SECTION II

ExTRAii ui Rai'hoktsurle PhixBOLYAI présenté parM. GUSTAVE RADOS A l'Académie Hongroise des Sciences.

Henri Poincaré est iuconteslablement le premier et le plus puissant chercheur du temps présent dans le domaine des Mathématiques et de la Phvsique mathématique. Son individualité fortement accusée nous permet de reconnaître en lui un savant doué d'intuition, qui sait puiser à la source intarissable des intuitions géométriques et mécaniques les éléments et le point de départ de ses profondes et pénétrantes recherches, en apportant d'ailleurs la rigueur logique la plus admirable dans la mise en œuvre de chacune de ses conceptions. A côté des dons éclatants de l'invention, il faut reconnaître en lui une aptitude à la généralisation la plus fine et la plus féconde des relations mathématiques, qui lui a souvent permis de reculer, bien au delà du point oîi elles étaient arrêtées avant lui. les limites de nos connaissances dans les diflférentes branches des Mathéniatiques pures et appliquées.

C'est ce que montrent déjà ses premiers travaux sur les fonctions automorphes, par lesquels il a ouvert la série de ces brillantes publications qui doivent être rangées au nombre des plus belles découvertes de tons les temps.

En cherchant a obtenir, pour les solutions des équations ditïérentielles, des développements uniformes et toujours convergents, il s'adressa en premier lieu iâ la classe la plus simple de toutes celles qui avaient été étudiées jusque-là, aux équatiops linéairesyi coefficients rationnels ou abrébriques. Il fut ainsi conduit à de nouveHes transcendantes qui peuvent être regardées comme une généralisation très étendue des fonctions elliptiques et de la fonction modulaire, et qui jouent dans la solution des

ANALYSE MATHKMATIQUE *2I

équations difTérentielIps linéaires le même rôle que les fonctions elliptiques ou abéliennes pour les intégrales des difTérentielles algébriques. Ces nouvelles fonctions triinscendantes sont caractérisées par cette propriété qu'elles demeurent invariantes quand on soumet la variable dont elles dépendent à toutes les substitutions linéaires faisant partie d'un même

groupe discontinu. Si, dans ces substitutions (2, — - — -.) de déterminant

ad — hc = I, tous les coefficients sont des nombres réels, elles laissent fixe l'axe de la variable réelle. En composant les substitutions de ce genre avec une autre dont le déterminant est toujours égal à 1, mais dont les coefficients sont des nombres complexes ([uelconques, on obtient des substitutions résultantes qui laissent invariant un cercle désigné par M. Poincaré sous le nom de cercle jondamcntal. Les groupes ainsi caractérisés sont ceux que M. Poincaré nomme groupes fuchsiens, tandis qu'il réserve le nom de groupes kleinéens aux groupes discontinus les plus généraux formés de substitutions linéaires. En employant avec une extrême pénétration des notions métriques empruntées à la Géométrie non-euclidienne, INI. Poincaré parvient d'une manière intuitive à la détermination et à la description de tous les groupes ainsi définis. Chacun d'eux donne naissance à une division régulière du plan ou de l'espace ; et le problème de la recherche de tous les groupes luchsiens et kleinéens se ramène à la détermination de toutes les divisions régulières du plan ou de l'espace. Après avoir introduit ce qu'il appelle des cycles, M. Poincaré a pu distribuer tous les domaines fondamentaux relatifs aux groupes fuchsiens en sept familles différentes, et aussi déterminer eifectivement, pour chacune des divisions régulières obtenues, les groupes correspondants. 11 s'agissait maintenant de donner la solution du problème important qui consiste à déterminer toutes les fonctions demeurant invariables, quand on soumet la variable dont elles dépendent à toutes les substitutions d'un groupe fuchsien. C'est ce que M, Poincaré appelle les fonctions fuchsiennes . Pour les trouver, il se laisse encore guider par l'analogie avec les, fonctions elliptiques. On sait que les fonctions thêta elliptiques ne sont pas doublement périodiques, mais qu'elles se reproduisent multipliées par un facteur exponentiel, quand l'argument s'augmente d'une période ; M. Poincaré construit des séries dont la forme permet de reconnaître avec évidence l'effet des substitutiojis du groupe et qui se comportent d'une manière semblable aux fonctiofl^jjtj^pt^ ejyiipf;i.ques. Elles sont dejl^lpjjçnp^j^ V..,,.^ v>î: -■' o -.;:;/ nlq vÀ ^<aoI-> gI 6 G - : <•

où la somme est étendue u toutes les substitutions du groupe et où H est

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le signe qui désigne une fonction rationnelle, d'ailleurs quelconque. Les fonctions analytiques détinies par ces séries sont celles ([ue M. Poincaré appelle thrta fuchsiennes. Elles satisfont à l'équation fonctionnelle

(f-i: + rf;)

la substitution (;, ''\,,) étant une (quelconque de celles du groupe

fuchsien considéré. Comme le montre INI. Poincaré par une fine analyse, il y a deux espèces différentes de fonctions thêta fuchsiennes. Pour la première espèce, le cercle fondamental est une limite naliirelle et la fonction existe seulement à l'intérieur de ce cercle. Pour la seconde espèce, les fonctions ont seulement des points isolés sur le cercle fondamental, et elles peuvent être prolongées analvtiquement au delà de ce cercle, dans toute l'étendue du plan.

