K PACTE

L'année grégorienne 1 867 a 6 ponr Nombre d'or el 25 pour Êpacte ; les nouvelles Lunes de cette année arrivent donc le 6 Janvier, le 5 Février, le 6 Mars, le 5 Avril, et ainsi de suite, en employant l'Épacte 25 quand on la rencontre, et l’Épacte 24 quand l’Épacte 25 manque. En l'année grégorienne 3108, dont le Nombre d’or est 12 et l’Épacte 25, les jours marqués au Calendrier perpétuel de l’Épacte 25, ou de l’Épacte 26 au défaut de l’Épacte 25, sont des jours de Néoménie, tels que le 6 Janvier, le 4 Février, le 6 Mars, le 4 Avril, et ainsi des autres.

Dans les années qui ont en même temps 1 9 pour Nombre d’or et 1 9 pour Épacte, par exemple en l’année grégorienne 1 690, le 31 Décembre est considéré comme étant accompagné au Calendrier perpétuel de l’Épacte 1 9 au lieu de l’Épacte 20. On trouve ainsi en ces sortes d'années deux nouvelles Lunes au mois de Décembre, l'une au 2 de ce mois, accompagné régulièrement de l’Épacte 19, et l’autre au 31, que l’on suppose alors accompagné de la même Épacte 19. Sans cette précaution il n’y aurait pas eu de nouvelle Lune marquée au Calendrier perpétuel depuis le 2 Décembre de l’année dont le Nombre d’or est 19 et l’Épacte 1 9 jusqu’au 30 Janvier de l’année suivante, qui a 1 pour Nombre d’or et 1 pour Épacte. Ce cas ne se présentera plus jusqu’en l’année grégorienne 85H dontle Nombre d’or est 19 et l'Épacte 19.

RÈGLES

Multipliez le Nombre d’or par 1 1, retranchez 10, di* visez par 30, et vous aurez un reste que j’appellerai a.

- Retranchez 15 du nombre séculaire du millésime, et , vous aurez un nombre que j’appellerai b.

Divisez b par 25, retranchez le quotient du dividende, divisez par 3, et vous aurez un quotient que j’appellerai c.

Multipliez b par 3, divisez par 4, et vous aurez un quotient que j’appellerai d.

Retranchez c de d, divisez par 30, et vous aurez un reste que j’appellerai e.

Retranchez e de a, et vous aurez l’Epacte.

CALENDRIER (iHÉGOUIElt.

Si e est plus grand que a, retranchez a <le e, retranchez le résultat de 30, et vous aurez l’Epacte (1).

EXEMPLES

I. On désire avoir l’Epacte de l’année 4 562 pour le temps qui suit la Réforme grégorienne. Réponse : 26.

Solution. Le Nombre d’or de l’an 4582 est 6 ; je multiplie 6 par 41 , et j'obtiens le nombre 66; je retranche 10 de 66, et j’obtiens le nombre 56 ; je divise 86 par 30, et le reste 26 donne le nombre a.

Le nombre séculaire du millésime 1582 est 45; je retranche 15 de 15, et le résultat 0 donne le nombre b.

Je divise 6 ou 0 par 25, et j'ai Oau quotient; je retranche 0 du dividende 0, et le résultat est 0; je divise 0 par 3, et le quotient 0 donne le nombre e.

Je multiplie 6 ou 0 pur 3, et le résultat est 0 ; je divise 0 par 4, et le quotient 0 donne le nombre d.

Je. retranche c de d, c’est-à-dire 0 de 0, et le résultat est 0 ; je divise 0 par 30, et le reste 0 donne le nombre e.

Je retranche e de a, c’est-à-dire 0 de 26, et le résultat 26 donne la réponse.

II. Énoncez l’Epacle de l’année grégorienne 1867. Réponse : 25.

•Solution. Le Nombre d’or de l’an 4867 est 6 ; je multiplie 6 par 14, et j’obtiens le nombre 66; je retranche 40 de 66, et j’obtiens le nombre 56 ; je divise 56 par 30, et le reste 26 donne le nombre a.

(4) F rancœur dans son l'ranographie, page 483, donne la règle suivante pour trouver l’Épacte d’une année proposée.

