CHAPITRE Xll. DÉVELOPPEMENT DE l'aLGÈBRE SYNCOPEE 2O
Regiomontanus quitta Vienne en i462 et voyagea pendant quelques années en Italie et en Allemagne. En i/iyi il se fixa à Nuremberg, où il créa un observatoire, ouvrit une imprimerie et probablement se livra à l'enseignement. C'est là qu'il écrivit trois traités sur l'astronomie et qu'il construisit un aigle mécanique qui battait des ailes et salua l'empereur Maximilien I""' à son entrée dans la ville : cette œuvre, qui montre son habileté en mécanique, était regardée comme une des merveilles de l'époque. De Nuremberg, Regiomontanus se rendit à Rome sur une invitation du pape Sixte IV, qui voulait le charger de la réforme du calendrier. Il y fut assassiné peu de temps après son arrivée.
Regiomontanus fut un des premiers à tirer parti de la découverte des textes originaux des mathématiciens grecs, pour se familiariser avec leurs méthodes de raisonnement et s'assimiler leurs découvertes ; il rapporte avoir vu au Vatican une copie de l'algèbre de Diophante et c'est là la plus ancienne mention de cet ouvrage, qui ait été faite dans l'Europe moderne. Il connaissait également très bien les œuvres des mathématiciens arabes.
On peut se rendre compte du bénéfice qu'il a retiré de son étude des géomètres anciens d'après son traité De TriangiiUs écrit en 1 464- C'est la plus ancienne exposition moderne systématique de la trigonométrie plane et sphérique, bien que les seules fonctions trigonométriques qu'on y trouve soient le sinus et le cosinus. L'ouvrage est divisé en cinq livres. Les quatre premiers sont consacrés à la trigonométrie plane, et en particulier à la détermination de triangles dépendant de trois conditions données. Le cinquième traite de la trigonométrie sphérique. L'ouvrage fut imprimé en 1 533 à Nuremberg, près d'un siècle après la mort de Regiomontanus.
Comme exemple des problèmes de l'époque, nous reproduisons en entier une de ses propositions. Il s'agit de déterminer un triangle dans lequel on connaît la différence de deux côtés, la perpendiculaire abaissée du sommet commun à ces deux côtés sur la base, et la différence des deux segments déterminés sur la base par le pied de cette perpendiculaire (prop. 23. Livre II).
Voici la solution donnée par Regiomontanus ;
Sit talis triangulus ABG, cujus duo latera AB et AG differentia habeant nota HG, ductaque perpendicularl AD duorum casuum BD et DG, differentia slt EG : lue dua) differentlic sint datœ, et ipsa perpen-
R. B.— Tomel. i4
aïo
dicularis AD data. Dico quod omnia latera trianguli nota concludentur. Per artem rei et census hoc problema absolvemus. Dctur crgo diflerentia laterum ut 3, dilTerentia casuuni 12, et perpendicularis 10. Pono pro basi unara rem, et pro aggregato laterum 4 res, necproportio basis ad congeriem laterum est ut HG ad GE, scilicet unius ad 4- Erit ergo
BD - rei minus 6, sed AB erit 2 res demptis -.DucoABinse.produ-
cuntur 4 census et 2 -7- demptis 6 rébus. Item BD in se f'acit 7- census 4 4
et 36 minus 6 rébus : huic addo quadratum de 10 qui est 100. Colliguntur -. census et i36 minus 6 rébus œquales videlicet 4 censibus et
3 ^demptis 6 rébus. Restaurando itaque defectus et aufex'endo utrobique
œqualia, quemadmodum ars ipsa prœcipit, habemus census aliquot œquales numéro, unde cognitio rei patebit, et inde tria latera trianguli more suo innotescet :
Pour expliquer ce texte nous devons dire que Regiomontanus appelle toujours la quantité inconnue res, et son carré census ou zensus ; mais en employant ces termes techniques il écrit les mots en entier. Il commence par dire qu'il va résoudre le problème au moyen d'une équation du second degré (per artem rei et census) ; et qu'il supposera que la différence des côtés du triangle est égale à 3, que la différence des segments de la base est égale à 12, et enfin que la hauteur du triangle est égale à 10. Il prend alors pour inconnue (unam rem ou x) la base du triangle, et par conséquent la somme des côtés sera lix.
La longueur BD sera alors égale h - x — 6 f - rei minus 6 ] , et la longueur AB sera égale k 2x I 2 res demptis - j ; par suite
