IV. — - Calcul digital

Par exemple, quand nous voulons exprimer un , nous courbons le petit doigt de la main gauche en l'appliquant sur le milieu de la main.... (, >

V. — Delà multiplication. Diverses espèces de multiplication : simple , composée , continue ,

avec intermission.

Traitons maintenant de la multiplication et de la division; et d'abord de la multiplication.

La multiplication est simple ou composée. Elle est simple quand il y a un seul multiplicateur, quel que soit le uonibre des multiplicandes. Elle est composée quand il y a plusieurs multiplicateurs, lors même qu’il n’y a qu’un multiplicande.

La multiplication composée est continue ou avec intermission. Elle est continue, quand les multiplicateurs se suivent continûment dans leurs colonnes, comme sile premier est placé dans la colonne des unités, le deuxième dans la colonne des dizaines , le troisième dansla colonne des centaines , le quatrième dans la colonne des nulle, s’ils sont en tel nombre; ou bien si plusieurs multiplicateurs sont placés de telle manière qu’il n’y ait entre eux aucune colonne vide. La multiplication est avec intermission quand, les multiplicateurs étant placés, il se trouve une ou plusieurs colonnes vides entre eux.

Je passe ici , pour accourcir cette traduction qui sera encore bien longue , la description du calcul digital , qu‘on trouvera dans le texte latin.

Mais, comme la multiplication composée ne présente pas plus de difficulté que la multiplication simple, ou Lieu la multiplication avec intermission que la multiplication continue, revenons à la multiplication en général; et , pour montrer la diversité de ses règles, commençons par la colonne des unités, en posant quelques multiplicateurs et un nombre à multiplier.

VI. — Exemple de la multiplication : 4<6oo à multiplier par 23 (').

Posons trois dans la colonne des unités et deux dans celle des dizaines, comme multiplicateurs; six dans la colonne des centaines et quatre dans celle des mille, comme multiplicandes ; les multiplicateurs étant dans les places inférieures (c'est-à-dire dans 1a partie inférieure des colonnes) et les multiplicandes dans les places supérieures, on posera dans l'espace du milieu ce qui proviendra de la multiplication : les multiplicateurs et les multiplicandes étant donc placés, disons en commençant par les unités : trois fois six font XVIII ; voici la règle : quand un nombre de la colonne des unités multiplie un nombre d’une autre colonne quelconque, posez le digit dans celle-ci, et l’article dans la colonne suivante. Posons donc VIII, qui est le digit, dans la colonne des centaines , et X , qui est l'article , dans celle des mille , et posonsles dans l'espace du milieu. Et comme il n’y a aucun caractère pour ce sombre X, pour que vous n’ignoriez pas comment vous devez l’exprimer, posez le nombre qui, seul dans la colonne des dizaines, fait X; savoir, l’unité. Et vous ferez de même partout où il faudra poser un multiple de X. Et pour que vous sachiez comment on place les autres articles, posez toujours deux pour XX; trois pour XXX; quatre pour XL; cinq pour I,; six pour LX ; sept pour LXX, buit pour LXXX; neuf pour XG. Mais, pour nous renfermer dans notre sujet, revenons à la multiplication annoncée. Ces nombres VIII et dix étant ainsi posés, il reste à multiplier quatre qui est dans la colonne des mille par trois qui est dans la colonne des unités; ainsi, trois fois IIII, XII. La règle énoncée ci-dessus reste la même ; posons donc ces nombres dans l’espace du milieu, en observant cette règle, c’est-à-dire posons deux dans la colonne des mille et dix dans celle de dix-mille; il nous reste à multiplier les deux multiplicandes par deux : deux fois VI, XII. Voici la règle: quand un nombre de la colonne des dizaines multiplie un nombre d’une autre colonne quelconque, placez le digit dans la a' colonne à partir de celle-ci, et l'arti-

On trouvera à la fin de ce Traité les calculs figurés dans des tableaux à colonnes, des differentes opérations décrites daDS le texte. Voir, pour la multiplication actuelle , le tableau A.

cle dans la colonne suivante. Ayant donc posé les deux nombres selon cette î^le, il reste à multiplier quatre de la colonne des mille par deux de la colonne des dizaines. Deux fois quatre VIII, la règle est la même. Qu'on pose doue VIII dans la a' colonne à partir de celle des mille, et l’on n'aura plus rien à multiplier.

Mais il nous reste à purger les colonnes du grand nombre de caractères qui s’y trouvent, et à exprimer enfin le nombre qui provient de la multiplication.