Retranchez 4 du Nombre d’or, multipliez par 44 et divisez par 30; vous aurez un reste : prenez le quart et le tiers (en négligeant les fractions) du nombre qui exprime la partie séculaire du millésime; leur somme —H 8 -J- le reste — le nombre séculaire, sera l'Epacte de l’année proposée.

Cette règle, vraie pendant un certain temps, ne jouit pas du caractère de perpétuité, essentiel en ces sortes de calculs; elle ne peut, par conséquent, être employée avec succès et donner des résultats sûrs pour tous les siècles à venir. Nous citerons pour exemple l'année 4850, dont nous allons chercher l’Epacte avec la règle de cet auteur.

En l'année 4850 le Nombre d’or est 6, et la partie séculaire du millésime est 48. (±±IJ = « f0 , ~ = 46 ,j = 42; 46+12 1 8+25-48=43= Epacte.

ÉPACTJî. 173

Le nombre séculaire du millésime <867 est 48 ; je retranche <5 de 18, et le résultat 3 donne le nombre b.

Je divise b ou 3 par 25. et j’ai 0 au quotient ; je retranche 0 du dividende 3, et j’obtiens le nombre 3; je divise 3 par 3, et le quotient 1 donne le nombre c. *

Je multiplie 6 ou 3 par 3, et j’obtiens le nombre 9; je divise 9 par 4, et le quotient 2 donne le nombre d.

Je retranche c de d, c’est-à-dire 1 de 2, et j'obtiens le nombre 1 ; je divise 1 par 30, et le reste 1 donne le nombre e.

Je retranche e de a, c'est-à-dire 1 de 26, et le résultat 25 donne la réponse.

III. On demande l’Epacte de l’année grégorienne <899. üeponse: 18. v

Solution. Le Nombre d’or de l’an 1899 est 19; je multiplie <9 par 11, et j’obtiens le nombre 209; je retranche 10 de 209 et j'obtiens le nombre 199; je divise <99 par 30, et le reste 19 donne le nombre a.

Le nombre séculaire du millésime 1899 est 18 ; je retranche <5dc 18, et le résultat 3 donne le nombre b.

Je divise 6 ou 3 par 25, et j’ai 0 au quotientj je retranche 0 du dividende 3, et j'obtiens le nombre 3 ; je divise 3 par 3, et le quotient 1 donne le nombre c.

Je multiplie 6 ou 3 par 3, et j'obtiens le nombre 9; je divise 9 par 4, et le quotient 2 donne le nombre d.

Je retranche c de d , c'est-à-dire 1 de 2 , et j'obtiens le , nombre 1 ; je divise 1 pur 30, et le reste 1 donne le nombre e.

Ainsi, d'après ta règle de F rancœur, l'Epacte de 4850 est 13. Or l'Epacte de cette année n’est pas 13, mais 12 seulement. En effet, par suite des métemploses t ou équations solaires, au nombre de 3 en 4 siècles, il faut retrancher 24 des' Epactes du 17* siècle pour avoir celles du 49°, et par suite des proemptoses nu équations lunaires, au nombre de 8 en 25 siècles, il tant ajouter 10 aux Epactes du 3"* siècle pour avoir celles du 49°; ce qui revient à retrancher 14 des Epactes du 17e siècle potir avoir avec un même Nombre d'or les Epactes du 49° siècle.

Mais dans le 17° siècle l'Epacte 26 répond au Nombre d’or 6, donc dans le 49* siècle l'Epacte 26 — 14, c’est- b-dire l'Epacte 12, répond au nombre d'or 6, qui est celui de l'année 4850.

Si l'on consulte d'ailleurs les auteurs qui donnent la table de l’équation des Epactes et la table étendue des Epactes, tels que Rivard, Blondel, Clavius, etc., on verra dans la première de ces tables que la lettre indice i répond au 49° siècle, et dans la seconde que l’Epacte 42 accompagne le Nombre d'or 6.

On obtient un résultat semblable en employant les règles et les tables de ce chapitre à la recherche de l’Epacte de l’année 4850. *

474 CALENIiMEIt GRÉGORIEN.

Je retranche e de a, -c'est-à-dire 4 de 49, et le résultat 48 donne la réponse.