En suivant la même marche que dans la théorie des (onctions elliptiques, et prenant le quotient de deux fonctions thêta fuchsiennes de même degré /;?, M. Poincaré obtient des fonctions qui demeurent inaltérées par toutes les substitutions du groupe fuchsien considéré. Ce sont les fonctions fuchsiennes, cpii jouissent de propriétés analogues à celles des fonctions elliptiques. Le nombre des zéros et celui des infinis situés à l'intérieur d'un polygone fondamental sont toujours les mêmes pour chaque fonction. Deux fonctions fuchsiennes d'un même groupe sont toujours liées par une équation algébrique dont le genre coïncide avec le genre géométriquement défini du groupe. Le point d'attache ainsi obtenu avec la théorie des fonctions algébriques n'a pas été négligé par M. Poincaré; il lui a permis de donner la démonstration de ce théorème important que les coordonnées des points d'une courbe algébrique définie d'une manière quelconque peuvent toujours être exprimées par des fonctions uniformes d un paramètre. Les fonctions fuchsiennes se sont aussi révélées comme un instrument puissant de recherche dans la théorie des intégrales abéliennes, et les études de M. Poincaré sur la réduction de ces intégrales à d'autres d'un genre moindre doivent être rangées au nombre de celles qui pénètrent le plus profondément au cœur de cette dilficile question.

Par l'introduction des fonctions appelées zêta fuchsiennes^ qui sont définies comme quotients d'une série à termes rationnels et d'une série ©, il a été enfin donné à M. Poincaré de démontrer que les solutions des équations difïérentielles linéaires dont les coefficieuts sont des fonctions algébriques de la variable indépendante peuvent être exprimées à l'aide de ces nouvelles transcendantes. 11 a obtenu ce résultat capital en suivant une marche analogue à celle qui donne les intégrales de différentielles algébriques exprimées par des fonctions thêta abélieunp.

C'est ainsi que M. Poincaré a ouvert un champ étendu pour l'étude des fonctions automorphes et de leurs applications, et qu'en mettant en évidence les rapports de cette théorie avec celle des équations difterenlielles linéaires, il a doté cette ancienne discipline de méthodes nouvelles et fécondes.

Parmi ses travaux ultérieurs sur la théorie des fonctions, il y a lieu de mettre à part le Mémoire Sur un théorème de la théorie générale des /onctions, qui a été publié en i883 dans le Bulletin de la Société mathématique de France. L'auteur s'y proposait de ramener d'une manière générale la théorie des fonctions analytiques à déterminations multiples ii celle des fonctions uniformes. Et, en fait, il est parvenu au théorème fondamental suivant, qui est d'une grande généralité :

Si y est une fonction analytique quelconque de x à déterminations multiples, on peut toujours déterminer une vai'iable z de telle manière que x et y deviennent des fonctions uniformes de z.

Signalons également le travail important, paru dans le même Volume du Bulletin de la Société mathématique, qui se rapporte ii la notion de genre introduite par Laguerre dans la théorie des fonctions transcendantes. Le résultat le plus remarquable établi par M. Poincaré consiste dans la condition

à laquelle doit satisfaire toute fonction F (a:) = llA„j;" de genre/?, et en outre dans le théorème d'après lequel le maximum du module de F {x) reste inférieur à e'^l'^l''^', a étant un nombre réel et positif quelconque, théorème qui joue un rôle essentiel dans d'importantes recherches ultérieures.

Il était de la plus haute importance pour la théorie générale des fonctions analytiques de déterminer quelle est la puissance de l'ensemble des valeurs que peut prendre une fonction analytique à déterminations multiples en un point r^uelconque du domaine oii elle existe.

M. Poincaré a pu établir que la détermination complète d'une fonction analyti(|ue peut toujours être obtenue à l'aide d'un ensemble déuombrable d'éléments de fonctions et, par suite, que l'ensemble des valeurs de la fonction pour tout point de son domaine est toujours dénombrable.

