i3. 20. iq

Tables écliptiques.

Catalogue de 55 étoiles.

Table géographique.

Apparitions et disparitions des planètes.

Tables d’accès et de recès.

Traité du quadrant commun. Nous le retrouverons dans Sacrobosco , qui l’avait emprunté des Arabes. Le reste du volume contient divers traités d’Astrologie, et l’astrolabe de Messalah. Onn’y voit rien sur la saphéej ou astrolabe universel d’Arzachel.

Le discours préliminaire , composé par Arzacliel , est fort succinct , et ne contient que des notions très superficielles. Ce que j’y vois de remarquable est son précepte pour trouver l’heure par la hauteur du Soleil; comme le passage est assez obscur, en voici la copie exacte.

ùi autern volueris scire horas diei transactas per altitudinem Sohs ac -

ceptam, ipsius attitudinis inverties sinum 3 quem multiplicabis in i5o ët summam inde provenientem di vides per sinum altitudinis mediœ ejusdem diei et qui inde proveniet sinus ( per hune ) inventes circuit portionem , quam si diviseris per i5 , habebis quot horce œquales transierint de die , si Juerit observatio tua ante meridiem. Si vero post meridiem, tôt horce œquales restant ad peiftciendum diem; adime eas de lions œqualibus ejusdem diei integri et remanebunt horœ œquales de die transactœ .

Vous multiplierez par i5o le sinus de la hauteur observée, et vous le diviserez par le sinua do la hauteur moyenne, ce qui revient à cette analogie ,

sin hauteur moy. : sin hauteur observée :: le rayon : sin x ,

. i5o sin haut, observée

Sin X = r— T — - .

sin haut, moyenne

Dans la phrase suivante, il paraît manquer quelques mots , dans l’un comme dans l’autre manuscrit ; je les ai remplacés par les mots {per hune). Ce sinus vous fera trouver l’arc du parallèle que le Soleil aura décrit depuis son lever; vous le diviserez par i5, et vous aurez les heures écoulées. I/auteur ne définit pas ce qu’il entend par hauteur moyenne. Je suppose que c’est la hauteur de l'équateur qui est en effet la moyenne entre les hauteurs méridiennes du Soleil. Mais, en ce cas, il ne fallait pas dire hauteur moyenne de ce jour, mais moyenne de ce lieu. Ensuite le quatrième terme de la proportion n’est pas véritablement un sinus , mais la somme de deux sinus inégaux, celui de l’arc parcouru depuis six heures, plus ou moins le sinus de l’arc parcouru entre six heures et le lever. Avec ces attentions, on rendrait le précepte exact. En effet, soit MD/n le parallèle du Soleil, SA le sinus de la hauteur observée ;

SA SA sin hauteur observée

(fig. 46) SB=

“ cos ASB sin ABS sin haut, de l’équat. *

«ur Mm comme diamètre, décrivez le demi-cercle MPRm, qui représentera le parallèle du Soleil ; par les points S et B élevez les perpendiculaires SP, BR, l’arc PR sera l’arc parcouru depuis le lever, et cet arc divisé par i5, donnera les heures écoulées depuis 4e lever. L’arc TR donnera les heures écoulées depuis le lever jusqu’à 6h du malin, et l’arc TP les heures écoulées depuis 6\ Le procédé ne peut donc être juste que s’il est graphique; car le calcul ne donne pas l’inégalité des deux sinus SD et DB, à moins qu’on ne connaisse l’arc semi- diurne du jour; la différence à 6h donnerait TR et DB; on aurait donc SB.

GÉBER. , x79

De la formule moderne

sin h = cos P cos H cos D sin H sin D ,

on tire

si n/z=cosHcosD-{-si uHsinD — 2sin* 7 PcosHcosD=cos(H — >D) — 2sin*7 P , et

^ cos (H — D) — sinh sin MO — sin h sin M — sin h

sin V. P= cos H cos 15 cos HcosD cosHcosD-

— asinHM- h) cos^M-fj) M§ cos p

cos H cos D

et

t» ta sin M — sin h -» TC

sin v. P cos D = - n — = MS ;

cos II

il est évident que le précepte ainsi entendu donne SB, que SB donne PR et les heures depuis le lever, ou les heures jusqu’au coucher.

