TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE
l'équation (4)«
( corde 2C")a corde2 (i8o°— 2A') corde1 2C ,
■ ■ S ïït •
f corde ( 1 8o°— 2C")]1 corde1 1 8o° corde1 ( 1 8o° — 2C ) » corde2 2C"
corde2 180° — corde1 2C"
d'où
corde1 2C" = m* corde2 1800 — m* corde1 2C", ( 1 m1) corde1 2G == m1 corde1 1800
et corde1 2C"
m1 corde2 1 8o° 1 + /n1
ce qui est pre'cise'ment ce que nous avons fait ; mais pour cela , il fallaiE meltre le théorème en équation, et dégager l'inconnue , qui, par hasard , est au second degré sans aucun terme du premier. Or c'est ce que les Grecs n'ont jamais pratiqué : je n'en connais du moins aucun exemple.
Il nous reste à trouver le troisième angle , ce qui se fera par la formule (1) qui renversée, donne
, . / corde 1 8o° corde 2C
corde 2 A = 3 — ^ ,
corde 2L *
, . . „ corde 1 8o° corde 2C" ou corde 2 A = f — ^ ,
corde 2C
, , corde 1800 corde 2 côté opposé à l'angle cherché
ou corde a angle = corde 2 hypoténuse
corde 1800 corde 2. Ascension droite corde 2. Longitude, corde 2C" ci-dessus ... 3 . 784498g C. corde 2C'. . . 6.2o5i362
ou
sinA" = 7,7-3,1' 55"... 9.9896351 corde 1800 3.8573325
corde 2 A" =117' io",2 3.8469676
11 70 10' 12" = corde i55° 3' 52" = 2 A",
Ainsi le triangle est tout entier résolu , nos quatre formules calculées et trouvées identiques aux formules modernes ; nous pourrons donc, dans des cas pareils , substituer nos formules à celles de Ptolémée , pour abréger les opérations et les dégager de leurs superfluités , ce qui sera les réduire à. leurs moindres termes , sans altérer le fond des méthodes.
Supposons maintenant que Ton connaisse l'obliquité et la déclinaison c'est ce qui arrivait quand on avait observé la hauteur méridienne du Soleil. Dans ce cas la formule première donnait , par un simple renversement ,
corde 1800 corde zC
corde 2C =
corde 2A' ' corde 1800 corde 2 déclinaison
ou corde longitude = -
o corde 2 obliquité
La seconde formule donnait
1/0 „ /~.f/\ corde 1800 corde ( 1800 — 2C) corde (iSo'-aC) = ^^=ic7) '
j V a „ , . corde 1800 corde (1800 — 2 longir.) corde ( 180°- sasc.dr.) = EoTdeTTSo" - 2 déclin.) '
Le troisième angle se trouvait comme dans le premier cas.
Supposons qu'on eût observé l'ascension droite , la formule ( 4 ) donnait
corde 2C corde 1 8o° corde 2C"
corde ( 1800 — 2C) corde (1800— aC")
on aurait élevé au carré et dégagé l'inconnue comme nous avons fait ci-dessus pour l'ascension droite ; puis la formule (3) donnait la déclinaison par le même procédé : on avait ensuite le troisième angle comme dans les deux cas précédens.
Si l'on avait obéervé l'ascension droite et la déclinaison , on en concluait directement la longitude par la formule (2), l'obliquité par la formule (1), et le troisième angle comme dans les trois cas précédens.
On ne pouvait jamais observer l'autre angle ; mais supposé qu'on le connût avec l'obliquité, ou en général que l'on connût les deux angles obliques d'un triangle rectangle, les Grecs auraient été fort embarrassés, puisqu'ils n'avaient aucune des deux formules
. cos C = cot A' cot A" ou = cos C",
sin A *
qui pour C devient
COS À' g^t
