SECTION IV

Rv/fi 1/7 /»/ Rappoui si'R LE Pitix BOLYAl PRKSP.NTK PAK M. GustaveRADOS A l'Académik Hongrois!' dks Scikxces.

11 laut signaler le Mémoire Sur /es équations aux dérivées partielles de la Physique mathématique, publié en i(S86. Un grand nombre des problèmes de la Physi(|ue mathématique conduisent à l'équation aux dérivées partielles de Laplace, ou à une équation toute semblable du second ordre. Malgré la grande variété des conditions aux limites qui interviennent pour chacun d'eux, leur essence et leur théorie présentent un certain air de famille qui perrnet d'espérer la découverte d'un certain nombre de propositions communes à tous. Malheureusement leur trait commun réside dans les énormes difficultés que Ton rencontre lorsqu'on veut démontrer l'existence même des solutions. Dans son travail, M. Poincaré entreprend de surmonter ces difficultés pour toute une série de ces problèmes. C'est ainsi qu'il parvient à s.a piéthode si originale du balayage. De la même manière large, M. Poincaré a aussi traité le problème du refroidissement d'un corps, posé par Fourier.

C'est à cet ordre de travaux qu'il faut rattacher aussi le Mémoire de ijSt)4 Sur les équations de la Physique niathéniaticiue. dans le([nel M. Poincaré aborde plusieurs des questions les plus didiciles et les plus importantes de la Physique mathématique. Le problème des vibrations d'une membrane tendue, la théorie de l'élasticité, la théorie du mouvement de la chaleur, de Fourier, et beaucoup d'autres problèmes de la Physique mathématique se ramènent à la solution de l'équation aux dérivées partielles du second ordre

â:r- (Jv- c)z-

dans laquelle ; désigne une constante et f une fonction donnée des coordonnées. M. Poincaré traite en particulier le problème aux limites suivant : Déterminer une solution de l'équation précédente, continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres à l'intérieur d'un domaine donné et satisfaisant, sur la surface <jui limite ce domaine, ii la condition

où h désigne une constante et -r- la dérivée de ^ suivant la normale. Par

l'application originale do méthodes qui dérivent en partie de M. ScliAvarz et en partie de M. Xeumann, 11 obtient la solution rigoureuse du problème dans le plus grand nombre des cas. Signalons la série de propositions qui se

rapportent h des intégrales / \[-r] "^ij") "^ ( T ) ^^ ^^ ^^^ deviennent entre ses mains un instrument puissant de recherche.

C'est également à ce groupe de travaux qu'il convient de rattacher le Mémoire intitulé : La méthode de Xeumann et le problème de Dirichlet. On connaît la méthode par laquelle M. C. Neumann a pu obtenir une fonction harmonique à l'intérieur d'un certain domaine quand on connaît les valeurs de cette fonction sur la surface supposée convexe qui limite ce domaine. M. Poincaré a étendu cette méthode au cas où la surface limite a, en chaque point, un plan tangent déterminé et deux rayons principaux de courbure déterminés, sa forme n'étant assujettie à aucune autre condition. Nous noterons ici l'importance particulière que prennent dans ces recherches les fonctions nommées fondamentales par M. Poincaré. A chaque surface limite correspond une suite infinie de telles fonctions, qui se transforment précisément dans les fonctions sphéri(jues, quand la surface limite devient une sphère. M. Poincaré montre qu'une fonction arbitraire peut se développer en une série de fonctions fondamentales, les coefficients du développement se déterminant par des intégrales multiples. Si ces fonctions sont connues pour une surface déterminée, on peut résoudre sans difficulté le problème de Dirichlet, tant pour l'espace intérieur à cette surface que pour l'espace extérieui-.

BS M, 2? s.y t, 30, l'f p.,,avj-..i909, p. 114-1 ITi. m-^idorq ?,9iluBb •

52 HENHI POINCAHÉ

OUVRAGES