A l’usage que fait l’auteur de sa Table des ombres, on voit qu’il ne sent pas les avantages de cette Table. Pour trouver la hauteur du Soleil par la longueur de l’ombre, il fait une somme des carrés de l’ombre et du gnomon; la racine de la somme est une hypoténuse quil appelle podisme ; la hauteur du gnomon, divisée par ce podisme , lui donne le sinus de la hauteur. Il suffisait de diviser la hauteur du gnomon par la longueur de l'ombre, pour avoir la tangente de la hauteur. Sa Table des ombres lui donnait directement la solution de son problème.

Gebrifdii Affla Hispalensis , de Astronomiâ libri IX , in quitus Ploie mœum , alioqui doctissimum emendavit , alicubi industriel superavit. Omnibus Astvonomias studiosis hund dubie utilissimi Juturi. Per magistrum Girardum Cremonensem , in latinum versi. Nonmbcrgœ, i533 et i534, industriâ P. Apiani. Norimbergæ , 1 554- (Lalande dit 1 533. )

On ne sait rien de cet astronome arabe, sinon qu’il vécut après Arzachel , qu’il cite dans son livre. U nous dit dans sa préface que la lecture de Ptolémée est difficile, par la prolixité des détails dans lesquels il est entré, et parce qu’il emploie dans ses démonstrations un secteur ( il nomme ainsi la figure où deux arcs viennent se croiser dans l’angle formé par deux arcs de grands cercles , et qui sert de base à toute la trigonométrie); enfin il suppose des théorèmes de Théodose et de Mileus ( Ménélaüs ) , auteurs fort difficiles à entendre , et c’est ce qui effraie les lecteurs dès les premiers pas.

l8o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE.

Ptolëmée est, d'un autre cote, trop concis en quelques endroits; ses traducteurs ont encore ajouté à l’obscurité de l’original; Géberla médité assidûment, et il se propose d’en faciliter l’intelligence* Il a trouvé des propositions courtes et faciles qui dispensent de rien emprunter à Ménelaüs ou a Théodose. 11 n'emploiera que la règle de trois pour déterminer l’inconnue, au lieu d’y employer six nombres differens, comme Ménélaüs et Ptolémée. Il substituera les sinus en place des cordes des arcs doubles. ( Albategni l’avait fait long-tems auparavant. ) Ptolémee s est servi de quatre instrnmens divers dans lesquels entraient nécessairement huit armilles. Géber n’emploiera qu’un seul Instrument composé d’uu cercle , d’un quart de cercle et d’une règle.

Ptolémée a posé, sans pouvoir le démontrer, que l’excentricité des planètes supérieures est coupée en deux parties égales; Géber en promet une démonstration évidente ; il expliquera Ptolémée, quand il est obscur, et démontrera ce qu’il a donné sans preuve.

Ptolémée s’est trompé sur les tems des révolutions de la Dune , et dans le chapitre X du 5e livre il s’est trompé sur les limites des éclipses solaires; dans le calcul des éclipses de Soleil et de Lune, il s est trompé sur le tems et la quantité, sur la parallaxe de latitude; il s’est trompé, en plaçant Mercure et Vénus au-dessous du Soleil; car ses élémens mêmes prouvent que ces deux planètes sont supérieures au Soleil. Il s’est trompé, en disant que jamais elles ne se trouvent dans le rayon visuel qui passe par le Soleil; il s’est trompé sur les distances apogées des deux planètes, parce qu'il n’a pas compris ce que les anciens entendaient par les longitudes opposées h celles de ces deux planètes. 11 s est trompé sur les points de station et les arcs de rétrogradation. Il s’est trompe encore en plusieurs endroits qui seront corrigés dans le commentaire.

Après ce préambule, Géber donne quelques définitions; il démontre quelques-unes des propositions les plus faciles de Théodose; il donne des règles pour connaître l’espèce de l’inconnue dans les triangles rectangles. Ainsi l’angle et le côté opposé sont toujours de même espèce, c’est ce que prouve notre formule tang C= sin G' tang A.

Si deux triangles rectangles ont l’augle A commun, on aura(fig. 4^)

sin AB : sin BC : : sin AD : sin DE ;

dans tout triangle, on a

sin A : sin C : : sin A' : sin C' : : sin A" : sin C",

GÉBER. ïSt

proportion dont jamais Ptolémée ne fait usage d’une manière bien positive, quoiqu’elle existât réellement dans sa Trigonométrie.

