CHAPITRE IV

Fondation de l'Ecole d’Alexandrie. Œuvres d'Euclide et d'Archimède.

En l'année 33 1 avant noire ère, un petit bourg- riverain du Nil fut transformé en une ville immense par la volonté d’Alexandre, habilement secondé par Dinostrates, l’architecte du temple de Diane à Ephèse. Sous cette impulsion, de grandioses monuments s’élevèrent comme par enchantement, on créa un port magnifique qui ne tarda pas à accaparer le commerce du globe, et ce village naguère ignoré devint bientôt le centre intellectuel de l’ Univers. Toutes les religions, toutes les races se fondirent, s’amalgamèrent dans cette merveilleuse cité, dans Alexandrie où la civilisation grecque désormais transplantée allait puiser une sève vigoureuse et rayonner encore sur le monde pendant près de dix siècles.

Après la mort du grand conquérant (3ü3 av. J.-C.), un de ses lieutenants Ptolémée, eut l’Egypte en partage, et une fois qu’il eut assurél’avenir de sa dynastie par la force, il voulut occuper les dernières années de son règne à organiser ses états. Il y attira les savants les plus renommés, il fonda ce Muséum oit toutes les connaissances humaines, les Mathématiques entre autres, eurent cio remarquables interprètes, et enfin il édifia cette fameuse Bibliothèque, qui sous Déniétrius de Phalère possédait plus de 4°° 000 rouleaux.

L’ÉCOLE D' ALEXANDRIE

Dans le premier siècle de son existence, l’Ecole d’Alexandrie compta les trois plus illustres mathématiciens de l'antiquité : Euclide, Archimède et Apollonius. Remarquons aussi qu’à partir de cette époque les documents historiques vont perdre le caractère hypothétique qu’à de rares exceptions près nous leur avions trouvé jusqu’ici. Dorénavant nous n’apprécierons plus les savants dont nous analyserons les œuvres sur des rapprochements de passages isolés mais d’après leurs livres mêmes. Si parfois encore les détails biographiques sont maigres ou contradictoires, nous connaissons, au moins dans leurs grandes lignes, les travaux les plus importants de cette période si féconde.

D’après les sources arabes, Euclide serait né en Syrie d’un père grec nommé Aaucrates, originaire de Damas mais lîxé à Tyr. Celui-ci envoya probablement son iils faire ses études à Athènes, et il est certain que vers la lin du règne de Ptolémée Soter, roi d’Egypte (3â3-a83 av. J.-C.), Euclide avait déjà effectué des recherches mathématiques assez remarquables, puisque ce prince l’appela à Alexandrie pour y professer la Géométrie et l’Arithmétique. L’éclat de son enseignement avait donc dû l’y précéder. En tous cas, il recul un accueil des plus flatteurs, et fut chargé de composer un traité sur la science qu'il devait inculquer à ses disciples. C’est là l’origine des Eléments. Si toutes les propositions énoncées dans ce livre ne lui appartiennent pas eu propre, s’il est plausible même d’en attribuer une bonne partie à Pythagore, à Hippocrate de Chios, à Eudoxe et à Méneclune, on ne peut lui contester le mérite d’avoir coordonné les théorèmes, simplifié les démonstrations, réduit le nombre des vérités primordiales admises jusqu’à lui comme axiomes et donné en plusieurs endroits des méthodes souvent élégantes et faciles pour un débutant là où ses prédécesseurs s’étaient servis de raisonnements compliqués. Aussi, malgré les défauts ([lie les modernes ont trouvé à leur reprocher.

les Eléments constituaient une œuvre géniale pour l’époque. Ce qui le prouve d’ailleurs mieux que tout le reste, c’est qu’après vingt siècles leur succès n’est pas épuisé. Les savants les plus célèbres les ont couverts d’éloges, depuis Archimède jusqu’à Descartes, depuis Apollonius et Pappus jusqu’à Newton et Lagrange. Que de professeurs les ont enseignés ! Que d’élèves les ont appris ! Que de commentateurs et de traducteurs n’ontils pas eus !