IV. Indiquez l'Epacle de 1 année grégorienne 4900. Réponse : S9.

Solution. Le Nombre d’or de l'an 4 900 est 4 ; je multiplie 4 par 44,

et j’obtiens le nombre 44; je retranche 40 de 14, et j’obLiens le nombre 4 ; je divise 4 pur 30. et le reste 4 donne le nombre a.

Le nombre séculaire du millésime 1900 est +9; je retranche 45 de 49, et le résultat 4 donne le nombre 6.

Je diviso b ou 4 par 25, et j’ai 0 au quotient ; je retranche 0 du dividende 4, et j’obtiens le nombre 4; je divise 4 par 3, et le quotient 4 donne le nombre c.

Je multiplie b ou 4 par 3, et j'obtiens le nombre 42; je divise 42 par 4, et le quotient 3 donne le nombre d.

Je retranche ede d. c’est-à-dire 1 de 3, et j’obtiens le nombre 2; je divise 2 par 30, et le reste î donne le nombre e.

Comme e ou 2 est plus grand que a ou 4, je retranche 4 de ï, cl j’obtiens le nombre 1 ; je retranche 1 de 30, et le résultat 29 donne la réponse.

V. Quelle est l’Epacte de l’année grégorienne 9017 ? Réponse : 0.

Solution. Le Nombre d’or de l’an 9017 est 48 ; je multiplie 48 par 11 , et j’obtiens le uombre 438 ; je retranche 10 de 132, et j’obtiens le nombre 122; je divise (22 par 30, et le reste 2 donne le nombre a.

Lu nombre séculaire du millésime 9047 est 90 ; je retranche 15 de 90, et le résultat 75 donne le nombre b.

Je divise b ou 75 par 25, et j’ai 3 au quotient-, je retranche 3 du dividende 75, et j’obtiens le nombre 72 ; je divise 72 par 3, et le quotient 24 donne le nombre c.

Je multiplie b ou 76 par 3, et j’obtiens le nombre 223 ; je divise 225 par 4, et le quotient 56 donne le nombre d.

Je retranche c de d, c’est-à-dire 24 de 56, et j’obtiens le nombre 32; je divise 32 par 30, et le reste 2 donne le nombre e.

Je retranche e de a, c’est-à-dire 2 de 2, cl le résultat 0 donne la réponse.

TABLES DE L’EPACTE.

Cherchez dans la Table I le nombre séculaire du millésime, et vous trouverez à gauche de la Table une Série

BPACT8.

correspondant à ce nombre séculaire ; cherchez ensuite dans la Table II le nombre répondant à la fois au Nombre d’or du millésime et à la Série trouvée précédemment, et vous aurez l’Epacte demandée.

L’usage de ces Tables nionlre <[tie l'Épaclc de l’année grégorienne 1900, ayant 1 pour Nombre d'or, est Î9 ; car dans la Table 1 la Série 111 correspond au nombre séculaire 19 du millésime, et dans la Table 11 l’Epacte 29 répond à la lois au Nombre d’or 1 et à la Série 111 trouvée précédemment.

Dans le Calendrier grégorien la construction de la Table I de l’Épacte est tout à fait analogue à la construction de la même Table dans le Calendrier julien. Dans les deux Calendriers les groupes rie nombres séculaires forment une période de 1 00 siècles ou 1 0 000 ans, avec cette différence que dans le Calendrier julien 32 groupes suffisent pour former cette période, tandis qu’il en faut 43 dans le Calendrier grégorien. Dans ce dernier Calendrier aussi, à mesure que l’on passe d’une période à la suivante, les groupes d’un même numéro d’ordre ont une unité de plus aux centaines de leurs nombres séculaires. Par exemple, le groupe [l] dansla 4” période comprend les nombres séculaires 4 5,4 6; dans la 2e période il comprend les nombres séculaires 445,446; dans la 3° période, les nombres séculaires 245,216, et de même pour les autres groupes et à l’infini.

On prolongera aussi loin qu’on voudra la Table 1 en ayant soin seulement de faire correspondre successivement aux 30 Séries qui la composent les 43 groupes de la période de 4 00 siècles. Dans cette prolongation le groupe [ij correspondra tour à tour aux séries X, XXIII, VI, et«., et ce ne sera qu'après 30 périodes de 400 siècles, c’est-à-dire après 300 000 ans, que ce groupe reviendra de nouveau à la série I.

CALENDRIER GRÉGORIEN