VII. — Règle de l' addition; application aux produits partiels de la multiplication précédente.

On purge une colonne quand, au lieu de plusieurs caractères, on en met un seul qui exprime la somme des nombres que marquent ces caractères. On place un seul caractère pour plusieurs, tantôt dans la même colonne, tantôt dans une autre : dans la même colonne, quand la somme des caractères n’excède pas un digit; dans une autre colonne, quand cette somme produit un article seul, comme X ou XX, ou un autre quelconque; et alors cet article se place dans la colonne voisine. Mais si cette somme s'exprime par un digit et un article, le digit reste dans la même colonne, et l'article passe dans la suivante; de sorte qu'alors plusieurs caractères se remplacent par plusieurs. Nous devons toujours commencer cette opération, dans la multiplication comme dans la division, par les colonnes inférieures (de droite), en marchant vers les colonnes supérieures (de gauche).

En suivant cet ordre, purgeons les colonnes. Dans la colonne des centaines il n'y a rien à purger, puisqu’il ne s’y trouve qu’un caractère qui est huit; passons donc à la colonne des mille, 1 dans laquelle se trouve l’unité et deux fois le caractère, deux; à leur place posons cinq. Dans la colonne des dix-mille on tronve huit et deux unités: il en résulte un article, savoir, X; c’est pourquoi , après avoir enlevé huit et les deux unités, on transporte une unité dans la colonne suivante , d’après cette règle par laquelle nous avons dit qu’on doit transporter l’unité pour dix, deux pour XX, et pour les autres articles les mêmes caractères qu’on pose dans la multiplication pour exprimer les articles. Dans de telles purgations, pour nous exprimer d’une manière générale , toutes les fois qu’il faudra poser des articles, on suivra l’ordre que nous avons dit ci-dessus , savoir, pour X , on posera l'unité dans l'autre colonne; pour XX, denx, et ainsi des autres.

Après cette opération nous avons l'unité dans la colonne des dix-mille; cinq dans celle des mille; huit dans celle des centaines. On peut donc dire avec sûreté que si IIII mille six cents sont multipliés par XXIII, le produit est cent cinu mille huit ceuts.

VIII. — Règles pour la multiplication par un nombre de la colonne des centaines, ou des

mille, etc. — Règle générale.

Nous avons ci-dessus les règles de la multiplication par des unités et par des dizaines ; voici celle des centaines : quand des centaines multiplient un nombre d'une colonne quelconque, placez le digit dans la troisième colonne à partir de celle-là, et l’article dans la colonne ultérieure. Pour des mille, placez le digit dans la quatrième colonne; pour des dix-mille, dans la cinquième colonne; et, en un mot, autant la colonne qui multiplie est éloignée de celle des unités, autant le digit sera éloigné de la colonne du multiplicande; et l'article sera toujours placé dans la colonne ultérieure.

IX. — De la division. Deux méthodes: i° Sans différences ; 2 ° Avec différences . — Règle de la

division sans différences.

Jusqu'ici il a été question de la multiplication: parlons maintenant de la division.

La division se fait sans différences ou avec différences. La division sans différences est celle où l’on ne pose aucune différence au-dessus des diviseurs. La division avec différences est celle où l’on pose des différences sur les diviseurs: une sur un, et plusieurs sur plusieurs, comme nous le dirons dans la suite.

Parlons d'abord de la division sans différences. Elle est simple ou composée. Simple , quand il n'y a qu'un diviseur, soit qu'il y ait un seul ou plusieurs dividendes. Ou donne aussi pour cette operation beaucoup de règles diverses, comme nous le dirons plus loin. Posons auparavant une règle générale pour tous les diviseurs : à quelque colonne qu’appartienne le diviseur, ’ s’il est plus petit que le dividende, ou s’il lui est égal, il se place au-dessus de lui; sinon, à un rang après lui. Cette règle doit être observée dans toutes les divisions. Maintenant parlons des règles différentes; mais auparavant faisons une division simple.

X. — j Exemple de la division simple sans différence. Diviser 3o par 2 ('K — Règle de la

soustraction.