Dans tout triangle rectangle ABC ,

1 :sin A :: cos AC: cos B. Ce théorème manquait aux Grecs. i:cosAC::cosBC:cosAB. Les Grecs avaient cette analogie.

De ces trois analogies, la seconde seule appartient véritablement à Géber. Les deux autres étaient en usage chez les Grecs. Voici sa démonstration de la 2e (fig. 47).

si n A

sin DZ sin AD

sin GB sin AG

""“VS î et cosG = sin A cos AB ,

cos AB 7 7

ou cos de l’angle oblique = cos côté opposé. sin autre angle oblique.

Il démontre que la sphère est le solide qui, avec la même surface, a la plus grande capacité.

Il démontre que les accroissemens de la déclinaison sont de moins en moins sensibles, à mesure que la longitude augmente ( dans le premier quart ). Il dit que Ptolémée n’en a pas donné la preuve. Elle n’y est pas explicitement, elle se trouve par le fait dans la Table des déclinaisons.

sin D = sin ce sin L. , dT> cos D = dL sin ce cos L ,

7 rfLsinacosL f/L sin 0 cos il cos D Jr . -,

JD = - -tc — — — - pT - = d L sin Où cos Ai ;

*01 — sin a, cos jR diminue donc quand l'ascension droite augmente, et

dL

par conséquent lorsque la longitude augmente.

Il montre quel est le point de la plus grande différence entre la longitude et l’ascension droite. Régiomontan lui a emprunté cette solution \ nous la discuterons à l’article Régiomontan.

C’est au moyen de ces théorèmes qu’il n’aura plus besoin de renvoyer aux ouvrages de Théodose et de Ménélaüs. Il expose brièvement la construction des cordes d’après Ptolémée; il donne quelques règles connues pour la solution des triangles rectilignes; mais sa Trigonométrie est fort incomplète.

Il extrait tout ce que Ptolémée dit de la Terre et de son immobilité, sans y rien objecter. A l’article de la déclinaison du Soleil, qui se connaît par sa hauteur méridienne, il enseigne à tracer la méridienne par des ombres égales. Celle lacune du livre de Ptolémée avait été rempli®

déjà par Proclus. Il dit qu’Arcusianus et Abrachis ont trouvé l’obliquité de 23° 5i' 20' •, on voit qu’il parle d’Eratosthène et d’Hipparque. A l’article gnomon, p. 38, il dit que la méridienne est une tangente du cercle décrit du sommet du gnomon, comme centre, avec un rayon égal à la hauteur de ce gnomon; mais il ne parait faire aucun usage des tangentes; il n’indique il est vrai aucun calcul. Il en est de même dans tous les problèmes de Ptolémée sur les angles de l’écliptique avec l’horizon ou le vertical. Il n’emploie que des sinus; il abrège en cela les opérations numériques; mais no donnant aucun exemple de calcul, et sa rédaction n’étant pas très claire, il est tout aussi obscur au moins que Ptolémée.

Le livre III traite du Soleil. Géber retranche tous les calculs , ne change rien aux méthodes, qu’il 11e fait qu’indiquer, en sorte qu’il a rendu tout ce livre bien plus difficile à entendre que dans Ptolémée, et qu’il n’y a rien mis du sien. C’est la même chose dans le livre IV, qui traite de la Lune , et je n’y ai rien vu qui méritât un extrait. Je n’ai pas cru devoir discuter quelques reproches peu imporlans qu’il fait à Ptolémée.

Dans le livre V, après avoir décrit les règles parallactiques , il passe à la construction de l’instrument qu’il a inventé , lequel n’est composé que d’un cercle, d’un quart de cercle et d’une alidade. Ce cercle a six palmes de diamètre; il est divisé en 36o parties, et chaque partie en autant d’autres qu’il sera possible. Sur le limbe, il prend un point A pour le commencement du Cancer, et le point opposé B pour celui du Capricorne. Au centre du cercle est un trou rond d$ns lequel tourne à frottement un cylindre. A la partie supérieure du cylindre est une pièce ronde, de quatre doigts de grosseur, au ceutre de laquelle tourne à frottement une alidade fixée sur une autre pièce ronde égale à la première. Les deux pièces rondes sont jointes par un boulon qui passe par les deux centres. L’alidade portera deux pinnules percées d’un trou central. Le reste de la description est peu intelligible; cinq figures dont elle est accompagnée, sont assez équivoques, et les lettres qu’on y voit ne répondent qu’imparfaitement à celles du texte, défaulassez général dans tout l’ouvrage.