Comme on sait aujourd'hui que les séries divergentes peuvent, sous certaines conditions, être très légitimement et très utilement employées dans la recherche mathématique, il convient de faire remarquer que M. Poincaré a employé dans la mesure la plus large les représentations

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auxquelles il a donné le nom àasymptotiques, aussi bien dans ses recherches sur les solutions irregulières des équations difTérentielles linéaires que dans son célèbre Mémoire Sur le problème des trois corps et les ê(juations de la di/nannfpic, et qu'il a ainsi provoque de nombreuses recherches sur ce sujet.

11 a transformé la théorie des nombres complexes en signalant ses rapports avec la théorie des groupes de Lie, éclairant ainsi d'un jour tout nouveau cette théorie des unités complexes et lui permettant d'utiliser, pour la solution de ses principaux problèmes, les méthodes et les résultats de la théorie des groupes.

Siirnalons encore la théorie des svstèmes linéaires composés d'un nombre infini d'équations à un nombre infini d'inconnues dont il doit être considéré comme le fondateur, car il est le premier qui se soit occupé des déterminants infinis et des critères de convergence qui s'y rapportent.

Je dois me borner à signaler rapidement les travaux de M. Poincaré qui se rapportent aux premiers fondements d'une théorie générale des fonctions analytiques de plusieurs variables indépendantes. Il faut mentionner en premier lieu le Mémoire Sur les résidus des intégrales doubles. Entre la théorie des fonctions d'une variable et celle des fonctions de plusieurs variables se montrent dès le début des différences profondes. L'extension des propositions de l'une des théories à l'autre n'avait pu se faire que dans un très petit nombre de cas. M. Poincaré a montré ce que deviennent les théorèmes fondamentaux de Gauchy, relatifs aux résidus, dans la théorie des intégrales multiples ; et il a appliqué les propositions ainsi généralisées à l'étude des modules de périodicité des intégrales multiples et des fonctions thêta abéliennes.

Dans cet ordre d'idées, il convient aussi de mettre à part les recherches sur VAnalysis situs des variétés à un nombre quelconque de dimensions. M. Poincaré est parvenu à ce résultat important qu'une telle variété ne peut être définie, dans le sens de VAnalysis situs., par la seule connaissance de ses nombres de Betti ; en réalité, à chaque système de tels nombres correspondent une infinité de variétés qui ne sont pas défor» niables les unes dans les autres. Signalons en particulier l'extension du théorème d'Euler sur les polyèdres aux polyèdres d'un nombre quelconque de dimensions et de la connexion la plus étendue...

Parmi les travaux que M. Poincaré a consacrés à la théorie des nombres, je signalerai d'abord son Mémoire Sur un mode nouveau de représentation géométrique des formes quadratiques définies ou indéfinies, oii il a développé une arithmélitjue des réseaux à l'aide de laquelle il a pu développer géométri({uement, sous une forme neuve et originale, la théorie que Gauss avait donnée pour la compasition des formes quadrati([ues. L'extension

des méthodes données dans ce premier travail l'a conduit plus tard à une intéressante généralisation de l'algorithme des fractions continues. A signaler aussi sont encore ses travaux sur les invariants arithmétiques, qu'il exprime à l'aide de séries et d'intégrales et qu'il a su appliquer à la solution des problèmes d'équivalence. Par la considération de ces groupes linéaires discontinus de substitutions qui laissent invariable une forme quadratique ternaire indéfinie, il a apporté une contribution nouvelle à la théorie des fonctions automorphes. Chacun de ces groupes est isomorphe à un groupe fuchsien spécial. Les fonctions dénommées arithmétiqnea fuch^itiines relatives à ce groupe se distinguent en ce qu'elles possèdent un théorème d'addition, ce qui n'a pas lieu pour les fonctions fuchsiennes les plus générales. Les relations multiples qui existent entre les fonctions arithmétiques fuchsiennes ont ouvert i» la théorie des nombres et ii l'Algèbre des perspectives nouvelles sur un champ encore inexploré. C'est encore à l'Algèbre et à la théorie des nombres qu'il faut rattacher les publications de M. Poincaré sur l'équivalence des lormes de degré supérieur, travaux qui doivent être regardés comme le prolongement le plus essentiel des recherches correspondantes d'Hermite et de M. Jordan.

B S M, 2« s., t. 30, 1- p., avr.igob, p. 105-lliî.

rj sffnol

E. L. — Htnri Poincaré.

OUVRAGES

1. Notice sur les Travaux scientifiques de M. HE>RI POINCARE.

Rédigée par lui-même à l'appui de sa candidaluro comme Membre de 1" Académie des Sciences, dans la Section de Géométrie. Paris, G. -^ .. in-i: 1884, 51 p.; 2« édit., 14 cet. 1886, 75 p.