CHAPITRE III. LES ÉCOLES d' ATHENES ET DE CMDE t\ l

mot ojvafjnç, et donnait ainsi la signification technique du mot puissance dont on se sert encore. On a des raisons de croire que l'usage de ce mot nous vient des Pythagoriciens qui énonçaient, dit-on, les conclusions de la proposition ^7 du livre I d'Euclide sous cette forme : « la puissance totale des côtés d'un triangle rectangle est la même que celle de l'hypoténuse. »

Hippocrate se servait de la méthode de « réduction » consistant à ramener successivement un problème à un autre, de sorte que le dernier une fois établi, la proposition principale s'en déduisait nécessairement ; la méthode de démonstration par a la réduction à l'absurde » peut être considérée comme un cas particulier de la précédente. Il est hors de doute que le principe de la méthode avait déjà été employé d'une façon accidentelle, mais il eut le mérite de la signaler à l'attention comme un mode de démonstration légitime et susceptible de nombreuses applications. On peut dire de lui qu'il créa la géométrie du cercle. Il découvrit que les segments égaux d'un cercle contiennent des angles égaux ; que l'angle sous-tendu par une corde dans un cercle est plus grand, égal ou plus petit qu'un angle droit suivant que le segment du cercle dans lequel il est inscrit est plus petit, égal ou plus grand qu'un demicercle (Eucl. prop. 3i du livre III), et probablement plusieurs autres propositions contenues dans le troisième livre d'Euclide. Il •est également vraisemblable que les deux propositions suivantes lui sont dues :

les cercles sont entre eux comme les carrés de leurs diamètres (Euclide, prop. 2, livre XII) ;

les segments semblables sont entre eux comme les carrés de leurs cordes.

La démonstration que l'on trouve dans Euclide de la première <ie ces propositions est attribuée à Hippocrate.

Cependant ses plus célèbres découvertes furent relatives à la quadrature du cercle et à la duplication du cube et grâce à son influence ces problèmes jouèrent un rôle prépondérant dans l'histoire de l'Ecole Athénienne.

Les propositions suivantes montreront suffisamment comment il abordait le problème de la quadrature.

a) Il commençait par évaluer l'aire de la lunule déterminée par l'arc d'un quadrant et la demi-circonférence décrite sur la corde

du quadrant comme diamètre. Voici comment il raisonnait : soit ABC un triangle rectangle isocèle inscrit dans le demi-cercle ABOG de centre 0. Sur AB et AG comme diamètres décrivons deux autres demi-cercles [fig. 6).

On a, d'après la prop. l\- du livre I d'Euclide .

carré sur BG = carré sur AC + carré sur AB,

par suite (d'après la prop. 2 du livre XII)

aire du - cercle BC = aire du - cercle AG -\- aire du - cercle AB.

Enlevons les parties communes et il vient aire du triangle BAG = somme des aires des lunules AECD, AFBG.

Dès lors, l'aire de la lunule AECD est équivalente à la moitié de la surface du triangle ABC.

h) Il inscrivait ensuite un demi-hexagone régulier ABCD danç un demi-cercle de centre 0 et décrivait des demi-cercles sur OA, AB, BGetCD(/^. 7).

Le diamètre AD valant deux fois chacune des droites OA, AB^ BG et CD, on avait :

cai-ré sur AD = somme des carrés construits sur OA, AB, BG et GD. Par suite,

aire du - cercle ABGD = somme des aires des - cercles décrits

sur OA, AB, BG et GD.