Plaçons donc le diviseur deux dans la colonne des unités , et le dividende trois dans celle des dizaines. Cela fait, d'après la règle ci-dessus, placez le diviseur sur le dividende, savoir : deux sur trois, et dites : combien de fois

<■) Voir le tableau B.

deux est-il dans trois? Une fois, et il reste un. Une fois forme la dénomination, et, pour eette dénomination, placez une unité dans la partie inférieure de l'Abacus, sous ce diviseur lui-même, suivant la règle qui dit : quand le diviseur appartient à la colonne des unités , dans quelque colonne qu’on l'aura transporté, on placera sous lui, dans cette colonne, la dénomination. Quant à I unité qui forme le reste, on la place sous ce même diviseur, au milieu du champ de l’Abacus, d’après cette règle : si d’un digit il reste un digit, il ne change pas de colonne, il conserve la même ; si d’un article il reste un article, il ne change pas de colonne; si d’un article II reste un digit et un article, l’article ne change pas de colonne, le digit en change. Mais jamais il n’arrivera dans la division simple, que d’un article il reste un article et un digit (,) ; cela ne peut avoir lieu que daus la division composée.

La dénomination étant posée dans la partie inférieure, et l'unité restante, daus la partie du milieu, comme il a été dit, on doit maintenant placer le diviseur, c’est-à-dire deux, parce qu’il est plus grand que le dividende, dans la colonne antérieure. Cela fait, on demande derechef combien de fois le diviseur, c’est-à-dire deuj t, est compris dans le tjmdende, c'est-à-dire daus dix ; et on répond : cinq fois, sans reste. Qu'on place cinq comme dénomination, d’après la règle ci-dessus énoncée; et alors nous avons pour dénominations l’unité dans la colonne des dizaines et cinq dans celle des unités; et il ne reste rien à diviser, Nons pouvons donc dire que, si on divise XXX par deux , chaque part sera quinze, et il ne restera rien. Ce résultat peut se prouver par la multiplication.

XI. — Règle générale pour te pincement de la dénomination , nu quotient, dans la division

, * > simple.

Jusqu’ici il a été question de la division simple; et comme la itègle pour le placement de la dénohiinatiou dans le cas d un diviseur de l’crdre des unités est claire, disons quelques mots des autres règles relatives aux autres diviseurs. Pour un diviseur de l'ordre des dizaines, en quelque lieu qu’on l’ait transporté , on place la dénomination à un rang après lui; pour un diviseur de l'ordre des centaines, on la recule de deux rangs; pour un diviseur de l’ordre des mille, de trois rangs; et pour nous exprimer plus clairement : à quelque rang que se trouve un diviseur au delà de la colonne des unités, on

t't Dans chaque operation partielle de la division simple, on divise un nombre d'un seul chiffre , digit ou article , par un simple digit ; conséquemment te reste ne peut être qu'un

( ri )

place la dénomination à un pareil rang apres lui , en quelque lieu qu on l'ait transporté.

XII. — De la division composée , continue ou avec intermission.

(à ia étani dit, il nous reste à parler de la division composée.

I,a division est composée quand il y a plusieurs diviseurs, quel que soit le nombre des dividendes. Si le plus grand diviseur est moindre (que le plus grand dividende) ou s’il lui esterai, on le placera dessus. S'il est plus grand . ou le placera à un rang inférieur, comme il a été dit précédemment. On fera cette question : combien de fois le diviseur est-il contenu dans le dividende ? et, après avoir placé la dénomination, suivant la règle dite ci-dessus pour le placement des dénominations, on retranchera des dividendes les diviseurs inférieurs multipliés par la dénomination ; on placera les restes comme nous l'avons dit, au sujet de la règle des digits et des articles. Car, dans cette division, il y a souvent des digits et des articles; on les place toujours dan- la partie du milieu , comme étant des dividendes. Ou suivra celte maitche jusqu’à ce que les diviseurs soient revenus à leur propre place. Cela ayant lieu, si le nombre à diviser est plus grand que les diviseurs , ou leur est égal , ou continuera de diviser jusqu'à ce que les diviseurs soient plus grands que les dividendes.

Après celte courte «position, il faut ajouter que la division composée est continue ou avec intermission. Elle est continue quand les diviseurs se succèdent continûment , de quelque manière que soient placés les divi- • dendes. La division est avec intermission quand les diviseurs sont placés avec intermission d une ou de plusieurs colonnes, .quelles que soient celles *, .les dividendes."