Cependant, parmi les critiques qu’on leur adresse, quelques-unes sont fondées. Ainsi certaines propositions données comme axiomes ne sont pas évidentes par ellesmêmes. Il n’y a pas d’efforts pour généraliser les résultats. Exemple : l’angle n’est pas envisagé dans le cas où il devient plus grand que deux droits. La classification est parfois imparfaite, et l’ouvrage un peu diffus. Enfin l'auteur se sert très rarement de la superposition des figures comme mode de démonstration. Tout récemment, en se plaçant au point de vue pédagogique, on a tenté des réformes pour modifier l’aridité rebutante sous laquelle se présentait jadis la Géométrie dans les collèges *. On peut citer comme types de cette catégorie en France l’ouvrage de Rouché et Comberousse, et en Italie celui de Lazzeri et Bassani dont une seconde édition a paru l’an dernier.

Mais revenons à l’antiquité. Il paraît vraisemblable qu’au milieu du Ve siècle avant notre ère existait, sous le nom de Pythagore, un traité de Géométrie dont le cadre se rapprochait beaucoup de l’ouvrage d’Euclide. Trois ou quatre auteurs, dont un seul, Hippocrate de Chios, nous est connu, avaient déjà composé des livres analogues aux Eléments au moins quant au fond. Que contenaient-ils au juste? Il est malaisé de le savoir puisque leurs travaux sont perdus. On trouve seule-

(i) Voir à ce sujet Laisant. La Mathématique. Philosophie. Enseignement. Paris. Georges Carré et C. Naud, éditeurs,' 1898.

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ment des mentions succinctes relatives à certains d’entre eux, comme Theudios de Magnésie et Hermotime de Colophon, dans le résumé historique de Proclus1. D’autre part, Eudoxe, sans avoir composé d’ouvrages didactiques, semble avoir lait progresser la science d’une manière très importante. 11 inventa la théorie des proportions et les théorèmes qui se rapportent à la mesure de la pyramide et du cône.

La Géométrie plane d'Euclide se différencie du reste de nos traités modernes. La théorie de la similitude suit l’étude du triangle, du parallélogramme, du cercle et du polygone régulier. Après avoir trouvé les propriétés essentielles de ces derniers, il démontre à part ce qui a trait aux figures semblables, en ne s’appuyant nullement sur celles-ci dans les raisonnements des théorèmes dont l’énoncé ne les comporte pas. Il arrive à ce résultat en employant dès le début l’artifice suivant qui remplace souvent dans ses Éléments la notion de similitude.

Soit le parallélogramme ABCD. Si par un point quelconque P pris sur une diagonale AC on mène des

Fig. 4.

parallèles aux côtés, la figure sera divisée en deux parallélogrammes pévidiamétraux CB'PC' et AA'PD

(i) Procli Diadochi in primum Euclidis Elemcnlorum librum commenlarii. Edition Friedlein, Leipzig1, 1873.

semblables, et en deux autres parallélogrammes paraplér ornes PD'DC et PA'BB' équivalents dont les côtés sont alors réciproques. Une fois ceci démontré, Euclide se sert de ce moyen pour construire par exemple une quatrième proportionnelle comme second côté d’un paraplérome dont le premier côté ainsi (pie le paraplérome correspondant sont donnés. Il n'y a plus, en effet, qu’à terminer la construction du parallélogramme. Cette particularité ferait donc supposer que la géométrie pythagoricienne se rapprochait plus de la nôtre en tant ([lie succession des théorèmes, et qu’entre l’époque oit vivait le philosophe de Samos et celle d’Euclide la Géométrie fut profondément remaniée à la suite des travaux d’Eudoxe sur les proportions.

Les Eléments sont trop connus pour qu'il soit nécessaire de les analyser longuement. Esquissons-en seulement les grandes lignes, la marche générale. Ils commencent par des définitions. D’abord le point : « ce qui n'a pas de parties » ; la ligne : « longueur sans largeur» ; le rectangle, le « rhombe » ou losange, le trapèze, le cercle, etc. Nous donnons ci-contre le fac-similé de la page d’un manuscrit qui reproduit précisément le début des Eléments.

Ensuite on passe aux dix postulata fondamentaux tels ([lie celui-ci par exemple : tous les angles droits sont égaux. Puis viennent les notions communes ou « axiomes » comme : le tout est plus grand que la partie ; deux lignes droites ne renferment [joint un espace. ..

Les propositions qui se rattachent aux notions précédentes, découlent les unes des autres. Chacune d’elles se divise en quatre parties : l’exposition ou donnée, la construction, la démonstration (pour laquelle l’auteur a souvent recours à la méthode dite de « réduction à l’absurde ») et la conclusion. Cette façon logique de procéder fait converger les vérités acquises précédemment vers le théorème important, mais ce luxe de