TT

arc 1 — — — — /

Or, si de l je retranche le quart de / élevé au cube, j'aurai une valeur de sin a qui sera même trop petite.

Or, cette valeur ne diffère de celle de son arc que par la 13® décimale; donc on a une

approximation à jo.ooo.OOO.OOO.OOO t"-'^' '

Ayant la valeur de sin 10", on aura facilement celle de cos 10'' par la formule

sinî 10" -f cos2 10" == r2; d'où cos 10" = (/l — sin* 10".

Ayant les sinus et cosinus de 10" on aura facilement tous les sinus et cosinus des arcs de plus de 10" par les formules

sin (a -|- ^) = sin a cos 6 -f" sin è cos a et cos {a-\-b) = cos acos,b -{- sin a sin b. Mais on peut y parvenir plus facilement : on a les formules connues sin {a -\-b) = sin acos,b -\- sin b cos a, sin {a — b) = sin a cos b — sin 6 cos a ; d'où additionnant, j'ai sin {a -\~ b) -\- sin {a — b) = 2 cou b sin a; sin (a -\-b) = 2 cos 6 sin a — sin (a — b). De même cos (a-{-b) = cos acosb — sin a sin b ; cos (a — b) = cos acosb-\- sin a sin b, d'où cos {a -\~ b) -{- cos {a — b) == 2 cos b cos a ; cos [a-\-b) = 2 cos ô cos a — cos {a — b).

Or, a — b, a' et a -{- b sont trois nombres en progression arithmétique dont la raison est b; donc si t, t' et ^" sont ces trois termes, on a

sin t" = 2 cos b sin t' — sin « (1) ; cos «" «= 2 cos è cos f — sin t. (2)

Or si 6 = 10" on vient de calculer cos b, donc on connaît 2 cos p.

Donc on voit qu'un sinus est égal au sinus précédent multiplié par 2 cos p, plus le sinus avant deuxième multiplié par — 1 et que la môme règle existe pour les cosinus.

Or, 2 cos b diffère peu de 2 unités. Soit donc 2 — 2 cos p = A, j'ai 2 cos p = 2 — k, d'où (1) et (2) devient

sin i" = 2 sin <' — k sin t' — sin t; cos «" = 2 cos ^' — k cos t' — cos t; d'où sin t" — sin t' = (sin t' — sin t) — k sin f; cos t" — cos t' = (cos f — cos ^) — k cos t'. Or, par ces égalités, on a la valeui' du sinus d'un arc moins le sinus do l'arc précédent et

de même pour le cosinus. Or, lorsque ces valeurs seront trouvées, en y ajoutant celles du sinus et du cosinus précédent on aura les valeurs cherchées.

Or, le second membre de ces équations est très facile à calculer, car sin t' — sin t et cos t' — cos t ont déjà été calculées pour les sinus et cosinus précédents ; donc on n'a chaque fois qu'une simple opération à faire, c'est de multiplier la constante h par le sinus et cosinus des arcs précédents.

Pour vérifier les tables ainsi construites, on regarde si elles sont conformes aux résultats que Ton obtient pour les sinus et cosinus de quelques arcs, que l'on peut calculer en fonction du rayon et qui sont 0, 9, 17, 30, 36.

Il y a encore une autre manière de calculer les tables, c'est au moyen des séries ; on obtient par là le sinus et le cosinus d'un arc quelconque en fonction de cet arc.

3« question. — Soit ABC le triangle cherché.

Soit l'angle A = 80°, B = 65° et BP bissectrice de B == 10 mètres.

Dans le triangle ABC je connais deux angles, donc le troisième aussi, car

C = 180 — (A -f B) = 180 — 145 = 35«. Cela posé, dans PBC je connais deux angles C = 35° et PBC = B = 32° 30' et PB == lO»»^, donc je puis con naître BC qui est donné par la formule ■ sin CPB 10. sin (180 — (32° 30' + 35)) sin C sin 35°

log BC = log 10 + log sin 1 12° . 30' — log sin 35°, log BC = log 10 4- log 67° 30' — log sin 35°, log BC = 1 4- 9,9656153 — 9,7585913, logBC = 1,2070240 log 16,10= 1,2068259

1981, log 16,107 = 1,2070240 ; donc BC = 16^,107.

PBsinAPB 10. sin 67° 30'

De même dans ABP j'ai AB = -. — = : — 577 ,

*• sm A sm 80

donc log AB = log 1 0 -f log sin 67° 30' — log sin 80°

log AB = 1 4- 9,9656153 — 9,9933515 log AB = 0,9722638 log 9,381 = 0,9722638 ; donc AB = 9^,381 .

AB.sin65

Mamtenant AC = -. — - — ,

sm C

log AC = log AB 4- log sin 65 — log sin 35°

log AC = 0,9722638 4-'9,9572757 — 9,7585913

log AC = 1,1709482

log 14,82 =* 1, 1708482; AC = 14,82.

III. Distribution desjorix. — Innovation-. Discours d^un professeur.

Rapport des jurys.

Il n'y eut pas cette année de compte rendu officiel du concours fait par le directeur de la division de l'instruction publique. M. Alvin se contenta de donner lecture des noms des lauréats.

Le compte rendu fut remplacé par un discours de cérémonie prononcé par un membre du corps enseignant. ^ Nous avons pensé, dit au début de la séance M. le Ministre de la justice d'Anethan, remplaçant son collègue de l'intérieur, M. de Theux, empêché, nous avons pensé qu'il serait utile de prier un de messieurs les professeurs, appartenant à l'enseignement supérieur ou à l'enseignement moyen, de rehausser par sa parole l'éclat et l'intérêt de cette cérémonie, j?

L'orateur de 1846 fut M. Moke, professeur à l'athénée et à l'université de Gand. Il parla de « la position que le passé avait faite à l'enseignement moyen et des besoins que le présent lui avait laissés ?» .

L'innovation introduite par le ministère de 1846 a persisté jusqu'aujourd'hui.

Le rapport officiel sur le concours fut inséré au Moniteur le mois suivant. Nous y trouvons quelques renseignements extraits des rapports particuliers des divers jurys, sur l'ensemble des travaux.

Le jury de rhétorique émet le vœu que l'on commente davantage les auteurs tant anciens que modernes. Un grand nombre de concurrents n'ont qu'une connaissance insuffisante de la géographie et de l'histoire, surtout de l'histoire moderne. D'un autre côté, le jury parle avec éloge du degré d'avancement des concurrents en littérature et rhétorique latines, littérature et rhétorique françaises. L'étude du grec est dans un état satisfaisant, mais l'histoire de la littérature de cette langue laisse encore à désirer.

Le jury de mathématiques signale avec regret le grand nombre d'élèves inscrits qui se sont abstenus de concourir (38 sur 129). Il répartit ainsi les 91 compositions : 20 bonnes, 18 assez bonnes, 12 passables, 31 mauvaises, 10 nulles. Il constate que c'est la première fois qu'il s'est présenté un si grand nombre d'élèves distingués. Il regrette seulement « qu'il existe une si grande divergence dans la manière de présenter les éléments de géométrie j».

Le jury de 5^ signale l'ignorance presque générale de la langue française chez la plupart des concurrents. Les résultats sont satisfaisants pour le latin, le grec et l'histoire nationale. L'analyse grammaticale est en général négligée. Il n'en est pas de même de l'analyse logique, qui mérite des éloges.

ENSEIGNEMENT UNIVERSITAIRE