XIII. — Exemple de la divisiop composée , avec intermission. Diviser 100O00 par 20 o ?3 O,

Pour que ce que nous disons devienne plus clair, posons une division * avec intermission. Posons pour diviseurs trois dans la colonne des unités, ’ deux dans celle des dizaines, un. autre deux dans celle des dix-mille, en laissant deux colonnes vides, savoir, celle des centaines et celle des mille. , I .es diviseurs étant ainsi placés, posons limité , qui est le dividende, dans la colonne des cent-mille, de sorte qu'on a à diviser cent mille par XX mille XX trois. Maintenant , comme deux est plus grand que l imité, ou le place à

t'oir lo t.il>li-nii t:.

un rang inférieur, suivant la règle dite ci-dessus. Il reste à voir combien do fois deux est contenu dans X. Nous pourrions dire cinq fois; mais comme il ne resterait pas de quoi prendre par les diviseurs inférieurs, nous dirons quatre fois , et il reste II. Et comme ces deux restent d’un article , et qu'ils sont nndigit, nous les déplacerons, et nous poserons la dénomination au cinquième rang (à partir du diviseur), ainsi que le prescrit la règle. Cela étant fait, disons : quatre fois deux font VIII f "; nous pourrions aussitôt enlever cos VIII des XX mille; car une colonne quelconque supérieure de quatre rangs à une autre, exprime des mille par rapport à celle-ci, et en posant les restes, nous continuerions bien la division jusqu'à la tin. Mais opérons plus brièvement : posons un neuf dans chaque colonne vide, et Otant une unité do ce deux qui forme le reste ci-dessus, posons-la sur le dernier neuf 3I . Et alors ôtons de dix ce VIII, qui provient de la multiplication de deux * par la dénomination, il restera II : on les placera dans la colonne voisine, et on enlèvera l’unité placée sur le dernier neuf. Maintenant il nous reste à multiplier trois par la dénomination , c'est-à-dire par 1111. Quatre lois trois, XII. Il faut ôter Ces \ XII de XX , car XX est le nombre le plus voisin , et on sait qu'il taut ôter un » nombre de celui (pii lut est le plus voisin, on bien de celui qui est posé dessus, si celui-ci est plus grand. Disons donc : si l'on ôte XII de XX , combien restera-t-il ? VIII , et on les déplace. Alors la division est faite plus brièvement au moyen des neuf posés dans les colonnes vides , et* de l'unité placée sur le dernier neuf. Et aussi souvent qu.il y aura lieu, opérez delà manière suivante : enlevez une unité du nombre duquel il laut soustraire le diviseur inférieur quel que Soit ce nombre; loi* même qu’il se réduit à une seule unité, enlevez-la ; et , apres avoir placé des neuf dans les colonnes vides , pla-

cez cette unité sur le dernier Et souvenez-vous qu

dans cette division

o II s’agit du deux qui exprime des dizaine?, dans le diviseur 20 023 . L’auteur rom meure in la multiplication par la gaucher , m

0 > L’auteur veut retrancher de 20000 le produit de a 3 , diviseurs inférieurs, parle quo-

tient 4 - Il dit d’ècrirc 20 ooo de ceUe manière 19900.

< >J 11 s’agit toujours du 2 qui exprime des dizaines dans le diviseur 2002.3. to L’auteur veut dire Ir produit du dmtettr inférieur par la dénomination. Par diviseur. inférieur, il entend ici le diviseur qui vient immédiatement après les culonnes vides. Ainsi, dans le nombre 20 023 dont il s'agit , 20 est le diviseur inférieur dont parle l’auteur.

<*> C’est la règle générale pour soustraire d'un nombre exprimé par un caractère suivi de plusieurs colonnes vides, un autre nombre : on diminue le premier nombre d'une unité de son ordre, et l'on remplit les colonnes vides jusqu'au nombre à soustraire, par des nruf, en

comme dans toutes les autres, il faut soustraire le nombre à soustraire, du nombre supérieur qui eu est le plus voisin. Nous avons quatre pour dénomination, et il reste X et IX mille ueuf cent huit à diviser. Cette somme est plus petite que les diviseurs : ou voit donc combien de C mille poires, à partager entre XX mille XXI11 soldats, il en reviendra à chacun; ce nombre sera IIII avec le reste marqué ci-dessus. Et l'on pourra prouver par la multiplication qu'il en est ainsi.

Après cela , il nous reste à parler de la division avec différences.

XIV. — De la division par les différences. Règle générale de la division simple.

I.a division avec differentes est simple ou composée : simple quand il \ a un seul diviseur; composée quand il y a plusieurs diviseurs, soit qu'il n'y ait qu'un dividende ou qu'il y eu ait plusieurs.