Mais ce qu’on voit au moins assez clairement, c’est que son armille unique, par les différens supports qu’on peut lui donner, peut se placer dans le méridien, et devenir solstitiale; dans le plan de l’équateur, et devenir équatoriale; enfin qu’on peut l’incliner à l’équateur comme l’écliptique ; alors elle donnera les longitudes comme l’astrolabe et de la même manière. Quant aux latitudes, elle n’en donnera que les cordes, qu’il sera facile de convertir en arcs.

GÉBER. iS3

On ne peut obtenir les minutes sur un limbe que dans le cas où le diamètre est au moins de 12 palmes. Un si grand diamètre aurait trop d'inconvéniens. Quand on a divisé le limbe en autaut de parties qu’il est possible, on prolonge un des rayons; de ce rayon prolongé, on décrit un quart de cercle qu’on divise au moyen du limbe déjà divisé, en étendant du centre aux deux arcs un fil qui passe successivement sur tous les points du premier arc. Le second arc étant ainsi divisé en un certain nombre de parties, pourra facilement se sous-diviser en un plus grand nombre; alors il servira à sous-diviser le premier, en faisant passer de même le fil sur tous les points du grand arc. Le petit sera ainsi divisé en autant de parties que le grand. Ce quart de cercle subsidiaire ne réparait plus, et ne sert nullement aux observations

Cet instrument, dont ne parle aucun auteur, pourrait fort bien n’avoir jamais été exécuté, et les avantages en paraissent au moins douteux. Il valait certainement mieux avoir deux armilles, l’une pour les solstices, et l'autre pour les équinoxes. Quant aux observations de longitude et de latitude , le plus sûr était encore d’avoir un astrolabe.

En rapportant les observations de parallaxe de Plolémée, il ne fait aucune réflexion critique ; il paraît en général ne vouloir attaquer Plolémée que sur des calculs. Il semble que Géber était moins observateur encore de beaucoup que Plolémée.

Il calcule la parallaxe de latitude avec un peu plus de soin, mais sans employer aucune formule nouvelle. Il réforme quelques négligences de Plolémée dans le calcul des limites écliptiques, mais il néglige comme lui l’inclinaison. Selon lui , la limite pour les éclipses de Lune est de i5° i5'. 11 reprend encore Ptolémée , qui n’a pas distingué la plus courte distance de la distance à la conjonction ; il le reprend d’avoir dit que si le milieu de l’éclipse arrivait à midi , les deux parties de la durée seraient égales. Ces fautes étaient aisées à corriger, et Géber parait un peu sévère et même inj-uste envers Ptolémée, quand il attribue ces négligences à sa faiblesse et à son ignorance en Géométrie: de debilitate ejus in Geo metriâ et ipsius ignorantiâ in eâ. Ptolémée a fait preuve de connaissances supérieures à ce qu’il en fallait pour éviter ces fautes ou pour les corriger; mais Ptolémée lui-même avait montré presque autant de sévérité pour Hipparque dans des minuties pareilles.

Ce que nous avons dit dans notre commentaire de la Syntaxe, nous dispense d’examiner les corrections de Géber, qui auraient elles-mêmes besoin d’être rectifiées.

Dans le livre VI, où il parle des fixes, on voit qu’ Aristide et Timocharis sont pour lui Arsatilis et Timonialis; plus loin ou trouve Timo caris. Plus loin encore Agrinus est pour Agrippa, et Bitliynia pour Athènes. 11 ne change rien à la précession de Ptolémée, et ne dit mot de la trépidation.

