CHAPITRE IV. LE IIl" SIECLE AVANT JESUS-CHRIST

Mais, par hypothèse

(6 -h c -f- ... -+- y 4- A) = 1 (B -+- C -i- ... H- J) -t- ^ ï^. Par conséquent

et

C'est-à-dire que la somme de ces grandeurs surpasse du tiers de la plus petite, quatre fois le tiers de la plus grande. Si maintenant nous revenons au problème de la parabole et si nous supposons que la grandeur A représente A, les grandeurs B, C, D... représenteront respectivement y , -j, ..., et à la limite K est infiniment petit.

Par conséquent l'aire du segment de parabole est équivalent aux

^ de celle du triangle PVQ ou aux 0 du rectangle ayant pour base

PQ et pour hauteur la distance du point V à PQ.

Nous pouvons ajouter que dans les 5" et 6" propositions de son livre sur les conoides et les sphéroïdes, Archimède détermine l'aire d'une ellipse.

c) Son traité des spirales contient vingt-huit propositions sur les propriétés de la courbe connue aujourd'hui sous le nom de spirale d'Archimède. Il avait été adressé à Dosithée à Alexandrie accompagné d'une lettre, de laquelle il ressortirait qu'Archimède avait antérieurement communiqué le résumé de ses résultats à Conon qui mourut avant de les avoir démontrés.

Il définit la spirale en disant que l'angle vectoriel et le rayon vecteur croissent tous les deux d'une façon uniforme, il en résulte que l'équation de cette courbe est

r = CO.

Archimède découvrit la plupart de ses propriétés et détermina l'aire comprise entre la courbe et deux rayons vecteurs. Il arrivait à ce résultat en remarquant, en employant le langage du calcul infi-

nitcsimal, qu'un élément d'aire est -

> - r'-dd et < - (r + dry M.

Pour efTectuer la somme des aires élémentaires, il donne deux lemmes au moyen desquels il efleclue (géométriquement) la sommation des séries

a- -h (aa)- + (3a)- -+-...-}- {nay (proposition lo) et

a H- 2a + 3a 4- ... H- na ( » ii).

ci) Comme suite à cet ouvrage, Arcliimède écrivit un petit traité sur les méthodes géoinélriques, et divers mémoires sur les lignes parallèles, les triangles, les propriétés des triangles rectangles, les data, sur V heptagone inscrit dans an cercle et sur les systèmes de cercles se touchant mutuellement. Il est possible qu'il en ait composé d'autres. Tous ces ouvrages sont aujourd'hui perdus, mais il est probable que des fragments de quatre des propositions du dernier mémoire mentionné ont été reproduits dans une traduction latine d'un manuscrit arabe intitulé « lemmes d'Archimède ».

Il) Sur la Géométrie à trois dimensions, les œuvres d'Archimède qui nous restent sont au nombre de deux, savoir a) De la sphère et du Cylindre et 6) Des Conoïdes et des Sphéroïdes .

a) Le traité de la sphère et du cylindre contient soixante propositions classées en deux livres. Archimède l'envoya comme tant d'autres de ses ouvrages, à Dosithée, à Alexandrie ; mais il semble avoir voulu, dans la circonstance, jouer un mauvais tour à ses amis, car il présenta à dessein d'un façon inexacte, quelques-uns des résultats obtenus u afin de déconcerter ces soi-disants géomètres quiprétendent avoir tout trouvé sans jamais en présenter les preuves, et quelquefois proclament qu'ils ont fait une découverte, quand cette découverte est impossible. » Il regardait cet ouvrage comme son chef-d'œuvre. Il est trop étendu pour que nous songions à en donner une analyse, mais nous remarquerons, qu'il contient les expressions de la surface ef du volume, de la pyramide, du cône et de la sphère en même temps que des figures engendrées par la révolution des polygones réguliers inscrits dons le cercle en tournant autour d'un diamètre. 11 contient plusieurs autres proposi-