Mathématiques. — I. Résoudre le système d'équations

. . a?y ^ log [a V X — y — V x + yj — log \/ x — y

V — yl

' 4 4- \/yz + 2 = - 2^2/.

Discuter les racines.

II. Etant donnés dans un plan deux cercles et une droite AB, trouver sur cette droite un point tel que les tangentes menées de ce point aux deux cercles soient égales.

On supposera la distance des centres plus grande que la somme des rayons et on examinera comment la solution se modifie lorsque cette distance est plus petite que la somme des rayons ou égale à celle-ci.

Le problème est-il possible dans toutes les positions que peut avoir la droite AB ?

III. Les côtés AB, AC, BC dun triangle étant respectivement représentés par les équations y =zo,x = Oy y — mx — n = o et a, ô, c étant trois constantes arbitraires, faire voir :

1" Que l'équation — | 1 — = 0 représente une courbe du second ordre

^ 2/ y — *^^ — ^^ passant par les trois sommets du triangle.

^ ^ , . oc , y „V.V — ^oc — n ^ x , y — mx — n

2° Que les équations -4-^ = 0, ^ -f ^ = 0, - + = 0

sont celles des tangentes à la courbe aux points A, B, C ; 3° En supposant connu le rapport -, ce qui ne laisse qu'un seul coefficient arbitraire

dans l'équation de la courbe, rechercher et discuter le lieu des centres de toutes les courbes renfermées dans cette équation.

N. B. — Les concurrents ont eu six heures pour répondre à ces questions.