En division simple se fait de cette manière : Un nombre quelconque est . • placé comme diviseur dans une colonne quelconque; au-dessus de ce divi-

• • seur, on place une différence telle que la somme du diviseur et de cette dif-

j , férence soit égale à dix. On pose un nombre quelconque pour dividende. I.e diviseur ne prend pas une partie du dividende pour former la dénomination , ' . mais il le prend tout entier comme dénomination, et I on multiplie la différence par cette dénomination même. Les nombres provenant de là sont placés comme le prescrit la règle de la multiplication ; et chaque fois qu il en résulte Du article, cet article retourne à la première dénomination, et il sert de nouveau multiplicateur. Et chaque fois que de la multiplication il résulte un digil , ce digit est placé dans la colonne intérieure d'un rang à la dénomination.

Il faut observer que dans ces sortes de divisions, je veux dire dans les divisions avec différences,' les diviseurs sont loujours des digits, et les dividendes des articles " ; et quand les dividendes sont ramenés sous les diviseurs, la division change de mode: de Jer elle devient d’or, c'est-à-dire qu'on

écrivant au-dessus du dernier une unité. Ainsi dans l'operation dont il s’agit, on a à sous-

IOO

Irâire Ho de ?o ooo; on écrit ce dernier nombre de celte manière 19900, savoir: 19000, 1)00 et 100; et on soustrait Ho de la centaine,

'' Ici l'auteur veut simplement opposer le mot article au mot digit, et exprimer par la que le dividende doit toujours être un article par rapport au diviseur considéré comme un digit , c'est-à-dire que le dividende est toujours d'un ordre plus élevé que le diviseur. Car celui-ci n’est pas nèressai renient un simple digit , il peut être un article d’un ordre quelconque.

passe de la division par les différences à la division sans différences

XV. — Exemple de la division simple par les différences. Diviser qoo par S (*).

Donnons un exemple de la division simple parles différences.

Posons VIII pour diviseur dans la colonne des unités, et au-dessus de lui sa différence à X , c'est-à-dire deux. Posons neuf pour dividende dans la colonne des centaines; et alors il faut dire : Si un diviseur simple, avec sa différence, est dans la colonne des unités, on descendra d’un rang la dénomination prise intégralement. Telle est la première règle. Prenez la dénomination, c’est-à-dire le dividende lui-même tout entier; mais pour «pie dans la suite vous n’ignoriez pas les autres règles, sachez que, de même que quand ledivi seur est dans la première colonne, on descend la dénomination d'un rang, pareillement quand le diviseur est dans la deuxième colonne, on la descend de deux rangs; dans la troisième colonne, de trois rangs, etc. D'après celte règle, prenez la dénomination, c’est-à-dire le dividende tout entier pour dénomination, et posez-la dans la deuxième colonne (w , c’est-à-dire, posez neuf dans la colonne des dizaines, dans la partie inférieure.’ Multipliez la différence par la dénomination, et dites cette règle ; Quand le multiplicateur est un nombre des dizaines, on pose le digit dans la deuxième colonne à partir du multiplicande, et l'article à un rang au delà. Posez doue VIII dans la colonne des dizaines et l'unité dans celle des centaines, et vous aurez ainsi le produit de la multiplication , savoir, un digit et un article. Reportez l’article sur la première dénomination, suivant la règle qui dit : S’il provient un article, il retourné à la dénomination. Multiplie*)» différence, c’est-à-dire deux, par cet article, c'est-à-dire l’unité: une fois deux fait II. Maintenant dites la règle du multiplicateur de l'ordre des dizaines„el posez le produit, savoir, deux dans la colonne des dizaiues. Ou a ainsi dans la colonne des dizaines. VIII et II. qui font X. Après avoir enlevé VIII I , on place une unité dans la colonne des centaines, puis on la reporte au-dessus des autres dénominations, d'après la règle de

f** Plusieurs auteurs appellent la division sans différences règfe d’or, divisin aurea, et la division par les différences, règle de fer, divisin ferrva. ïtcrnelinus, qui ne se sert pas dnars expressions, appelle la première méthode domina, et la seconde famuln. Adélard avait imaginé un troisième procédé mixte, qu’il appelle règle d’or et de fer.

• ** Voir le tableau D.