Livre VII. Géber réprimande vertement Ptolemee d avoir place Vénus et Mercure au-dessous du Soleil , et d’avoir dit ensuite que ces planètes n’ont pas de parallaxe sensible. En ce cas, dit Géber, elles sont audessus du Soleil, car le 6oleil a 3' rlf* parallaxe; Vénus doit en avoir une plus forte et de iG' environ, Mercure une de 7'. Géber a raison à peu près, mais il oublie que Vénus ne pouvait s’observer en conjonction inférieure; que sa parallaxe en digression ne doit pas surpasser beaucoup celle du Soleil ; que cette parallaxe ne pouvait se déterminer par les observations d’alors, et que la parallaxe du Soleil n’avait été déterminée que d’après celle de la Lune et le rapport des distances établi par Aristarque. Géber est donc inattentif et injuste; sa critique porte entièrement à faux, et le système qu’il embrasse pour les deux planètes est aussi faux que celui de Plolémee; il a raison seulement quand il soutient, contre l’assertion de Ptolémée, que Vénus peut se trouver sur le rayon visuel mené de la Terre au Soleil. {F oyez ci-dessus pag. 167 et suiv.)

Nous croyons bien inutile d’examiner ses objections contre la manière dont Ptolémée établit sa théorie de Vénus et de Mercure. Ce qu’il met en place ne vaut guère mieux, et il n’a opéré aucun changement dans cette partie de l’Astronomie qui était si imparfaite.

Dans la théorie des planètes supérieures, il compare Ptolémée a un homme dont la vue est faible, qui chancelle dans des forets épaisses où il n’y a aucune route tracée; il s’égare à droite, à gauche, en avant , en arrière, sans pouvoir trouver d’issye, p. 121. Géber se flatte d’avoir trouvé la route. Il commence par déterminer la position des apsides par la considération des mouvemens; alors il est en état de déterminer des distances réciproques des trois centres, et de prouver la bissection de l’excentricité que Ptolémée a supposée, sans pouvoir la démontrer. Il est vrai que Ptolémée ne la prouve point à priori, mais il la déduit du calcul , et en montrant que cette supposition satisfait aux observations.

Dans le livre VIII, il trouve des erreurs de i;, 1 2', dans les stations

çt rétrogradations de Ptolémée, et il dit : et ego miror de illo viro.... , et illud in quo non dubito est quia non fuit ei studium cum sollicitudine in scientia geometriœ. Les fautes de Ptolémée, les corrections de Géber *

ABOUL IIHASÀN. 185

tout cela nous est fort indiffèrent; il n’y a de curieux dans cette théorie que le théorème d’Apollonius, identique au théorème moderne.

Dans le livre IX, il ne change rien à la théorie de Ptolémée pour les latitudes, non plus qu’à sa théorie des disparitions et réapparitions des planètes; en sorte que tout considéré, ce qu’011 doit à Géber se réduit au théorème cos A"=cosC"sin A des triangles rectangles. C’est quelque chose encore; combien d’auteurs à qui on ne doit rien absolument, quoiqu’ils aient pu être des hommes estimables en leur tems, de bons professeurs qui ont pu répandre les connaissances acquises sans y rien ajouter.

Nous avons dit, d’après Weidter, que Géber cite Arzachel; le fait est qu’il ne cite que des noms grecs qu’il a trouvés dans Ptolémée, et qu’il paraît étranger à tout ce qui s’est fait en Astronomie, depuis l’école d’Alexandrie, si ce n’est pourtant à la substitution des sinus aux cordes, opérée par Albategni qu’il ne nomme pas; et, comme il ne s’attribue pas cette idée, il faut qu’elle soit plus ancienne que lui. Il a donc vécu après Albategni; mais en quel tems précisément? c’est ce qu’il n’est pas possible de décider,

Ab oui Hhasan Ali Ebn Omar , de Maroc.

On sait peu de chose de cet auteur, sinon qu’il écrivait vers le commencement du XIIIe siècle; qu’il avait composé un traité sur la manière d’observer la nouvelle Lune, et un autre sur les sections coniques. Il voyagea pour perfectionner la Géographie, parcourut le midi de l’Espagne et une partie de l’Afrique septentrionale, de l’est à l’ouest, dans une étendue de 900 lieues , et détermina lui-même la latitude de 41 villes. Montucla, qui le nomme Abul-Hazem, n'ose rien dire de ses ouvrages, d’après les maigres citations qu’il en a pu recueillir; mais nous avons eu l’avantage, grâce à la traduction faite par M. Sédillot, de lire la plus considérable et sans contredit la plus curieuse des productions de cet auteur, celle à qui il a donné le titre des Principes et des Résultats , ou, plus littéralement. Ouvrage qui réunit les commencemens et les Jins. Cette Iraduction forme un volume in-folio de 700 pages, avec un nombre considérable de planches. Nous y puiserons ce quelle renferme de plus intéressant et de plus neuf.

