, ou les huit positions du motif initial groupées quatre à quatre déterminent quatre mille quatre-vingt-seize (64 X 64 = 4(596) quadripartitions, qui se répartissent, comme les précédentes, en six groupes.

Les 4096 quadripartitions comprennent les positions diverses de six espèces de figures : 1<» impaires et asymétriques, 2" impaires et dyssymétriques, 3* diagonales, 4* révolvées-diagonales, 8® écartelées, 6« enfin paires.

Nous ne nous occuperons que du 6« groupe, où les figures ont les traits articulés bout à bout en orle ou en disposition orbiculée. Ce groupe comprend 256 figures, dont 216 sont impaires et 40 sont symétriques. Ces 40 figures symétriques sont les positions diverses de douze motifs différents.

Nous prendrons pour trait initial le tricèle figure 2 (45), et nous le supposerons inscrit suivant la diagonale d'un carré . Nous aurons, par suite, les douze figures suivantes :

1* Deux motifs écartelés (fig. 1 et 2), contre-partie l'un de l'autre, par l'inversion des arcs, ce que l'on obtient encore par le retournement du trait sur lui-même.

2*' Six motifs pairs (fig. 3 à 8). Les figures 3 et 4 sont contrepartie l'une de l'autre, ainsi que les figures 8 et 6. Les figures 7 et 8 ont chacune pour contre-partie le même motif dans une position différente.

3»» Deux motifs diagonaux (fig. 9 et 10). La contre-partie de chacune de ces figures est la même renversée.

4<>Deux motifs révolvés-diagonaux (fig. 11 et 12). Les deux motifs sont contre-partie Tun de Tautre.

Si, pour trait impair, on prenait la recourbée, on aurait des figures d'un aspect différent, mais néanmoins construites sur les mômes types. Avec Tenroulement, les figures seraient encore plus singulières, à cause de Tenroulement qui ferme le trait à son extrémité. On pourra s'exercer utilement à construire ces figures d'après les indications précédentes, en observant qu'elles prêtent à des raccordements.

Les cinq autres groupes, ou tout au moins les quatre premiers, n'offrent pas de résultats particulièrement intéressants. Néanmoins, et comme applications des principes théoriques, ils pourront fournir, quoique un peu monotones, d'excellents exercices^ de classe.

52. Toutes les figures précédentes ont été inscrites dans un carré ; mais si l'on déprime la figure dans un sens ou dans l'autre, on transformera le carré de symétrie gironnée en un losange de symétrie écartelée. Par suite, la symétrie des quadripartitions incluses s'abaisse en général d'un degré : les motifs gironnés deviennent écartelés; les motifs écartelés et révolvés deviennent diagonaux; les autres motifs ne changent pas.

La transformation précédente est seulement angulaire, et la