Dans la deuxième colonne à partir do dividende , c’est-à-dire à un rang après le dividende, vers la droite ; dans la colonne des dizaines, puisque le dividende est dans la colonne des centaines.

l’article. On multiplie la différence, c'est-à-dire deux , par celte unité : line fois deux fait II. D’après la règle pour un multiplicateur de l’ordre des dizaines, il faut placer ce produit deux dans la colonne des dizaines; et comme c’est un digit, ou le posera comme dénomination à un rang après les dénominations déjà calculées. Maintenant il faut dire :Deux fois II, quatre; et suivant la règle d'un multiplicateur de la colonne des unités, on pose cc II II lui- . même dans la colonne des unités , et après qu'on a enlevé la différence qui gouvernait ce diviseur VIII, il est manifeste que le diviseur, qui est plus grand, ne peut rien prendre dans quatre en nombres entiers. La division est donc terminée. Il faut actuellement, suivant la règle de purgation, reporter dans la eoloune des centaines une des unités qui sont dans la colonne des dizaines, en y en laissant une et en enlevant IX |,) . On a de la sorte deux unités, l’une dans la colonne des centaines, l’autre dans la colonne des dizaines , et le digit deux dans la colonne des unités. Et l’on voit clairement que neuf cents poires devant être partagées entre Luit militaires, chacun eu aura cent douze , et il en restera quatre en commun. On pourra vérifier par la multiplication si cela est exact. .Et il faut observer que cette multiplication ne se fait pas eu multipliant la différence . mais le nombre qui était placé sous la différence, c’est-à-dire VIII. Et ainsi des autres.

j t ar

XVI. — De la division composée, par les différences, continue ou avec intermission. —

Exemple de la division continue : diviser ^800 par 166

Il nous reste à parler de la division compos èc, par les différences.

La division composée est continue on avec intcmiission : continue, quand les diviseurs se suivent continûment; avec intermission, quand une colonne, ou deux, ou plusieurs, restent vides entre les diviseurs, dans quelque ordre que soient les dividendes. Pour que cela soit plus clair, donnons un exemple de division continue, et ensuite de division avec intermission.

Soient posés les diviseurs suivants: VI dans la colonne des unités, VI encore dans la colonne des dizaines, et l'unité dans celle des centaines ( a ) <**.

La règle pour poser les différences au-dessus des diviseurs est ainsi: audessus du dernier diviseur, on pose la différence entière, savoir, quatre au-

t'I On a trouvé pour dénominations, 9, 1 et 1 dans la colonne des dizaines et 2 dans (-.-lie des unités. C’est la somme de res nombres que l'auteur fait. t*l f'cir le tableau E.

(*> J’indique par les lettres a , 6 , c,.. ., les parties ou les langées du tabltau E qui présente l’ensemble des détails de l'opération.

dessus de six; sur le diviseur du milieu, on pose la différence entière moins un , savoir, trois au-dessus de six (b) ; et quel que soit le nombre des diviseurs intermédiaires, toujours on placera au-dessus d'eux les différences entières moins un ; mais le plus grand diviseur n'a jamais de différence.

Maintenant posons pour dividendes VIII dans la colonne des centaines, VII dans celle des mille (c) : cela étant fait, la nature de la division exige que le plus grand diviseur, qui est l'unité, prenne la moitié du dividende, c’est-à-dire de VII , et que l'unité qui restera après qu on aura pris la nioitié dc VII, c'est-à-dire trois, demeure dans la même coloune, et qu'on place la partie prise, c’est-à-dire III, dans la partie inférieure de la colonne des dizaines , suivant la règle que voici ; un diviseur conquise, placé au troisième rang avec sa différence, enverra au troisième rang à partir du dividende, la partie prise comme dénomination, si cette partie est prise comme d'un digit, et au quatrième rang , si elle est prise comme d'un article. Et pour que vous n'hésili^ point sur la manière de poser les dénominations, sachez que. de même que le diviseur placé au troisième rang envoie la dénomination au troisième rang, pareillement, placé au deuxième rang, "il l'envoie au deuxième rang; placé au quatrième rang, il fenvoie au quatrième rang, et aiusi de suite ; la partie, quand elle est prise dans un article, étant toujours descendue d'un rang. * * * , ' *

Pour que, vous compreniez quelle partie du dividende le plus grand diviseur doit prendre, sachez que si le plus grand diviseur est l’imité, il prend la moitié; s'il est deux, il prend le tiers; trois, le quart; quatre, le cinquième; de sorte que, la dénomination du diviseur 11 croissant, la partie prise diminue toujours. D'où il résulte que, si le diviseur est limité, il prend la moitié; s’il est deux, le tiers; et ainsi de suite. Nous dirons plus loin pourquoi, dans la division simple par la différence, on prend le plus grand dividende entier pour former la dénomination. Faisons d’abord la division annoncée.

Des nombres convenus étaul posés, disons: Quelle est la moitié de sept? III, et il reste I. Cela dit , posons cette moitié, c’est-à-dire III, dans la partie inférieure de la colonne des dizaines (d j, eu laissaut une unité pour dividende dans celle des mille (e); et alors il faut multiplier par cette partie, c’est-à-dire par trois, les différences des diviseurs : trois fois IlII, XII; et.