La première partie traite des calculs ; elle consiste en 87 chapitres, iiemier est consacré aux définitions. Nous ne citerons que celles

du zénit et du nadir, qu’il désigne sous les noms de semt-al-ras , et de seml-al-rigel ; direction de la tête et direction des pieds. Le mot rigel est resté dans l’Astronomie moderne , pour désigner 1 étoile du pied d Orion-

Aboul Hhasan fait l'année arabe de 554' fl ; les mois de l’année syriaque sont de 28, 3o et 3i jours. Pour retenir ces nombres divers, les Arabes ont composé une phrase technique dont le sens est heureux l'homme oui a fait U pèlerinage de la Mekke. C’est ainsi que les Indiens ont cornposé des vers techniques qui leur indiquent le nombre des etoi es qui

composent leurs constellations ( voyez tome I, p. 44 o)* , ,

Au chapitre X , on voit que les Arabes ont deux noms difle'rens pour indiquer le cosinus, selon que l’arc est plus petit ou plus grand que 90’. ]NTous n’avons qu’un seul nom, mais nous donnons à ces cosinus des signes différens , ce qui est beaucoup plus avantageux.

Outre la Table des sinus dont l’argument est l’arc, Aboul Hhasan donne une table inverse dont le sinus est l’argument, et qui sert à trouver les arcs.

11 fait la précession moyenne de 54' comme Albalegm; il admet la trépidation, comme Arzachel, à qui il parait avoir emprunté sa théorie du Soleil toute entière.

Il nous donne un catalogue de 240 étoiles, pour le commencement de l’hégire, c’est-à-dire pour le i5 juillet 622. Nous l’avons réduit à l’époque actuelle; il nous a paru trop inexact pour être reproduit ici; les erreurs les plus ordinaires passent un degré. On y voit quelques étoiles australes qui ne sont point dans le catalogue de Ptolémée.

Sa théorie des ombres commence comme celle d’Albategm. Sa Table des ombres ou des cotangentes est calculée de i5 en i5', comme celle d’Aboul Wéfa; mais elle est pour un rayon de 12 parties, ce qui prouve qu’elle est exclusivement destinée à la Gnomomquc. Une seconde rable donne les arcs qui répondent aux ombres; une troisième Table donne les ombres verticales, c’est-à-dire les tangentes, pour tous les degrés, depuis 1 jusqu’à 60% pour un rayon de 6op. Elle est trop peu étendue pour être d’une grande utilité.

L’cbliquité de l’écliptique oscille entre les limites 23° 56 et 26*35. Copernic a fait pour son tems quelque chose de semblable.

Il a emprunté d" Aboul Wéfa les notions des ddcliuaieoos prime et seconde , et l’un de ses théorèmes.

Il donne les déclinaisons de 180 étoiles, pour le commencement de î’heWe, sans nous dire comment ces déclinaisons ont été observées. On peut croire quelles sont tirées des ouvrages d’ Arzachel.

ABOUL HHASAtf. i87

Il y joint une Table des latitudes de i35 lieux terrestres. Il avait marqué d’une couleur particulière celles qu’il avait observées lui-même.

Il appelle sinus fadhal l’ombre verticale, c’est-à-dire la tangente de la déclinaison calculée pour un rayon de cinq parties.

11 cherche, comme Régiomontan a fait depuis, le sinus de la différence ascensionnelle par la multiplication de deux tangentes.

Il nomme degrés égaux les degrés de l’écliptique, par opposition aux degrés d’ascension droite qui en effet sont inégaux , si l’on appelle degré de l’équateur l’arc qui correspond à un degré de l’ccliptique. Pour désigner les ascensions droites, il se sert, comme tous les Arabes, du mot coascendant, qui est la traduction du mot <nna,vu,pofx des Grecs. A l’exemple de Théon, il compte les coascendans du colure voisin.

On appelle aslile le produit cos H cosD, l’un des facteurs de la formule de hauteur sin h s= cos P (cos TI cos D) -j- (sin H sin D). L’autre terme (sinHsinD) se montre aussi fort souvent dans ses calculs comme dans ceux d’Ebn Jounis; c’est le sinus de la hauteur d’un astre quelconque, quand l’angle horaire est de 6h ou 90°; c’est la hauteur du centre du parallèle au-dessus du centre de l'horizon.

