CHAPITRE IV. LE IIl" SIÈCLE AVANT JÉSUSCHRIST

prises, des déductions faciles à saisir omises (par exemple cette proposition : les perpendiculaires abaissées de chaque sommet d'un, triangle sur le côté opposé se rencontrent en un même point, a été supprimée) et dans certains cas, de nouvelles démonstrations présentées. La partie consacrée à la théorie des nombres semble avoir été empruntée aux ouvrages d'Eudoxe et de Pythagore, à l'exception de ce livre X, qui a trait aux grandeurs irrationnelles. Cette partie peut avoir été tirée du livre perdu de Theœtète, mais il est probable qu'elle contient beaucoup de propositions nouvelles, car Proclus nous apprend qu'Euclide, en arrangeant les propositions d'Eudoxe complétait la plupart de celles de ïheœtète.

Euclide procède toujours d'une manière uniforme : énoncé, exposition, construction, preuve et conclusion. On lui doit également le caractère synthétique de l'ouvrage, chaque démonstration ayant la forme d'un raisonnement suivi, logiquement correct, mais sans aucun guide relativement à la méthode suivie pour l'obtenir.

Les défauts des Eléments d'Euclide, en tant que livre classique de géométrie, ont été souvent signalés. Voici les plus importants :

1° Les définitions et axiomes contiennent beaucoup de suppositions qui ne sont pas évidentes, et il en est ainsi, en particulier, de l'axiome dit des parallèles (*) ;

2° 11 n'explique pas, comment il est arrivé à donner aux démonstrations la forme qu'elles ont, c'est-à-dire qu'il présente une preuve synthétique sans donner l'analyse qui lui a permis de l'obtenir ;

3° Aucun essai de généralisation d'un résultat obtenu n'est tenté,, par exemple, l'idée de l'angle n'est jamais développée de façon à comprendre le cas où il est égal ou plus grand que deux angles droits.

La seconde partie de la proposition 33 du livre VI, suivant le texte moderne, paraît être une exception, mais elle est due à ïhéon. et non à Euclide ;

4° Le principe de la superposition comme méthode de démonstration pourrait avantageusement être employé plus fréquemment ;.

5° La classification des propositions laisse à désirer ;

6° L'ouvrage est long et prolixe sans nécessité.

(•) Il résulte des recherches de Lobatschewsky et de Riemann qu'il ne peutêtre démontré.

D'un autre côlé, dans l'ouvrage d'Euclide, les propositions sont ■disposées, de façon à former une chaîne de raisonnements géométriques partant de quelques suppositions presque évidentes, pour arriver graduellement et sans peine à des résultats très complexes. Les démonstrations sont rigoureuses, souvent élégantes, et ne présentent pas trop de difficulté aux débutants. Enfin presque toutes les propriétés métriques élémentaires de l'espace (par opposition aux propriétés graphiques) ont été étudiées. Le fait que pendant deux mille ans cet ouvrage a été universellement admis comme Livre classique est la meilleure preuve qu'il remplit bien le but auquel il •était destiné.

Depuis quelques années, plusieurs tentatives, restreintes il est vrai, ont été faites pour détrôner Euclide dans les écoles d'Angleterre, mais la majorité du personnel enseignant paraît encore le ■regarder comme le meilleur traité qui ait été publié pour l'enseignement de la géométrie; cependant Euclide a généralement été abandonné sur le Continent comme livre d'enseignement.

A ces arguments en faveur d'Euclide, il faut ajouter que quelques-uns des plus grands mathématiciens des temps modernes, tels que Descartes, Pascal, NeAvton et Lagrange ont insisté pour son maintien comme livre classique : Lagrange disait, que celui ■qm n'avait pas étudié la géométrie dans Euclide, était comme une personne qui voudrait apprendre le latin et le grec d'après les ouvrages modernes écrits dans ces langues. Disons aussi, qu'il y aurait •un immense avantage à avoir un seul livre classique universellement en usage pour un sujet tel que la géométrie. Les conditions peu satisfaisantes dans lesquelles se fait l'enseignement de la géométrie des coniques, est un exemple typique de l'inconvénient qui résulte de l'emploi de livres classiques différents. Quelques-unes des objections présentées contre Euclide ne s'appliquent pas à certaines éditions récentes de ses œuvres.

Nous ne pensons pas que toutes les objections énumérées plus ihaut puissent raisonnablement s'adresser à Euclide lui-même. Il publia une collection de problèmes généralement connus sous le nom de Asooijiéva ou Data. Ce recueil contient quatre-vingt quinze exemples d'un genre de déduction qui se reproduit fréquemment •en analyse. Nous citerons le suivant comme exemple : si l'une des données du problème considéré est que l'angle d'un certain triangle