CO Ici dénomination du diviseur veut dire la valeur absolue du digit qui exprime le diviseur. Ainsi , quand le diviseur est 3uo, 3 est sa dénomination ; s'il est 4 ooo , q est sa dénomination. m •

d'après la règle de la multiplication par des dizaines, on pose deux dans la colonne des dizaines , et l'unité dans celle des centaines (J ) ; et ensuite nous disons: Trois fois trois, IX, que nous posons dans la colonne des centaines (g), suivant la règle. Nous avons donc deux dans la colonne des dizaines, neuf et huit et limité dans celle des centaines, et l'unité dans celle des mille. Maintenant enlevons le neuf, laissons le huit, et transportons l'unité dans la colonne des mille (A); et alors on dit : Quelle est la moitié de deux ? L'unité. Après avoir posé cette unité sur la partie précédente (i), c'est à-dire sur trois, et avoir enlevé l'autre unité de la colounc des mille multiplions les différences du diviseur par l'unité placée sur le trois. Cela fait, et les produits étant posés suivant la réglé de la multiplication (y ), vous avez 1 II I et II dans la colonne des dizaines, VIII et 111 dans celle des centaines. Purgeant les colonnes, on a VI dans la colonne des dizaines, l'unité dans celle des centaines, et l’unité dans celle des mille (À). Maintenant, comme on ne peut pas prendre la moitié de l'unité en nombres entie^j, et qu'il n'y a point d'autre digit exprimé par l’unité, nous devons prendre la moitié de X. Et notez que chaque fois que vous pourrez prendre la partie clierchée.en considérant le dividende. comme un digit, jamais vous ne la prendrez en le considérant comme un article. Mais, si vous ne pouvez la prendre d’un digit, prenez - la d’un article •**. Quand on prend la partie daus un article, on la place à un rang après celui qu'elle aurait si on l’eût prise dans un digit, suivant la règle donnée précédemment. Disons donc : Quelle est la moitié de dix ? V. Ayant donc posé cinq dans la colonne des unités (I), suivant la règle, multipliez les différences des diviseurs par V. Cela fait (m et n), et les colonnes étant purgées, il reste deux trois, l'un dans la colounc des dizaines et l’autre dans celle des centaines (o); et alors nous dirons : Quelle est la moitié de III? L'unité, et fl reste un. Retenant une seule unité dans la colonne des centaines (/>), on en pose une autre au-dessus du cinq (ÿ), suivant la règle précédente, on multiplie par cette unité les différences des diviseurs, et on pose les sommes du produit au milieu du tableau (r); on purge les colonnes, et alors il reste quatre daus la coloDue des unités, six dans celle des dizaines, l'unité dans celle des centaines (r), et l’on n’a plus

On a deux unités pour dividende dans la eolonne des mille; on divise par a; la dénomination ou quotient est i , sans reste. L’auteur exprime cette opération , en disant ; on prend l’une des deux unités pour la dénomination, et on supprime l’autre.

Je passe ici une phrase sur laquelle je reviendrai plus tard.

de division à faire ; ce qu'oil voit en enlevant les différences des diviseurs. Donc de VII mille huit cents poires à partager entre CI, XVI soldats, XI, VI reviennent à chacun (t), et il reste CLXIHI en commun (s), ce qui peut se prouver par la multiplication.

C’est ainsi que se fait la division continue par les différences.

XVII. — Exemple de la division avec intermission |»ar les différences. Diviser H ooo

par 606 O.