Cos H cos D est l’ashle d’un astre quelconque dont la déclinaison est D; c’est celui d’un point de l’écliptique qui a cette même déclinaison.

Sin hauteur méridienne = cos H cos D -f- sin H cin D -= cos (H — D).

Ainsi ashle = sin hauteur méridienne — sinus hauteur au cercle de 6 heures égales.

Les règles de l’auteur, pour trouver le dayer et son augmenl , sont celles d’Ebn Jounis. On a vu que le dayer est la partie du jour écoulée depuis le lever; son augment est l’excès de l’arc semi-diurne sur le dayer , pour les heures du matin, ou l’excès du dayer sur l’arc semi-diurne, pour les heures du soir.

Dans les problèmes d’ Astronomie sphérique, résolus par Aboul Hhasan,

on voit, à chaque instant, reparaître la formule fondamentale .

cos C* = cos A" sin C sin C' -f- cos G cos C', qui était aussi le principal fondement de la Trigonométrie des Arabes.

L ’ashre est un tems du soir qui commence à l’instant où l’ombre horizontale devient égale à l’ombre horizontale de midi, augmentée du rayon ou de la longueur du gnomon; ainsi à l’instant où l’ashre commence, on a

cot haut. O s= ombre G = tang (H — D) -f- 1.

L’auteur donne une Table de ces hauteurs pour toutes les hauteurs méridiennes de 5 en 5% depuis 5’ jusqu’à 90”. J’ai vérifié celte Table, dont le calcul est extrêmement facile.

Uashre finit à l’instant où l’on a

cot haut. 0 = omb. O = lang (H — D) + 2 fois la haut, du gnomon.

Le zhore est le tems qui est compris entre le midi vrai et le cominencernent de l’ashre, c’est-à-dire tout le tems où la tangente de lombie surpasse tang (H — D), et n’est pas encore tang(H— D)-f- 1.

Le zhore et l’ashre sont des parties du jour où les bons musulmans doivent accomplir certaines pratiques religieuses auxquelles ils paraissent attacher beaucoup d’importance, et sur lesquelles Aboul Hhasau ne nous donne aucun detail.

11 a pris la peine de calculer, pour 210 étoiles principales, le point de lecliplique avec lequel elles culminent. C’est ce que les Indiens appellent fausse longitude . Nous avons vu dans Ebn Jounis la manière de calculer ce point culminant.

A l’article du crépuscule on ne trouve rien de nouveau , sinon que l’auteur suppose 20° d’abaissement pour le commencement du crépuscule du matin, et 160 seulement pour la fin du crépuscule du soir. Ce dernier se nomme crépuscule rouge 3 celui du matin, crépuscule blanc .

Il désigne le nonagésime par les mots milieu du ciel de l écliptique,' 11 calcule l’amplitude orlive par la formule

, . tang; differ. ascensionnelle

lang amplit. ort. = - *

pour l’amplitude à une certaine hauteur h ou sin A', il fait

sinAtangH sjn amp]it. ort. — hissah de Tazimut ^

sin A • cos h cos hauteur 1

nous avons vu celte formule dans Albategni ; mais Albategui calcule sjnJijinlh au jjeu sjn^iangH.

cos 11 . n 1 1

11 calcule, comme Ebn Jounis, la hauteur et l’azimut par i angle horah-e, la déclinaison et la hauteur du p61e. Il emploie les termes baad et inl’iraf, dont le premier signifie toujours une distance , et l’autre l’angle que celte distance fait avec un cercle fixe.

1 \u chap • LXX , il suppose le degré d’un arc de grand cercle de 66| milles.

ABOUL ÎIH A SAN. 189

Prenez le tiers de l’arc exprimé en milles, et vous l’aurez exprimé eu parasanges. Prenez le douzième de l’arc exprimé en milles, ou le quart de l’arc exprimé en parasanges, et vous aurez le même arc exprimé en postes.

11 définit l’inclinaison d’un plan, la distance de ce plan au zénit, ou le complément de l’angle que ce plan fait avec l'horizon.

Azimut d’un vertical, l’angle qu’il fait avec le premier vertical.

Il considère un plan incliné quelconque comme l’horizon d’un lieu * et il donne la règle connue , pour trouver la hauteur du pôle sur ce plan. C’est la première fois que je rencontre celle notion dont Sgravesandc passait pour le premier auteur, au moins en matière de Gnomonique.

Les Grecs et les Arabes supposaient toujours le gnomon perpendicu-* laire au plan qui reçoit les ombres. Aboul Hhasnn emploie souvent un gnomon oblique au plan et parallèle à l’horizon.

Ce premier livre est terminé par un tableau dans lequel l’auteur présente, sous la forme d’analogies, toutes les règles dont il s’est servi dans les calculs précédens.

Il paraît, par cet extrait, qu’en fait d’ Astronomie , Aboul Hhasan n’a rien inventé; il a simplement recueilli, dans un ordre assez méthodique, ce qu il avait lu dans Albategnius, Ebn Jounis et Aboul Wéfa.

I.a seconde partie de son livre est intitulée des cnnsfructions ,* elle est géométrique beaucoup plus qu’astronomique. On y trouve quatre moyens graphiques différens pour déterminer la déclinaison d’un point de l'écliptique. Nous rapporterons les deux plus faciles. Soit EC ( fig. 49 ) la projection orthographique de l’écliptique, QKV celle de l’équateur, TA l’arc égal à celui dont on demande la déclinaison. Abaissez la perpendiculaire AM sur EC et Ma sur QV, et menez MS parallèle h QV.

Ma = RM sin R = sin T A sin co = sin D = Sb = sin QS.

Soit (fig. 5o ) QLV Pécliptique ; du rayon KM=sin&>, décrivez autour de R un petit cercle MAB. Soit QO l’arc dont on veut la déclinaison; menez le rayon ONK , la perpendiculaire Na, et vous aurez

Na = NK sin K = sin œ sin QO = sin D = Sb = sin QS :

Pai les quatre méthodes de l’auteur on serait conduit h croire que les

> a Jes ne connaissaient pas ce que les gnomonistes européens ont nommé trigone des signes.

f9o ASTRONOMIE DU MOYEN AGE,

Pour trouver l’ombre d’un arc, il doune cette construction, qui est

remarquable.

Soit ABC un cercle vertical ( fig. 5i ); on demande l’ombre de la hauteur AB, c’est-à-dire celle du complément BC. Menez le diamètre BRE , puis prenez RO égal au gnomon, et menez la perpendiculaire OE, ce sera l’ombre cherchée. On voit que les ombres d’Aboul Hhasan n’élaient pas tout-à-fait des tangentes; Aboul Wéfa prend pour rayon de son cercle le gnomon FR, et alors l’ombre FD est réellement une tangente et GH la cotangente. La construction d’Aboul Wéfa est plus simple

et mieux entendue.

Pour trouver par une construction graphique les hauteurs du Soleil à toutes les heures temporaires, il donne une construction qui revient à ceci, mais qui est moins facile à comprendre.

Soit HO l’horizon, l’équateur ( fig. 52) PA le parallèle; élevez la perpendiculaire ab , &P sera l’arc semi-diurne; divisez cet arc en six arcs égaux. Par tous les points de division de l’arc, abaissez des perpendiculaires sur PA; par les pieds de ces perpendiculaires, menez des parallèles à l’horizon HO. Elles détermineront sur PH les hauteurs des six heures , tant du matin que du soir.

Le reste du premier volume est un traité complet de Gnomoniquo arabe; nous en donnerons l’extrait ci-après, en traitant de la Gnoraoüique du moyen âge.

Nous dirons en finissant, qu’à l’exemple d’Ebn Jounis, Aboul Hhasan ne démontre aucune de ses règles de calculs, non plus qu’aucune de ses constructions.

La traduction d’Aboul Hhasan avait concouru pour 1 un des prix décennaux, et le jury lui avait adjugé ce prix; nous ne connaissions alors ni les ouvrages d'Ebn Jounis ni ceux d’Aboul Wéfa. Plusieurs choses rapportées par Aboul Hhasan nous parurent entièrement neuves. Nous venons de les restituer à leurs premiers auteurs. M. Sédillot, par ses nouvelles recherches , a lui-même un peu diminué l’importance des premières. Nous lui souhaitons le même bonheur dans ses recherches futures ; mais en attendant ce qu’elles pourront lui faire découvrir , nous verrons dans la Gnomonique d’Aboul Hhasan , des choses curieuses pt qui seront toutes nouvelles pour nous.