Parlons maintenant de la division avec intermissiou par les différences, et posons cet exemple : Plaçons pour diviseurs deux six, l’un dans la colonne des unités , et l’autre dans celle des centaines (a) ; sur l’inférieur, posons la différence entière (b); sur le plus grand, aucune différence : et soit placé huit pour dividende (c) (,) , et disons : quelle est la septième partie de huit? 1,'ttnité, et l’on pose l’unité dans la colonne des dizaines comme dénomination^/); l’unité restante n’est pas déplacée; elle demeure dans la même colonne (e), suivant la règle qui dit : ce qui reste d’un digit demeure , mais ce qui reste d’un article change de colonne, à moins que ce ne soit un article, parce qu’alors l'article demeure. Cela fait, il faut multiplier la différence par cette partie , c'est-à-dire par l'unité : une fois quatre fait quatre. Et après avoir posé ce digit , c’est-à-dire UH, dans la colonne des dizaines suivant la règle de la multiplication, il nous reste à placer dans la partie supérieure de la colonne des dizaines, neuf, comme multiplicande ( g ), et à dire ; une fois IX, neuf : et, posant IX dans la colonne des centaines [h), suivant la règle, nous avons III I dans la colonne des dizaines, IX dans celle des centaines , et l’unité dans celle des mille , au milieu du tableau (t ). Et il faut remarquer que . de même que ce neuf est placé comme multiplicande dans la colonne des dizaines, pareillement on placerait plusieurs neuf comme multiplicandes , s’il y avait plusieurs colonnes vides. On enlève toujours ces neuf avec les différences; cela distingue la division continue de la division avec intermission. Maintenant , comme limité n a pas de septième partie , on cherchera la septième partie de dix ; et on répondra, l’unité : et ou la placera à un rang inférieur, comme si on l’avait prise d’un digit (y) , et trois qui reste de X sera transporté (A) , suivant la règle. Et maintenant on multipliera la différence et neuf par la partie placée , c'est-à-dire par l'unité. Plaçant les nom-

Ci Pair le tableau F.

L'auteur, ou du moins le texte, ne dit pas dans quelle colonne on doit placer ce dm dende; mais la suite de l’opération fait voir que c’est dans la colonne des mille.

bres du produit dans In partie libre de l'Abacus(f), suivant la règle, nous avons üll dans la colonne des unités, IX et llll dans celle des dizaines, neuf et trois dans celle des mille. Purgeant les colonnes, on a quatre dans la colonne des uuités, trois dans celle des dizaiucs , un autre trois dans celle des centaines , et l’unité dans celle des mille (m). Et alors on demandera quelle est la septième partie de dix, on répondra l'unité (n) , et il reste III (o). Ayant placé l'unité et transporté trois, et multiplié la différence et neuf par l’unité ( p ) et purgé les colonnes, nous avons VIII daus la colonne des unités , deux dans celle des dizaines , sept dans celle des centaines (q). Enlevant la différence et le neuf qui n’a été pisé dans la colonne des dizaines que pour la multiplication, nous arrivons à la division d’or; car la somme à diviser est plus grande qqe les diviseurs. La suite est assez claire.

XVIII. — Remarque sur la division par un nombre qui contient des neuf, tel que 1994*

Il faut observer que si vous avez posé dans la colonne inférieure un nombre avec sa différence entière, et dans la colonne des mille l’unité, et dans les colonnes intermédiaires des neuf; si, dis-je, vous avez posé ces nombres comme diviseurs, vous diviserez, par la méthode précédente , tel nombre que vous voudrez, si ce n’est que pour reformer un dividende, jamais vous ne multiplierez les neuf placés l’un dans la colonne des dizaiucs, l’autre dans celle des centaines. C’est là la seule différence.

XIX. — Pourquoi dans ta division simple on prend le dividende entier , et dans la division composée urte partie du dividende.

Il nous reste à dire pourquoi dans la division simple, par la différence, on prend le tout pour dénomination; et ensuite pourquoi dans la division composée, par la différence, l’unité prend la moitié, deux le tiers, trois le cpart et ainsi de suite.

Dans la division simple, par la différence, le diviseur avec la différence fait X ; et dans la division sans différence, jamais on ne pose X comme diviseur; mais chaque fois que dans quelque culuunc les caractères font X, on en retranche neuf, et on transporte l’unité; et de meme que, suivant la loi de cette division par la différence , on prend une fois le plus graud dividende entier pour former la dénomination, semblablement ou prend le meme dividende ou entier, ou par partie, d’après la règle de la division sans différence , pour former la dénomination, ce qui sera assez clair pour un calculateur intelligent.

Mais dans la division composée, par la différence, comme on pose le

diviseur inférieur avec sa différence entière , et que les diviseurs du milieu ont leurs différences entières moins un , et que le plus grand n'en a aucune , l'unité passe du diviseur inférieur au supérieur, au moyen des diviseurs intermédiaires, non effectivement, mais parla pensée. C’est pourquoi si cette unité jointe au plus grand diviseur devient la moitié de cette somme, ou cherche quelle est la moitié du dividende , et la dénomination se place comme il a été dit ; si l'unité transportée devient le tiers de la somme , on cherche quel est le tiers du dividende; si elle. est le quart, on cherche quel est le quart ; si elle est le cinquième , on prend le cinquième ; et ainsi de suite.

Comme je crois que ce qui a été dit de la division en nombres entiers suffit , maintenant parlons des divisions par les fractions. Fin des réglés de l Abacus tl ’.